精品解析：福建省莆田市秀屿区实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年高二数学下学期期中试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. l与斜交 B. C. D. 3. 已知，，，若，则（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 4. 在平行六面体中，其中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 为的极小值点 B. 为的极大值 C. 在区间上，是增函数 D. 在区间上，是减函数 7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 10. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________ 13. 已知，，，那么____________． 14. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 在空间直角坐标系中，已知点，，，设，． （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离． 16. 设函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值． 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求y的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值． 18. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二数学下学期期中试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求函数在处的导数即可. 【详解】因为， 所以 曲线在点处的切线的斜率为． 故选：B 2. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. l与斜交 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 3. 已知，，，若，则（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数，由此即可得解. 【详解】由题意，， 因为，所以， 解得，， 所以. 故选：A. 4. 在平行六面体中，其中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为是平行六面体， 所以， 所以有：， 因此有： ， 因为，，，，， 所以， 所以， 故选：B 5. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”， 则， 所以. 故选：A. 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 为的极小值点 B. 为的极大值 C. 在区间上，是增函数 D. 在区间上，是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象，分析出函数的单调性及单调区间，再逐项分析即可. 【详解】由导函数的图象可知，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以为的极大值点，故A、 D错误； 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以为的极大值点，即为的极大值，故B正确， 函数在单调递减，在上单调递增，所以C错误. 故选：B 7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案. 【详解】设，因为，所以， 对函数求导，得，因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC 10. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由空间中基底的概念以及共面定理逐项分析即可. 【详解】设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确； 设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 因为， 所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误； 因为， 所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误． 故选：AB． 11. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算可判断A；计算平面的法向量为，根据点到平面的距离公式可判断B；确定截面为，计算面积可判断C；根据线面角的向量求法可判断D. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，设，， ，，， 对A：，，故， 所以异面直线与BD所成角为，故A错误； 对B：设平面的法向量为，则， 取，则，，得到， 又，则点P到面的距离为，故B正确； 对C：如图所示，连接，则， 平面，平面，故平面，同理平面， ，平面，故平面平面， 故截面即为等边三角形，面积为，故C正确； 对D：设直线与面所成角为， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再赋值即可解出的值. 【详解】由可得导函数， 令可得，解得. 故答案为：. 13. 已知，，，那么____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围. 【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 则，得， 所以， ， 显然不是平角，所以为钝角等价于， 即，即， 解得，因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 在空间直角坐标系中，已知点，，，设，． （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得与的坐标，再根据与互相垂直求解； （2）由求解. 【小问1详解】 由题意知，， 所以，． 又与互相垂直， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以点到直线的距离． 16. 设函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： 【小问2详解】 令，即得， 令，则得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，， 的极小值点为，， 又,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求y的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值． 【答案】（1）； （2）当隔热层厚度为时总费用最小万元. 【解析】 【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出y的解析式； （2）利用基本不等式得出y的最小值及对应的x的值. 【小问1详解】 设隔热层建造厚度为cm，则 ， 【小问2详解】 ， 当，即时取等号， 所以当隔热层厚度为时总费用最小万元. 18. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 19. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）方案②中取到红球的概率更大 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得. （2）根据条件概率公式进行计算，根据数据下结论. 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $