专题6.9 反比例函数（9类题型）（挑战综合压轴题分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题6.9 反比例函数（9类题型）（挑战综合压轴题分类专题） 第一部分【题型目录】 一、综合部分 【题型1】反比例函数与新定义问题..................................................1 【题型2】反比例函数与一次函数综合................................................4 【题型3】反比例函数与面积综合....................................................7 【题型4】反比例函数与几何综合...................................................11 【题型5】反比例函数与动态几何问题...............................................15 二、压轴部分 【题型6】反比例函数与最值.......................................................20 【题型7】反比例函数与存在性问题.................................................24 【题型8】反比例函数与定值问题...................................................31 【题型9】反比例函数与拓展探究问题...............................................38 第二部分【题型展示与方法点拨】 一、综合部分 【题型1】反比例函数与新定义问题 【例1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象位于第一、三象限 B．当时， C．该函数图象经过点 D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算和反比例函数图象的性质，根据新定义运算得到反比例函数解析式，根据反比例函数图形性质一一判断即可． 解：由题意可知：， ∴， ∴由可知，反例函数的图象位于第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 当时，对应点都在左半支，随的增大而增大，所以，故选项B错误，不符合题意； 当时，，所以函数图象不经过点，故选项C错误，不符合题意； 反比例函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项D正确，符合题意； 故选：D 【变式1】（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点的坐标为，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，联立，求出，则可得，所以，又线段上有个整点，点，，都是整点，故，然后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键． 解：联立， 解得， ∴点的坐标为， 过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段上有个整点，点，，都是整点， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交（每两个函数图像有且仅有1个交点）得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【答案】 【分析】先画简易图象，并求解函数的交点坐标，再利用勾股定理求解三边的长度，从而可得答案. 解：如图， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴的最短边长度为； 故答案为： 【点拨】本题考查的是一次函数，反比例函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，新定义的含义，理解题意是解本题的关键. 【题型2】反比例函数与一次函数综合 【例2】（2025·湖北·二模）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于． （1）求的值及正比例函数的解析式； （2）分别以点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交轴于点．求线段的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查待定系数法求解析式，尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质． （1）把点代入反比例函数，得到m的值，把点A代入正比例函数即可求出k的值． （2）由题意可得：垂直平分，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，设，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案． 解：（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵正比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：由作图可知，垂直平分，连接， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系，根据反比例函数图象所在的象限可以判定a的符号，根据a的符号来确定直线所经过的象限． 解：A、双曲线经过第一、三象限，则．所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项正确． B、双曲线经过第一、三象限，则．所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误． C、双曲线经过第二、四象限，则．所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于负半轴，故本选项错误． D、双曲线经过第二、四象限，则．所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于负半轴，故本选项错误． 故选：A． 【变式2】（2025·安徽阜阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于B，C两点，分别与y轴、x轴相交于A、D两点，已知点B的纵坐标为6，点C的横坐标为3，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理等知识．先利用反比例函数求出，，再用待定系数法求出一次函数为，再求出，，利用两点间距离公式进行解答即即可． 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于B，C两点，点B的纵坐标为6，点C的横坐标为3， ∴，解得， ∴，， 把，代入得到 ， 解得， ∴一次函数为， 当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【题型3】反比例函数与面积综合 【例1】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． （1）求的值． （2）若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见分析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 解：（1）解：设． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，若，且四边形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，设，则，，从而可求出，然后由四边形的面积为，即，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵点在函数的图象上， ∴设， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可． 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， 解得：， ∴反比例函数为：，正比例函数为， ∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点， ∴，即，一次函数为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴， 如图，过作轴于，作轴于，过作轴于， ∴五边形的面积为， ∴四边形的面积为； 故选：B． 【题型4】反比例函数与几何综合 【例4】（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. （1）直接写出的值； （2）①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 【答案】（1）4；（2）①见分析；② 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设点，由轴，轴，得到，，根据点P在反比例函数图象上，于是得到； （2）①在中，令，则；令，则，于是得到，，求得，根据等腰直角三角形的性质得到； ②由①知是等腰直角三角形，得到，过C作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根据题意列方程即可得到结论． 解：（1）解：设点， ∵轴，轴， ∴，， ∵点P在反比例函数图象上， ∴； （2）解：①证明：∵在中，令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②由①知是等腰直角三角形， ∴， 过C作轴于E，轴于F， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴m与n的函数关系式为. 