精品解析：福建省莆田第二十五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

莆田第二十五中学2024-2025学年下学期高一数学期中考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若向量，，，则（   ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 在中，已知，则△ABC的形状是（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 6. 已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（    ） A. 高为 B. 母线长为3 C. 侧面积为 D. 体积为 8. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为 B. 的模为 C. D. 若，则的最大值为 10. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 若，则当三点共线时， 11. 如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（ ） A. 四边形ABCD的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. 过D作交BC于F点，则 D. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为__________ 13. 微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在处观察该无人机（两人的身高忽略不计），为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100 m，甲观察无人机的仰角为，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度，则这两个角可以是_____ .（写出所有符合要求的编号） ①和；②和; ③和；④和. 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为________；若点是线段上的动点，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）若，求实数k的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围． 16. 在中，边的长分别为. （1）利用向量知识证明：； （2）在中，.求的值及的面积. 17. ①，，且；②； 从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. （1）求的值； （2）若是锐角三角形且，求的取值范围. 18. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台. ①求削去部分与圆台的体积之比； ②先将整个铁料圆台融化（不考虑损耗），再将全部铁水凝固成一个圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小. 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数； （2）在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2024-2025学年下学期高一数学期中考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，即可得对应的点为求解. 【详解】， 故对应的点为，位于第一象限， 故选：A 2. 若向量，，，则（   ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，， 所以，即，解得. 故选：A 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得， 由，得，则， 所以或. 故选：D 4. 在中，已知，则△ABC的形状是（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：B. 5. 已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】依题意画出底面的平面图形，从而求出，再根据柱体的体积公式计算可得. 【详解】依题意可得底面的平面图形如下所示： 其中，， 所以此三棱柱的底面积为， 因为该三棱柱的高为，所以此三棱柱的体积. 故选：C. 6. 已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式及已知条件可得，化简可计算出的值. 【详解】根据公式可知向量在向量上的投影向量为 所以，得. 故选：A 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（    ） A. 高为 B. 母线长为3 C. 侧面积为 D. 体积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出圆台的上下底面圆半径、母线长和高，运用侧面积公式和体积公式，即可一一判断正误即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为,依题意，解得，，解得， 圆台的母线长为，故圆台的高故A , B均正确； 圆台的侧面积为，故C项错误； 圆台的体积为，故D项正确. 故选：C. 8. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形形状可得，将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果. 【详解】依题意，由正弦定理可得，即； 所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 又，且， 可得，； 易知 ； 显然，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以可得. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为 B. 的模为 C. D. 若，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再结合共轭复数、复数的几何意义和复数减法运算的几何意义逐项判断. 【详解】依题意，，则， 对于A，的虚部为1，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由复数的几何意义可知，表示复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 由复数减法运算的几何意义可知，表示复数对应的点和复数对应的点，两点间的距离， 故问题转化为求点与以原点为圆心的单位圆上的动点间的距离的最大值， 因与之间的距离为， 则的最大值为，D错误. 故选：AB 10. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 若，则当三点共线时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（ ） A. 四边形ABCD的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. 过D作交BC于F点，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而可求得，，再利用面积公式运算求解；对于B：可知四边形的外接圆为即为的外接圆，利用正弦定理求外接圆半径；对于C：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果.对于D：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果； 【详解】 对于A：连接，由题意可知，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以， 且，则，即， 所以四边形的面积 ， 故A错误； 对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为， 在中，由正弦定理可得， 即，故B正确； 对于C：由题意可得：， 过作，垂足，则为的中点，可得， 在方向上的投影向量即为， 所以，故C正确； 对于D：过作，垂足，则为的中点，可得， 过作，垂足，可得， 故，即在方向上的投影向量为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，由条件求得圆锥的底面圆半径，代入圆锥表面积公式即得. 【详解】 如图是圆锥的轴截面图，点是底面圆圆心，由, 可得,故底面圆半径为， 则圆锥的表面积为： 故答案为：. 13. 微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在处观察该无人机（两人的身高忽略不计），为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100 m，甲观察无人机的仰角为，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度，则这两个角可以是_____ .（写出所有符合要求的编号） ①和；②和; ③和；④和. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①：根据已知先解得AC，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解得PA，然后可得；④：先由最小角定理的，解可得AC，然后可得. 【详解】①：当已知和时，在利用内角和定理和正弦定理可得AC，然后在中，由三角函数定义可得PC，故①正确； ②：当已知和时，在已知一角一边，在中已知一角一边，显然无法求解，故②错误； ③：当已知和时，在中已知两角一边，可解出PA，然后在中，由三角函数定义可得PC，故③正确； ④：当已知和时，可先由最小角定理求得，然后解可得AC，最后在中，由三角函数定义可得PC，故④正确. 故答案为：①③④ 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为________；若点是线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，即可计算半径及表面积，利用翻折后，由平面上两点之间距离最短确定Q位置，再由余弦定理求解最小值. 【详解】如图， 设中点为O， 由底面，底面，所以, 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 因为，，所以， 所以在中， ， 所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径， 所以其表面积为； 将绕AC翻折到与所在面重合，此时运动到处，连接，交AC于点Q，如图， 此时最小，因为，， 所以，又，， 所以. 所以的最小值为. 故答案为： ； 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）若，求实数k的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，由求解即可； （2）由题意可得，且与不共线，据此求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以． 因为，则， 所以，解得． 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以． 因为与的夹角为钝角， 所以，且与不共线． 即，解得且， 所以实数k的取值范围是． 16. 在中，边的长分别为. （1）利用向量知识证明：； （2）在中，.求的值及的面积. 【答案】（1）证明如下： 在中，∵， ∴ . ∵边的长分别为 ∴，，， ∴. （2）， 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可根据模长公式求解， （2）根据余弦定理可得，，即可根据面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，所以是锐角， 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故. 17. ①，，且；②； 从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. （1）求的值； （2）若是锐角三角形且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①：依题意可得，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；选②，利用诱导公式及和差角的余弦公式化简，再由正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式转化为的三角函数，结合的范围及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 选①，因为，，且， 所以， 由正弦定理得：， 即， 则， 又因，所以， 所以； 选②，因为， 所以， 即， 由正弦定理得， 又因，，，则， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，， 所以， 因为， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以 18. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台. ①求削去部分与圆台的体积之比； ②先将整个铁料圆台融化（不考虑损耗），再将全部铁水凝固成一个圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）①最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比；②设圆柱的底面半径为，高为，根据体积相等得到，即，再表示出底面周长与侧面积，最后利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连接， 过点作，交于点. 则， 所以， 所以四棱台的表面积. 【小问2详解】 ①若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高， 则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； ②设圆柱的底面半径为，高为，则， 即，所以， 所以圆柱的底面周长，侧面积， 则圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当圆柱的底面半径为时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小. 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数； （2）在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合，得出方程，即可求解； （2）①当时，利用数量积的公式，求得，，，结合向量的夹角公式，即可求解； ②由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又因为，存在实数使得，即， 所以，可得，解得． 【小问2详解】 ①当时，，，， 所以， ， ， 所以． ②因为， ， ， 由，得， 所以对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意． 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $