专题06 反比例函数期末高频必刷题汇编-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题06 反比例函数期末高频必刷题汇编 一、单选题 1．当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　） A． B． C． D． 3．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 5．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（     ） A．当时， B．I与R的函数表达式是 C．当时， D．当时，则 6．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象关于直线对称 C．图象位于第二、四象限 D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大 7．已知反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 8．如图，是反比例函数图象上一点，且A点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接，延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数的图象上．已知，则的值为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 10．在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 11．如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D．12 12．如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 13．如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 15．已知点，在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 二、填空题 17．如图，若点A在反比例函数的一支图象上，轴于点M，则的面积为 ． 18．如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ． 19．如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 20．在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是 m．    21．如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点．若，则的取值范围是 ． 23．如图，矩形和正方形的顶点A，D均在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点F在边上，顶点B，E都在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 24．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知的面积为6，则 ． 三、解答题 25．电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 26．综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ． (1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证． (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量． 27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出x的取值范围； (3)设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式． 28．综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，支点O在的中点处，一个的砝码． 素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量乘以等于右盘物体重量乘以．（不计托盘与横梁重量） 任务1：左侧托盘放入1个砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求y关于x的函数表达式； 任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡； 任务3：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？ 29．在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． (1)求的值和一次函数表达式． (2)当时，直接写出的取值范围． (3)若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 30．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 31．如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 32．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 33．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且的面积为6，求点的坐标． 34．如图，在平行四边形中，=45°，点在轴上，点是的中点，反比例函数的图象经过两点． （1）求的值； （2）求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数期末高频必刷题汇编 一、单选题 1．当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质，将代入反比例函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 2．若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将代入即可求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ∵，，，， ∴B选项符合题意． 故选：B． 3．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像与性质，由，可知反比函数在每个象限内，y随x的增大而减小，点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上，分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上， ∴， 即． 故答案为：D． 4．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是或， 故选：． 5．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（     ） A．当时， B．I与R的函数表达式是 C．当时， D．当时，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点P坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，；故C不正确； 当时，；当时，， 表明当时，则；故D正确； 6．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象关于直线对称 C．图象位于第二、四象限 D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故反比例函数的图象不经过，原说法错误，不符合题意； B、反比例函数的图象分布在第一三象限，关于直线对称，原说法正确，符合题意； C、反比例函数的图象分布在第一三象限，原说法错误，不符合题意； D、反比例函数的图象，在每一个象限内，随着的增大而减小，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．已知反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，不等式的性质等．先待定系数法求出反比例函数解析式，再结合的取值，列出不等式，根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， ∴， 当时， ∴当时，， ∴， 所以函数值的取值范围为． 故选：D． 8．如图，是反比例函数图象上一点，且A点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接，延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数的图象上．已知，则的值为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标关于a、b的代数式是关键． 如图：作轴，作轴，可证明得、，求出点B的坐标即可求出k的值． 【详解】解：如图：作轴，作轴， 根据题意：，，， ∴， ∴， ∵点A的横坐标为a,且在反比例函数图象上， ∴点B的横坐标为,， ∴ ∴点B的纵坐标为：， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 故选：C． 9．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】解：依题意，设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 ∵ ∴， 又∵， 故， ∴， 故选：D． 10．在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数系数得到，求出的值，然后代入即可求得． 【详解】解： ，都在反比例函数图象上， ， 解得：或舍去， ． 故选：D． 11．如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，应用是解题的关键．作轴于，易得矩形的面积平行四边形的面积三角形面积的2倍，再利用等于矩形的面积即可． 【详解】解：作轴于， ， ， ， ， 在第二象限， ， 故选：C 12．如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图形与性质．设，则依题得，由反比例函数（）的图象经过两点得出等量关系，再用表示出即可． 【详解】解：设，则依题得 为的中点 反比例函数（）的图象经过两点 化简得 ， ． 故选：A． 13．如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【详解】解：作于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∴， ， 而， ， 故选：A． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得、的坐标是关键． 作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，通过，求得、的坐标，根据全等三角形的性质可以求得、的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得的坐标，求出，即可求出． 【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点， 在中，令，解得：，即的坐标是． 令，解得：，即的坐标是． 则． ∵， ∴， 又∵直角中，， ∴， 在和中， ， ∴， 同理，， ， 故的坐标是的坐标是． 代入得：，则函数的解析式是：． ， 则的横坐标是2，把代入得：． 即的坐标是， ， ， 故选：B． 15．已知点，在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．根据已知条件可知，函数在同一象限内随的增大而减小，得，即可求得m的取值范围． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， 且当时，有， ∴， 解得：． 故选：C． 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键． 二、填空题 17．如图，若点A在反比例函数的一支图象上，轴于点M，则的面积为 ． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 18．如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数，解一元一次方程等．根据题意可得线段把该图形分成面积为和的两部分，得出点的纵坐标为，点的纵坐标为，代入反比例解析式求出点和点的坐标，得出，，，求出梯形的面积，再加上个小正方形的面积，可得出线段的左侧部分图形的面积，据此列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图： ∵线段把该图形分成面积为的两部分，且图形的总面积是， ∴线段把该图形分成面积为和的两部分， 根据题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点， 故，， 则，，， 故梯形的面积为：， 即或， 解得：或． 故答案为：或． 19．如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数图象，菱形的性质，正确理解反比例函数的图象是解题的关键．设菱形的对角线，相交于点E，则根据菱形的性质可求出点B的坐标，代入反比例函数关系式求解，即得答案． 【详解】设菱形的对角线，相交于点E， 则，， 轴， 轴， ， 把代入，得， ． 故答案为：5． 20．在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是 m．    【答案】15 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求解反比例函数解析式是解题的关键．由题意及图象得反比例函数解析式，然后再把代入函数关系式即可求解． 【详解】解： 力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，设其函数关系式为，又点在图象上， ，即， 力与此物体在力的方向上移动的距离函数关系式为 当力为时，即， 解得． 当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是15． 故答案为：15． 21．如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是 ． 【答案】25 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．先由表格数据求出与的函数关系，再找出其中错误的一组即可． 【详解】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系，设，则 当时， 故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是25． 故答案为：25． 22．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点．若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．观察函数图象，当或时． 【详解】解：由图可知：当或时． 故答案为：或． 23．如图，矩形和正方形的顶点A，D均在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点F在边上，顶点B，E都在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，设，易得：，再根据均在反比例函数图象上，列出方程求出的值即可． 【详解】解：∵矩形和正方形，点B的坐标为， ∴，， 设，则：， ∴， ∵顶点B，E都在反比例函数的图象上， ∴，解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 24．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知的面积为6，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴． 故答案为：12． 三、解答题 25．电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为； （2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围． 本题主要考查了反比例函数的定义和性质，利用反比例函数解决实际问题．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解∶根据电学知识，当时，由得． （2）解：将电阻的最小值代入， 得 ． 将电阻的最大值代入， 得． 所以用电器功率的范围是． 26．综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ． (1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证． (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量． 【答案】(1)图见解析；反比例函数；；见解析 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键． （1）把各点依次连起来，可以猜想是反比例函数的图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可，并任选一对值验证即可； （2）当时, 即，代入（1）中求出的函数表达式中即可求得x的值，则可求得空矿泉水瓶的质量． 【详解】（1）解：连线如下图所示： 反比例函数；                                         设 y关于x的函数表达式为 ， 把代入函数表达式得，解得，             ∴y关于x的函数表达式为 ．                        把代入函数表达式，得， 成立． （2）解：当时, 即, 解得． 则． 所以空矿泉水瓶的质量为． 27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出x的取值范围； (3)设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式等，证明三角形全等是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）证明，则且，得到，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 反比例函数的表达式为； （2）把代入得，， ， 当时，的取值范围为或； （3）过点作交于点，过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ，则为等腰直角三角形，则，， ，， ， ， ， 设点，则且， 解得：，， 即点， 设直线的表达式为：， 把由点、的坐标代入得， ．解得：， 直线的表达式为． 28．综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，支点O在的中点处，一个的砝码． 素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量乘以等于右盘物体重量乘以．（不计托盘与横梁重量） 任务1：左侧托盘放入1个砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求y关于x的函数表达式； 任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡； 任务3：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？ 【答案】任务1：；任务2：一个1元的硬币，右侧托盘至少要放置3个1元硬币；任务3： 【分析】本题考查反比例函数的应用、解一元一次不等式，任务1：根据题意得，，再根据杠杆原理列等式即可求解； 任务2：由任务1得，，当时，天平平衡，即，代入求得10枚1元硬币，即一个1元的硬币，再由反比例函数的增减性可得当时，y的最小值为16.48，即可求解； 任务3：由题意得，设时，天平能保持平衡，此时，进而可得，再进行求解即可． 【详解】解：任务1：∵点O是的中点，， ∴， 由题意得，， 即， ∴y关于x的函数表达式为； 任务2：由任务1得，， ∵当时，天平平衡， ∴， ∴， ∴10枚1元硬币， ∴一个1元的硬币， ∵，即， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y的最小值为， 又∵， 答：右侧托盘至少要放置3个1元硬币； 任务3：由题意得，设时，天平能保持平衡， 此时，， ∴， ∴， 答：的长度至多是． 29．在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． (1)求的值和一次函数表达式． (2)当时，直接写出的取值范围． (3)若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)，一次函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）先将点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式后，再将点坐标代入反比例函数解析式，最后把，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题． （2）根据函数图象，以及，两点坐标，即可解决问题． （3）设出点的坐标，再根据所给平移方式表示出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将，两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． （2）由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， 所以当时，的取值范围是：或． （3）因为点在函数的图象上， 所以令点的坐标为， 则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为， 即点的坐标为． 因为点在函数的图象上， 所以， 解得， 所以点的坐标为或． 30．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入，再计算可得答案； （3）由再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）把代入，得， ∴火焰的像高为． （3）时， ， ， ， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 31．如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)图见解析，反比例函数 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）描线，画出函数图象即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 它是反比例函数． （2）设这个反比例函数的表达式为 由图像可知，图像过， ∴， ∴． （3）时，中随的增大而减小， 当的值最大时，最小． 即当时， 32．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】(1)，． (2)空矿泉水瓶的重量为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为． （2）解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 33．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先把代入中求出，得到，然后把代入中求出的值得到反比例函数的表达式即可； （2）求得点的坐标，设点，则，根据三角形的面积公式求得的值，进而可得到点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， ， 点坐标为， 把代入得，， 解得：， 反比例函数的解析式为：； （2）解：在直线中，令，则， 解得：， 点坐标为， 设点，则， 的面积为6， ， 解得：或， 坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式，解题的关键是求得交点坐标． 34．如图，在平行四边形中，=45°，点在轴上，点是的中点，反比例函数的图象经过两点． （1）求的值； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）k=4；（2）6． 【分析】（1）过C作CE⊥x轴于E，则∠CEO=90°，根据∠AOC=45°可得出OE=CE，再根据勾股定理求出OE，CE，求出C的坐标，即可求出答案； （2）过点作轴于，根据D为中点求出AD的长，再判断出△ADF为等腰直角三角形，进而求出DF的值，代入反比例函数解析式求出OF，再求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可． 【详解】解：（1）过点作轴于， ，． ， ∵反比例函数的图象经过点点， ； （2）过点作轴于， ∵四边形是平行四边形， ， 又∵点是的中点， ， 又， ， 点的纵坐标为． 反比例函数的图象过点点， ． ． 平行四边形的面积． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，能求出OA的值是解（2）的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$