【变式1】（2025·浙江·二模）如图，已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上．若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图象法求不等式解集，掌握图像法解不等式解集是关键． 根据题意得到一次函数，反比例函数解析式，再根据题意得到一次函数与反比例函数交点，结合图象法求不等式解集即可． 解：∵经过点， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即， ∴化为， 令， ∴反比例函数与一次函数的交点的计算如下， ，整理得，， 解得，， 如图所示， ∴或． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，矩形的性质，先求解反比例函数为，结合矩形的性质求解，再结合平移的性质可得答案． 解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为， ∵矩形的对角线，相交于点， ∴点是的中点， ∵，的坐标分别为，， ∴，即， 当，则， ∴平移的距离为， 故选：A． 【题型5】反比例函数与动态几何问题 【例5】（2025·山东临沂·一模）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接． （1）求的值； （2）直接写出时的取值范围； （3）连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积． 【答案】（1）8；（2）或；（3）6 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． （1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）根据要使得，只需的图象在的图象上方时的取值范围，再结合其交点坐标即可得出答案； （3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 解：（1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）令与的另一个交点为， 由反比例函数与正比例函数的性质可知， 要使得，只需的图象在的图象上方， 此时，或； （3）连接，令与交点为，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【变式1】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再根据点D在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，利用坐标相等即可求解． 解：将代入中，得， 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，    四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点D的坐标是 ， 点D在反比例函数图像上，点D的横坐标为n， 点D的坐标是， ，， ，， ， ， ． 故答案为：2． 【变式2】（2025·山东德州·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．设点是线段上的一个动点（不与A，B重合），过点作轴的平行线，与该反比例函数的图象交于点，连接，，．当四边形的面积等于12时，求点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，一元二次方程的解法等知识点．将代入解析式中可求得；可得反比例函数解析式，设，则，可得；设点的横坐标分别为，根据四边形的面积构建方程即可求出C点坐标； 解： 直线过点， ， ∴， 反比例函数的图象过点， ． 设，则， 设点的横坐标分别为， 则． ， ， ，解得． ， ， ． 故选：A 二、压轴部分 【题型6】反比例函数与最值 【例6】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）已知点，，点是反比例函数在第三象限图象上的动点．过点作直线使其与反比例函数的图象有且仅有一个公共点，且与轴、轴分别交于，两点．当点运动时，四边形面积的最小值为（   ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，设直线的解析式为：，根据过点作直线使其与反比例函数的图象有且仅有一个公共点，联立直线和反比例函数的解析式，得到一元二次方程，进而得到，求出的关系，进而求出的坐标，利用分割法表示出四边形面积，求最值即可． 解：设直线的解析式为：， 联立，得：， 由题意，得：， ∴， ∴， 当时，，当时，， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴四边形面积； 故选B． 【变式1】（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 设 则 而当时，则 ∴的最小值是8， ∴的最小值是 故选：C． 【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，平面直角坐标系中正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，的图象与正方形的两边分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】考查正方形的性质，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，及两点间距离公式等知识，综合性较强，利用知识较多，先求得，再由，列出方程，求得，可求得，作点关于轴的对称点，连接将轴于点P，连接，此时最小，再求解即可． 解：正方形中，且， 点M的横坐标及点N的纵坐标都是4， 点M、N在反比例函数的图象上， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接将轴于点P，连接，此时最小， 点关于轴的对称点， ， 故答案为： 【题型7】反比例函数与存在性问题 【例7】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式； （1）根据正方形求出点的坐标，代入计算即可； （2）根据反比例函数的几何意义求出四边形的面积，再设表示出的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可． 解：（1）解：∵正方形的边长为6，轴， ∴，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，，， 把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴四边形的面积为， 设， ∴， ∵的面积等于四边形的面积， ∴， 解得， ∴或． 【变式1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． （1）的值为______． （2）将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）①；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据坐标与图形、正方形的性质得到点B坐标，然后代入求解即可； （2）①根据轴对称性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，则有，进而求解即可； ②设，分三种情况：若、若、若，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解． 解：（1）解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴，则, 将代入中，得； （2）解：①根据翻折性质，得， ∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4， ∵点E、F在函数的图象上， ∴当时，，当，， ∴，， 过F作轴于H，则， ∴； ②存在．设， ∴， ， ， ∵为直角三角形， ∴分三种情况： 若，则， ∴，解得， ∴； 若，则， ∴，即， ∵， ∴该方程无解，即P不存在； 若，则， ∴，解得， ∴， 综上，满足条件的点的坐标为或． 【点拨】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数比例系数k的几何意义、坐标与图形、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． （1）已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）①的面积为；②；（2）不存在，理由见分析 【分析】（1）①过点作轴于点，利用角平分线的性质可得，再证得，即可求得答案； ②过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得，再利用中点坐标可得出，即可求得答案； （2）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别讨论即可． 