专题6.12 反比例函数（回归教材与课本源题）（精选精编）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题6.12 反比例函数（回归教材与课本源题）（精选精编） 中考考题一个特点:“源于教材”但“高于教材”,体现了“题在书外,根在书中”的特点,本专题持别选了一些“课本源题”,供大家参考使用! 1．（2025·山东聊城·一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； （3）若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 【答案】（1），，图见分析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查反比例函数，轴对称的性质，一次函数图象的性质，掌握反比例函数，一次函数，轴对称的性质，数形结合分析是关键． （1）根据表格信息计算得到规律，由表格信息绘图即可； （2）根据轴对称的性质作图可得交点与原图之间的距离为，即，即可求解； （3）运用待定系数法得到直线的解析式为，则即，由勾股定定理即可求解． 解：（1）解：∵， ∴根据列表数据可知，该函数是反比例函数，其解析式为， 当时，； 画出该函数的图象如解图： （2）解：点的坐标为，如解图，根据对称性可知，当上方的函数图象沿直线翻折， ∵点的纵坐标为，即直线与轴的距离为， ∴折叠后与轴的交点关于对称， ∴交点与原图之间的距离为，即， ∴， 解得， ∴轴的交点坐标为； （3）解：设直线的解析式为（为常数，），将代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，当时，，即， ∴． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期中）（课本原题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标． 【答案】（1）；；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握三角形的面积的求法，以及反比例函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图像求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点P的坐标，再根据，列方程求出的长，进一步求出点P坐标． 解：（1）解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）由图可得：当或时，；    （3）点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为4，可得： ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 3．（课本原题）（23-24九年级上·山东威海·期中）为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． （1）分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． （2）已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 【答案】（1）升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）；（2）个月 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用， （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论； 正确的理解题意是解题的关键． 解：（1）解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数， 设升级改造前y与x的函数表达式为， 当时，， ∴，即， ∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）； 当时，， ∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元， ∴， ∴升级改造后y与x的函数表达式为（且为整数）， ∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）； （2）在中， 当时，， ∵， ∴在该象限中，随的增大而减小， ∴时，， 在中， 当时，， ∴， ∴且为整数． ∴可取，，，，；共5个月． ∴资金紧张期共有个月． 4．（课本原题）（23-24八年级上·上海静安·期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间x（时）变化的函数图象如下图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出段和段所对应的y与x的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）将分别代入两个函数解析式求出时间，再根据图象计算出一天中该种蘑菇适宜生长的时间即可． 解：（1）解：设段所在的解析式为， 在函数图象上， ，解得：， 段所在的解析式为， 设段所在的曲线解析式为， 在函数图象上， ， 段所在的曲线解析式为， （2）当时，，， ，， ∴该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有． 5．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）（课本原题）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于，求； （3）过点作轴于，问：是否在轴上存在一点，使得的值最小，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】（1）根据反比例函数的图像过点，可求出的值，进而确定反比例函数关系式； （2）求出点的坐标，得出点的坐标，根据三角形面积计算公式进行计算即可； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小，求出直线的解析式进而得出与轴的交点坐标即可． 解：（1）解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）∵一次函数与反比例函数的图像相交于点和点， ∴ 解得：，， ∴， 又∵轴， ∴点， 设、分别为点、的横坐标，、分别为点、的纵坐标， ∴， 即； （3）存在，理由为： 如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， 当时，得：， ∴．    