第12章 二次根式（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第12章 二次根式（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可． 解：A. 中，的取值范围是，故此项不符合题意； B. 中，的取值范围是，故此项符合题意； C. 中，的取值范围是，且，故此项不符合题意； D. 中，的取值范围是，故此项不符合题意； 故选B． 【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简、无理数的估算，由二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算得出，估算出得出，即可得解． 解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故选：B． 4．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 解： ， 故选：D． 5．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）化简（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘除法的逆用，掌握运算法则是解题关键． 将原式变形为，然后根据积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘除法运算法则进行计算． 解： ， 故选：A． 6．（21-22八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高． 解：直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键． 7．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法、算术平方根与立方根，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．先根据二次根式的除法法则可得，根据算术平方根可得，再代入计算立方根即可得． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 9．（2025·山东滨州·一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 解：由题意得：， ∴； 故选：B． 10．（21-22八年级下·福建龙岩·期中）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．100 D．5050 【答案】C 【分析】先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 【点拨】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·山东威海·期中）化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质化简，再去绝对值，进行加减计算． 解：由题意得，， ∴ ∴ ， 故答案为：0． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知、为有理数，并满足，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．先利用完全平方公式计算，从而可得的值，再代入计算即可得． 解：， ∵、为有理数，并满足， ∴， ∴， 故答案为：7． 13．（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先逆用积的乘方，进行平方差公式的计算，再去括号，合并同类二次根式即可． 解：原式； 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025八年级下·贵州·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，解题的关键是根据已知变形，求出，再整体代入，即可得出结果． 解：， ， ， 故答案为：13． 16．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 17．（2025·福建·二模）如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，实数与数轴，利用勾股定理先求解，再进一步解答即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数轴上的点P表示的数是． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）阳春三月，油菜花开，踏青观赏油菜花是长沙居民的最爱，某油菜花旅游基地有一块长方形的土地，如图所示，矩形的长 米，宽 米，基地负责人作了如下规划和设计：先沿水平方向将矩形四等分，即图中点分别为宽 的四等分点，点 分别为的四等分点，正方形的四个顶点依次在线段上，则该正方形 的边长为 米．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，过点作，交于，交于，则，证明，得到，根据四等分点求出，再利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作，交于，交于，则，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，点分别为宽 的四等分点，点 分别为的四等分点， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∴正方形 的边长为米， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，化简二次根式，实数的运算： （1）根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再计算负整数指数幂和零指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·河南许昌·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则及平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键． （1）先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式与绝对值，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再算加减即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： （1） ____________， ____________； （2）求的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】（1）；（2）121；（3） 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出的值，再求出代数式的值即可． 解：（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，交于点H（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）； （3）连接，若，，则的长为________． 【答案】（1）见分析；（2）见详解；（3）4 【分析】（1）根据平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定定理说明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． （2）先根据尺规作图和题目要求作图即可； （3）先根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 解：（1）解：， ， 平分，平分， ， ， ， 又， ∴四边形是菱形． （2）解：如图即为所求； （3）解：根据（2）中作图可得， 根据（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【点拨】该题考查了菱形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质，尺规作垂线等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（本小题满分10分）（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数x，y满足，求证． 证明：∵， ∴（实数的加法法则）， （不等式的基本性质1）． ∴（①）． ∵（②）， ∴． ∴（③）． （2）已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．） 【答案】（1）①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）；②平方差公式；③不等式的基本性质1；（2）见分析 【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题； （2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题． 解：（1）解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）． ②平方差公式． ③不等式的基本性质1． （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖南永州·期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 【答案】（1）；；  （2）；见分析  （3）① ；② 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差，完全平方公式的应用，二次根式的运算，进行解答，即可． （1）根据正方形的面积公式，列式计算，即可； （2）根据正方形的面积公式，利用完全平方公式，进行计算，即可； （3）①根据题意，则进行化简得，再把代入进行计算，即可；②根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解． 解：（1）解： ， ， ， （2）猜想：． 理由如下： 解： ． （2）①解： ， ， ． ②解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 二次根式（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 5．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）化简（    ） A．1 B． C． D． 6．（21-22八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 8．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 9．（2025·山东滨州·一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 10．（21-22八年级下·福建龙岩·期中）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．100 D．5050 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·山东威海·期中）化简： ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知、为有理数，并满足，则 ． 13．（2025·湖南永州·一模）计算： ． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 15．（2025八年级下·贵州·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 16．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 17．（2025·福建·二模）如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是 ． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）阳春三月，油菜花开，踏青观赏油菜花是长沙居民的最爱，某油菜花旅游基地有一块长方形的土地，如图所示，矩形的长 米，宽 米，基地负责人作了如下规划和设计：先沿水平方向将矩形四等分，即图中点分别为宽 的四等分点，点 分别为的四等分点，正方形的四个顶点依次在线段上，则该正方形 的边长为 米．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·河南许昌·期中）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： （1） ____________， ____________； （2）求的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，交于点H（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）； （3）连接，若，，则的长为________． 23．（本小题满分10分）（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数x，y满足，求证． 证明：∵， ∴（实数的加法法则）， （不等式的基本性质1）． ∴（①）． ∵（②）， ∴． ∴（③）． （2）已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．） 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖南永州·期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$