解：（1）解：（1）①当时，， 如图，过点作轴于点， 则， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， 的面积为； ②如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 直线的表达式为，直线的表达式为， 设，则， 点是线段的中点， （2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下： 设， 点在直线上，则直线的解析式为 点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点， ， 当点在线段上时，过点作于点，如图， 则 ，， 点是的中点， 的纵坐标为 化简得，， ， 又点不与点重合， 此时不存在点，使得； 当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图， 同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得； 综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得． 【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，中点坐标公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 【题型8】反比例函数与定值问题 【例8】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． （1）求证：平分； （2）对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； （3）是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析，定值为；（3）存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为 【分析】（）由一次函数解析式可得，即得，得到，进而可得，即可求证； （）设点的坐标为，可得，即得，同理可得，得到，即可求证； （）由点为线段的中点得，进而可得，得到，即得到，代入反比例函数解析式可得，即可求解． 解：（1）证明：把代入，得；把代入，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）证明：设点的坐标为， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又由（）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为； （3）解：存在，理由如下： 当点为线段的中点时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或（不合，舍去）， ∴直线的解析式为， 即存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为． 【点拨】本题考查了反比例函数的几何应用，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）连接，当的面积为30时，求点C的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）是定值，2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 解：（1）解：将代入直线得， ， 解得，， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令得，即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 【变式2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． （1）如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； （2）如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； （3）如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①的值为4；②m，的值为1，3；（2）当时，；（3） 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 解：（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点拨】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 【题型9】反比例函数与拓展探究问题 【例9】（2024·山东济南·二模）综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知 函数的自变量取值范围是______； （2）作出图象 ①列表： x … n 0 1 2 3 4 … y … 2 3 4 m 6 0 … 填空：表中______，______； ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为______；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线______ （4）拓展应用 ①若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接，则的面积为______ ②若直线与函数的图象有且只有一个交点，则k的值为______． 【答案】（1）；（2）①5，；②图象见分析；（3）；和；（4）①5②8． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移． （1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①求出的函数值，求得时的x的值即可；②利用描点法画出函数图象即可； （3）根据平移的性质，可得结论； （4）①联立方程组求出点A，B的坐标，运用分割法可求出的面积；②联立方程，得求解即可． 解：（1）解：∵ ∴ 故函数的自变量取值范围是是． 故答案为：． （2）解：①时，， ∴． 当时，则，解得， ∴， 故答案为5，； ②函数图象如图所示： （3）解：该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 ；函数的图象的对称轴为直线 故答案为：； （4）解：①如图， 联立， 解得，， ； 故答案为：5； ②联立方程得 整理得， ∵直线与函数的图象有且只有一个交点， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴， 故答案为：8 【变式1】（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 【答案】【感知】16，16，平行；【探究】①相等，②平行；【运用】；【拓展】． 【分析】【感知】如图，延长，交延长线于，根据点，坐标得出，，利用三角形面积公式求出、的值，得出和都是等腰直角三角形，可得，即可证明，可得答案； 【探究】①根据反比例函数的几何意义即可得出； ②根据得出对应高相等，可得四边形是矩形，即可证明； 【运用】连接，设，根据，可得，根据点在反比例函数图像上可求出的长，进而求出的值，即可得答案； 【拓展】作交于，作于，作于，根据平行线分线段成比例得出，根据反比例函数图像中心对称的性质得出，利用平行线分线段成比例即可得答案． 解：【感知】如图，延长，交延长线于， ∵轴，轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴与的位置关系为：平行． 故答案为：16，16，平行 【探究】①如图，连接、， ∵轴，轴， ∴，， ∴． ②过点作于，过点作于，则， ∵， ∴边上的高相等，即， ∴四边形是矩形， ∴． 【运用】如图，连接，设， ∵，， ∴， ∵点，在反比例函数的图像上，且， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【拓展】如图，作交于， ∵，， ∴， ∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查反比例函数图像与性质、反比例函数的几何意义、平行线的判定、等腰直角三角形的判定及矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【变式2】（21-22八年级下·河南南阳·期中）【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE． 【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式； 【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ． 【答案】（1）见分析；（2）y＝x＋4；（3）－112、－84、－49 解：（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论； （2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论． 解：（1）如图1， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°． 又∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ACD与△CBE中 ， ∴△ACD≌△CBE（AAS） ∴AD＝CE； （2）∵直线y＝x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴A（0，4）、B（－3，0）， 如图2， 图2 过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴， 在△BDC和△AOB中， ， ∴△BDC≌△AOB（AAS）， ∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4， ∴OD＝OB＋BD＝3＋4＝7， ∴C点坐标为（－7，3）， 设l2的解析式为y＝kx＋b，将A，C点坐标代入， 得， 解得， ∴l2的函数表达式为y＝x＋4； （3）分三种情况： ①如图3，，过点C作轴于E， 当时，， 当时，， ∴， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ②如图4，，过点C作轴于F， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ③如图5，，过点C作轴，过点B作轴， 同（1）可得， ∴，， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，k的所有可能的值是-112或－84或-49． 