【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点，待定系数法确定反比例函数解析式和一次函数的解析式，对称的性质，两点之间线段最短，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积等知识点．两个函数关系式联立方程组的解即为交点的坐标是解题的关键，理解轴对称的性质是解决问题的前提． 6．（23-24九年级上·山东泰安·期中）（课本原题）如图，O是平面直角坐标系的原点，点B是x轴上一点，坐标是，以为边在第一象限作等边三角形，反比例函数的图像经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）将等边沿x轴正方向平移，使线段的中点恰好落在反比例函数的图像上，求等边平移的距离． 【答案】（1）反比例函数表达式为；（2）等边平移的距离为3． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，等边三角形的性质，平移的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）过A作于，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得 ，把 代入 即可得到结论； （2）设线段的中点为，根据三角形中位线定理得到，设等边平移的距离为m，把点代入反比例函数的解析式即可得到结论． 解：（1）解：过A作轴，垂足为C， ∵是等边三角形，， ， ∴A点坐标 ， 代入得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：取中点，过作轴，垂足为D． 则，是的中位线， ∴，， ∴点坐标， 设等边平移的距离为，则平移后的点的坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴, ∴， ∴等边平移的距离为3． 7．（23-24九年级上·河南信阳·期末）（课本原题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． （1）求点的坐标和反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）线段的垂直平分线交轴于点，求线段的长． 【答案】（1），；（2）作图见分析；（3） 【分析】（1）根据点在正比例函数的图像上求出的值，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）利用基本作图作的垂直平分线即可； （3）如图，过点作轴于点，连接，设点，根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可得，继而得到关于的方程，求解可得点的坐标，即可得解． 解：（1）解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∴点的坐标为，反比例函数的表达式为； （2）解：如解图所示，直线即为所求；     （3）解：如图，过点作轴于点，连接，设点， 由题意知：是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点拨】本题考查作图—基本作图：作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，待定系数法求反比例函数解析式，函数图像上点的坐标特征，坐标与图形，勾股定理等知识点．熟练掌握种基本作图是解题的关键． 8．（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）（课本原题）已知反比例函数（为常数，）的图像与直线有一个交点为． （1）求的值； （2）设点为该反比例函数图像上的一点，且，请比较与的大小关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数与一次函数， （1）先求出，得到，再将其代入反比例函数解析式即可得出答案； （2）当时，，而，即可得出答案； 掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图像与直线有一个交点为， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）由（1）得，反比例函数的解析式为， ∵点为该反比例函数图像上的一点，且， ∴， ∵， ∴． 9．（2023·河南·模拟预测）（课本原题）在平面直角坐标系中有，，，．反比例函数的图象如图所示． （1）若反比例函数经过点B，且交于点D，求证：D为的中点． （2）若反比例函数与的边界恰有两个公共点，请直接写出k的取值范围， 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面. （1）根据，，求出反比例的表达式及A、C点的坐标，进而求直线的表达式，再与反比例的表达式联立求出D点的坐标，求出、的长度即可证明结论； （2）根据题意可知，求出反比例函数经过A、C点的临界值即可得出k的取值范围． 解：（1） 证明：反比例函数经过点， ，解得 在中，， ， 设， 将代入可得， 解得， 联立， 解得（舍）或， ， ， 故D为的中点． （2）解：，，， ， 当过点时，；当过点时，； ∴当反比例函数与的边界恰有两个公共点，． 10．（2013·江苏镇江·中考真题）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题． 如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B． （1）写出点B的坐标，并求a的值； （2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）． ①求n的值； ②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式； ③直接写出不等式的解集． 【答案】（1）B点坐标为（﹣2，﹣2）．a=1；（2）①n=1．②； y=x﹣1．③x≥3或﹣1≤x＜1． 【分析】（1）直接把A点坐标代入y=ax即可求出a的值；利用反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点关于原点对称确定B点坐标． （2）①根据题意得到函数的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为，然后把M点坐标代入即可得到n的值．②根据题意易得图象C′的解析式为；图象l′的解析式为y=x﹣1．③不等式可理解为比较和y=x﹣1的函数值，由于和y=x﹣1为函数的图象和直线AB同时向右平移1个单位长度，得到的图象；而反比例函数的图象与正比例函数y=ax（a≠0）的图象的交点为A（2，2）和B（﹣2，﹣2），所以平移后交点分别为（3，2）和B（﹣1，﹣2），则当x＜﹣1或0＜x＜2时，函数的图象都在y=x﹣1的函数图象上方． 解：（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象的交点关于原点对称，A（2，2）， ∴B点坐标为（﹣2，﹣2）． 把A（2，2）代入y=ax得2a=2，解得a=1． （2）解：①函数的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为， 把M（2，4）代入得，解得n=1． ②图象C′的解析式为；图象l′的解析式为y=x﹣1． ③不等式的解集是x≥3或﹣1≤x＜1． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像及性质、反比例函数的平移特征、根据图像求解不等式的解集，熟练掌握反比例函数的平移特征是解题的关键． 11．（2022·江苏盐城·一模）苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料： 著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现： ，，，， 而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：． 这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想． 这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法． （1）代数中的反例： ①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______． ②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）几何中的反例： 学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件： ①有两边分别与AC和BC相等； ②与BC相等边所对的角等于； ③构造出的三角形与不全等． 要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明； ②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图． 【答案】（1）① ；②举例见分析；（2）画图见分析 【分析】（1）①当时，则 解得：或 再分别在小于0，大于0小于1，大于1的范围内举例即可；②举例：当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大，从而可作判断； （2）方法一：利用等腰三角形的性质构建三角形即可；方法二：利用角平分线的定义构建三角形即可；方法三：利用对顶角相等，结合等腰三角形构建三角形即可． 解：（1）解：①当时，则 解得：或 当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 所以“”是个假命题时，a的取值范围是 ②对于反比例函数 当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大， 所以“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）解：方法一：如图，延长，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于， 连接CD， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法二：以A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点F， 以点M为圆心，MF为半径画弧，与前弧在AB的另一侧交于点G， 作射线AG， 以点A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AG于点D， 以D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的延长线于点E， 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法三：以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AC的反向延长线于点D， 以点D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的反向延长线于点M，E（点E在外侧） 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 【点拨】本题考查的是反证法的应用，举反例的应用，全等三角形的判定，复杂的作图，特别是掌握两个三角形中满足两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等是解本题的关键． 12．（20-21八年级下·河南南阳·期中）（1）阅读教材例题：例：利用一次函数的图象，求二元一次方程的解．分析：方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：如图，分别作出一次函数y＝x+5和y＝﹣x﹣1的图象，得到它们交点的坐标（4，1），即方程组解为； （2）解决问题：模具厂计划生产一种面积为4cm2、周长为12cm的长方形模具，求这个长方形的长与宽，小明同学是这样解决的：设长方形的一边长为ycm，另一边为xcm；因为长方形的周长为12cm，则y与x的关系是　 　；因为长方形的面积为4cm2，则y与x的关系是　 　；x的取值范围是　 　，求长方形的长与宽，可转化为求两个函数图象交点坐标请你完成上面的填空，并画出函数的图象，求出长方形的长与宽（精确到0.1）； （3）问题拓展：若长方形面积为4cm2周长为m，则m的取值范围是　 　（直接写出结果）． 【答案】（2）；；0＜＜6，图象见分析，长宽分别为5.2，0.8；（3） 【分析】解决问题：（2）直接根据面积公式和周长公式求解即可；画出函数图象，根据图象求解即可； 问题拓展：（3）将面积和周长表达式联立方程组，得关于x的一元二次方程，根据有实数根进行判断即可得到结果． 解：解决问题：（2）设长方形的一边长为ycm，另一边为xcm； 因为长方形的周长为12cm，则y与x的关系是y=6-x； 因为长方形的面积为4cm2，则y与x的关系是； x的取值范围是0<<6； 画图如下： 根据图象得，交点坐标为（0.8，5.2），（5.2，0.8） ∴长方形的长是5.2cm，宽是0.8cm， 故答案为：；；0＜＜6； （3）当周长为mcm时，设长方形的一边长为ycm，另一边为xcm； 则y与x的函数关系式为 ∵面积为4cm2 ∴ 联立方程组得 整理得，时，两个函数图象有交点， ∴ 解得，，（舍去） ∴ 【点拨】本题主要利用长方形的周长和面积公式求出一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 13．（21-22八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第56页的部分内容， 例1  画出函数的图象． 解  这个函数中自变量的取值范围是不等于零的一切实数，列出与的对应值表： … … 1 2 3 6 … … … 6 3 2 1 … 通过列表、描点、连线画出函数的图象如下所示： 得出结论：观察图象写出该函数的两条性质 ①_______________________； ②___________________． 【学法迁移】通过列表、描点、连线画出函数的图象并进行探索． … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … （1）请将上面表格补全，并在图中画出函数的图象； （2）根据以上探究结果，完成下列问题： ①函数，自变量的取值范围为________； ②函数的图象是________图形（填中心对称图形或轴对称图形）； ③直接写出当时自变量的值________． 【答案】【教材呈现】①函数图象的对称中心为；②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小；【学法迁移】（1）2；；画图象见分析；（2）①；②轴对称图形；③ 【分析】教材呈现：观察函数图象，从对称性、增减性的角度得出结论． 学法迁移：（1）将和代入解析式即可求得对应的函数值，然后根据表格中的点在坐标系中描点画出图象． （2）①自变量在分母位置，分母不能为零，故；②观察图形即可；③将代入函数解析式，求出的值即可． 解：教材呈现： 观察函数图象，可以得到： ①函数图象的对称中心为 ②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小． 学法迁移： （1）将和代入， 当时，， 当时，； 补全表格如下： … 1 2 3 … … 1 2 3 3 2 1 … 函数图象如图所示： （2）①自变量在分母位置，分母不能为零，故； ②观察函数图象可知，图象关于轴对称， 故函数的图象是轴对称图形； ③将代入， 即，， 则． 故答案是：，轴对称图形，． 【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象． 14．（18-19九年级上·山西·期中）（1）课本情境 课本第 40 页第 3 题：如图 1，已知矩形 AOBC，AB=6cm，BC=16cm，动点 P 从点 A 出发，以 3cm/s 的速度向点 O 运动，直到点 O 为止；动点 Q 同时从点 C 出发，以 2cm/s 的速度向点 B 运动，与点 P 同时结束运动.出发____________________时，点 P 和点 Q 之间的距离是 10cm； （2）逆向发散 当运动时间为 2s 时，P、Q 两点的距离为__________cm；当运动时间为 4s 时，P、Q 两点的距离为___________cm； （3）拓展应用 若点 P 沿着 AO→OC→CB 移动，点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 Q 从点 C 移动到点 B 停止时，点P随点 Q 的停止而停止移动，试求经过多长时间△POQ 的面积12cm2？ （4）探索发现 如图 2，以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连接 AC，与 PQ 相交于点 D，若双曲线过点 D，问 k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 k 的值. 【答案】 或 （2） （3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2. （4）的值不会发生变化,是定值. 【分析】设P,Q两点出发秒，点P和点Q之间的距离是 10cm，过点P作, 根据勾股定理，列出方程求解即可. （2）2s时， 根据勾股定理，即可求出P、Q 两点的距离，同理可求出当4s时，P、Q 两点的距离. 分类讨论：①当点P在OA上时；②当点P在OC边上；③当点P在BC边上时． （4）先求出直线AC的解析式，再求出P,Q的坐标进而求值直线P,Q的解析式，联立两个解析式即可得出结论. 解：设P,Q两点出发秒，点P和点Q之间的距离是 10cm，过点P作, 由勾股定理得： 解得：或 故答案为或 （2）2s时， 4s时， 故答案为 （3）连接OQ.设经过ys后△PBQ的面积为12cm2. ①当时，则PO=16−3y， ∴即 解得y=4； ②当时， OP=3y−AB=3y−16，QC=2y，则 解得（舍去）； ③时， QP =22−y，则 解得y=18（舍去）. 综上所述,经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2. （4）的值不会发生变化, 理由：四边形AOCB是矩形, 直线AC的解析式为： 设运动时间为 直线PQ的解析式为： 联立①②，解得： 即点 是定值. 【点拨】考查动点问题，勾股定理，三角形的面积公式，待定系数法求函数解析式等，构造直角三角形是解题的关键. 15．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 【答案】教材呈现：证明见分析；方法探究：；方法应用：． 【分析】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则，可得四边形是平行四边形，得到，再根据三角形的面积公式即可求证； 方法探究：过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得，再根据三角形的面积公式即可求解； 方法应用：连接，由教材呈现可得，，由轴可得，，得到，再根据勾股定理得，进而根据菱形的性质得，再根据三角形的面积公式即可求解． 解：教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 即的面积和的面积相等； 方法探究：如图，过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得， ∵，， ∴， 故答案为：； 方法应用：连接，由教材呈现可得，， ∵轴，函数的图象经过点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，反比例函数比例系数的几何意义，勾股定理，菱形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2015·山东枣庄·三模）【课本节选】 反比例函数y=（k为常数,k≠0）的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线两个分支分别在三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？ 【尝试说理】 我们首先对反比例函数y=（k＞0）的增减性来进行说理．如图，当x＞0时． 在函数图象上任意取两点A、B，设A（x1，），B（x2，）， 且0＜x1＜x2． 下面只需要比较和的大小． —=． ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1 x2＞0，且 k＞0． ∴＜0．即＜． 这说明：x1＜x2时，＞．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了． 即：当x＞0时，y随x的增大而减小． 同理，当x＜0时，y随x的增大而减小． （1）试说明：反比例函数y= （k＞0）的图象关于原点对称． 【运用推广】 （2）分别写出二次函数y=ax2（a＞0，a为常数）的对称性和增减性，并进行说理． 对称性： ； 增减性： ． 说理： （3）对于二次函数y=ax2＋bx＋c （a＞0，a，b，c为常数），请你从增减性的角度，简要解释为何当x=—时函数取得最小值． 【答案】（1）理由见分析；（2）关于y轴对称；y轴左侧，y随x的减小而增大；y轴右侧，y随x的增大而增大；（3）理由见分析. 解：试题分析：（1）设点A（a，b）在函数图象上，将其对称点代入函数解析式也成立，反比例函数y=（k＞0）的图象关于原点对称； （2）设C（c，d），其关于y轴的对称点为C′（-c，d），将两点横坐标代入解析式得到相同的纵坐标，可知其关于y轴对称；取点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0；则ax12＞ax22，即y1＜y2，可见，y轴左侧，y随x的减小而增大；同理可证，y轴右侧，y随x的增大而增大． （3）根据对称轴左侧和右侧的坐标对应的函数值都比对称轴对应的函数值大来说理． 试题解析：（1）设点A（a，b）在函数图象上，则有ab=k， 则函数关于原点的对称点为A′（-a，-b）， 将A′（-a，-b）代入y=，有（-a）（-b）=k， 即ab=k， 可见，A和A′关于原点对称． （2）关于y轴对称：设C（c，d），其关于y轴的对称点为C′（-c，d）， 将C（c，d）代入y=ax2得，d=ac2；将C′（-c，d）代入y=ax2得，d=a（-c）2=ac2． 可见，函数关于y轴对称； 增减性：取点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0； 则ax12＞ax22， 即y1＜y2，可见，y轴左侧，y随x的减小而增大；同理可证，y轴右侧，y随x的增大而增大． 可见，对称轴左侧和右侧的坐标对应的函数值都比对称轴对应的函数值大，当x=-时函数取得最小值． （3）关于y轴对称：设C（c，d），其关于y轴的对称点为C′（-c，d）， 将C（c，d）代入y=ax2得，d=ac2；将C′（-c，d）代入y=ax2得，d=a（-c）2=ac2． 可见，函数关于y轴对称； 增减性：取点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0； 则ax12＞ax22， 即y1＜y2，可见，y轴左侧，y随x的减小而增大；同理可证，y轴右侧，y随x的增大而增大． 考点：反比例函数综合题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.12 反比例函数（回归教材与课本源题）（精选精编） 中考考题一个特点:“源于教材”但“高于教材”,体现了“题在书外,根在书中”的特点,本专题持别选了一些“课本源题”,供大家参考使用! 1．（2025·山东聊城·一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； （3）若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期中）（课本原题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标． 3．（课本原题）（23-24九年级上·山东威海·期中）为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． （1）分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． （2）已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 4．（课本原题）（23-24八年级上·上海静安·期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间x（时）变化的函数图象如下图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出段和段所对应的y与x的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 5．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）（课本原题）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于，求； （3）过点作轴于，问：是否在轴上存在一点，使得的值最小，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 6．（23-24九年级上·山东泰安·期中）（课本原题）如图，O是平面直角坐标系的原点，点B是x轴上一点，坐标是，以为边在第一象限作等边三角形，反比例函数的图像经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）将等边沿x轴正方向平移，使线段的中点恰好落在反比例函数的图像上，求等边平移的距离． 7．（23-24九年级上·河南信阳·期末）（课本原题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． （1）求点的坐标和反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）线段的垂直平分线交轴于点，求线段的长． 8．（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）（课本原题）已知反比例函数（为常数，）的图像与直线有一个交点为． （1）求的值； （2）设点为该反比例函数图像上的一点，且，请比较与的大小关系． 9．（2023·河南·模拟预测）（课本原题）在平面直角坐标系中有，，，．反比例函数的图象如图所示． （1）若反比例函数经过点B，且交于点D，求证：D为的中点． （2）若反比例函数与的边界恰有两个公共点，请直接写出k的取值范围， 10．（2013·江苏镇江·中考真题）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题． 