故答案为：-112、－84、-49． 【点拨】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.9 反比例函数（9类题型）（挑战综合压轴题分类专题） 第一部分【题型目录】 一、综合部分 【题型1】反比例函数与新定义问题..................................................1 【题型2】反比例函数与一次函数综合................................................2 【题型3】反比例函数与面积综合....................................................3 【题型4】反比例函数与几何综合....................................................4 【题型5】反比例函数与动态几何问题................................................5 二、压轴部分 【题型6】反比例函数与最值........................................................6 【题型7】反比例函数与存在性问题..................................................7 【题型8】反比例函数与定值问题....................................................8 【题型9】反比例函数与拓展探究问题...............................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 一、综合部分 【题型1】反比例函数与新定义问题 【例1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象位于第一、三象限 B．当时， C．该函数图象经过点 D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形 【变式1】（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为 ． 【变式2】（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交（每两个函数图像有且仅有1个交点）得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【题型2】反比例函数与一次函数综合 【例2】（2025·湖北·二模）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于． （1）求的值及正比例函数的解析式； （2）分别以点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交轴于点．求线段的长． 【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽阜阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于B，C两点，分别与y轴、x轴相交于A、D两点，已知点B的纵坐标为6，点C的横坐标为3，则 ． 【题型3】反比例函数与面积综合 【例1】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． （1）求的值． （2）若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，若，且四边形的面积为，则的值为 ． 【变式2】（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【题型4】反比例函数与几何综合 【例4】（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. （1）直接写出的值； （2）①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 【变式1】（2025·浙江·二模）如图，已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上．若，则的取值范围为 ． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（   ） A． B． C． D． 【题型5】反比例函数与动态几何问题 【例5】（2025·山东临沂·一模）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接． （1）求的值； （2）直接写出时的取值范围； （3）连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积． 【变式1】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则 ． 【变式2】（2025·山东德州·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．设点是线段上的一个动点（不与A，B重合），过点作轴的平行线，与该反比例函数的图象交于点，连接，，．当四边形的面积等于12时，求点的坐标（   ） A． B． C． D． 二、压轴部分 【题型6】反比例函数与最值 【例6】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）已知点，，点是反比例函数在第三象限图象上的动点．过点作直线使其与反比例函数的图象有且仅有一个公共点，且与轴、轴分别交于，两点．当点运动时，四边形面积的最小值为（   ） A． B．9 C． D．10 【变式1】（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ） A．1 B． C． D．4 【变式2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，平面直角坐标系中正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，的图象与正方形的两边分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则的最小值是 ． 【题型7】反比例函数与存在性问题 【例7】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． （1）的值为______． （2）将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． （1）已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【题型8】反比例函数与定值问题 【例8】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． （1）求证：平分； （2）对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； （3）是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）连接，当的面积为30时，求点C的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【变式2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． （1）如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； （2）如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； （3）如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【题型9】反比例函数与拓展探究问题 【例9】（2024·山东济南·二模）综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知 函数的自变量取值范围是______； （2）作出图象 ①列表： x … n 0 1 2 3 4 … y … 2 3 4 m 6 0 … 填空：表中______，______； ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为______；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线______ （4）拓展应用 ①若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接，则的面积为______ ②若直线与函数的图象有且只有一个交点，则k的值为______． 【变式1】（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 【变式2】（21-22八年级下·河南南阳·期中）【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE． 【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式； 【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$