如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B． （1）写出点B的坐标，并求a的值； （2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）． ①求n的值； ②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式； ③直接写出不等式的解集． 11．（2022·江苏盐城·一模）苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料： 著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现： ，，，， 而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：． 这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想． 这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法． （1）代数中的反例： ①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______． ②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）几何中的反例： 学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件： ①有两边分别与AC和BC相等； ②与BC相等边所对的角等于； ③构造出的三角形与不全等． 要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明； ②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图． 12．（20-21八年级下·河南南阳·期中）（1）阅读教材例题：例：利用一次函数的图象，求二元一次方程的解．分析：方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：如图，分别作出一次函数y＝x+5和y＝﹣x﹣1的图象，得到它们交点的坐标（4，1），即方程组解为； （2）解决问题：模具厂计划生产一种面积为4cm2、周长为12cm的长方形模具，求这个长方形的长与宽，小明同学是这样解决的：设长方形的一边长为ycm，另一边为xcm；因为长方形的周长为12cm，则y与x的关系是　 　；因为长方形的面积为4cm2，则y与x的关系是　 　；x的取值范围是　 　，求长方形的长与宽，可转化为求两个函数图象交点坐标请你完成上面的填空，并画出函数的图象，求出长方形的长与宽（精确到0.1）； （3）问题拓展：若长方形面积为4cm2周长为m，则m的取值范围是　 　（直接写出结果）． 13．（21-22八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第56页的部分内容， 例1  画出函数的图象． 解  这个函数中自变量的取值范围是不等于零的一切实数，列出与的对应值表： … … 1 2 3 6 … … … 6 3 2 1 … 通过列表、描点、连线画出函数的图象如下所示： 得出结论：观察图象写出该函数的两条性质 ①_______________________； ②___________________． 【学法迁移】通过列表、描点、连线画出函数的图象并进行探索． … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … （1）请将上面表格补全，并在图中画出函数的图象； （2）根据以上探究结果，完成下列问题： ①函数，自变量的取值范围为________； ②函数的图象是________图形（填中心对称图形或轴对称图形）； ③直接写出当时自变量的值________． 14．（18-19九年级上·山西·期中）（1）课本情境 课本第 40 页第 3 题：如图 1，已知矩形 AOBC，AB=6cm，BC=16cm，动点 P 从点 A 出发，以 3cm/s 的速度向点 O 运动，直到点 O 为止；动点 Q 同时从点 C 出发，以 2cm/s 的速度向点 B 运动，与点 P 同时结束运动.出发____________________时，点 P 和点 Q 之间的距离是 10cm； （2）逆向发散 当运动时间为 2s 时，P、Q 两点的距离为__________cm；当运动时间为 4s 时，P、Q 两点的距离为___________cm； （3）拓展应用 若点 P 沿着 AO→OC→CB 移动，点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 Q 从点 C 移动到点 B 停止时，点P随点 Q 的停止而停止移动，试求经过多长时间△POQ 的面积12cm2？ （4）探索发现 如图 2，以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连接 AC，与 PQ 相交于点 D，若双曲线过点 D，问 k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 k 的值. 15．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 16．（2015·山东枣庄·三模）【课本节选】 反比例函数y=（k为常数,k≠0）的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线两个分支分别在三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？ 【尝试说理】 我们首先对反比例函数y=（k＞0）的增减性来进行说理．如图，当x＞0时． 在函数图象上任意取两点A、B，设A（x1，），B（x2，）， 且0＜x1＜x2． 下面只需要比较和的大小． —=． ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1 x2＞0，且 k＞0． ∴＜0．即＜． 这说明：x1＜x2时，＞．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了． 即：当x＞0时，y随x的增大而减小． 同理，当x＜0时，y随x的增大而减小． （1）试说明：反比例函数y= （k＞0）的图象关于原点对称． 【运用推广】 （2）分别写出二次函数y=ax2（a＞0，a为常数）的对称性和增减性，并进行说理． 对称性： ； 增减性： ． 说理： （3）对于二次函数y=ax2＋bx＋c （a＞0，a，b，c为常数），请你从增减性的角度，简要解释为何当x=—时函数取得最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$