精品解析：贵州省毕节市赫章县第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

贵州省毕节市赫章县第一中学2024－2025学年高三上学期期末考试 高三数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，再根据交集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合，集合， 所以， 故选：B. 2. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，取得等号， 故选:C. 3. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，特值法求解即可. 【详解】， 所以， 所以为奇函数，故排除A，D； 当时，，故排除B； 故选：C. 4. 已知函数的定义域均为为奇函数，为偶函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，，再结合两个函数的奇偶性整理，求出函数的周期和对称性，再根据函数的周期性即可得解. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，则， 所以①， 所以， 所以， 即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由①得， 所以， 所以， 所以 . 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 5. 设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可. 【详解】函数定义域为，， 又函数存在两个极值点， 所以方程在上有两个不相等的正实数根， 则，解得， 又 设， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增加， 因不等式恒成立， 即恒成立， 所以. 故选：D. 6. 函数的两个零点分别为，且，在上仅有两条对称轴，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得，由且可得.由可得，取即可求解. 【详解】因为函数的两个零点为，且在上仅有两条对称轴， 所以，又且，得. 由函数的零点为，得， 得， 当时，，此时. 故选：A. 7. 已知数列的前n项和为，，且，若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式等价变形构造等比数列，求出数列的通项，利用错位相消法求得，对进行奇偶分类，将不等式运用参变分离法分别求出参数的范围再求交集即得. 【详解】因为，，所以， 而，所以是以为首项，公比为的等比数列. 于是，，即， 所以， ， 两式相减得，， 即 . 由，得， 即 ①当为奇数时，有，因是单调增数列，故，从而； ②当为偶数时，有，因，从而. 综上，的取值范围为． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查构造等比数列求通项和错位相减法求数列的和以及运用参变分离法求解恒成立问题等知识点，属于难题.解题关键在于根据数列递推公式特征构造等比数列，运用错位相减法求数列的和，并就的奇偶分类求出的取值范围． 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ） A. 若，，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，随着的增大而增大 D. 当时，随着的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大，故A不正确； 对于B，，当时，取得最大值，故B不正确； 对于C、D， ， ， ， 当时，，为正项且单调递增的数列， 所以随着的增大而增大，故C正确； 当时，，为正负交替的摆动数列， 所以不会随着的增大而减小，故D不正确； 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量在上的投影向量为 D. 若，则向量与的夹角为锐角 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由，得，从而可求出进行判断，对于B，由列方程可求出进行判断，对于C，根据投影向量的定义求解即可，对于D，举例判断. 【详解】对于A，若，可得，即，解得，所以A错误； 对于B，若，根据平面向量共线性质，可得，即，所以B正确； 对于C，若，则，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，所以C正确； 对于D，若，则，所以； 但当时，，此时向量与的夹角为，所以D错误； 故选：BC. 10. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ） A. 线段的长度为 B. 异面直线 和夹角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断ABC，结合等体积法即可判断D. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，分别为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，所以线段的长度为，故A错误； 又，设异面直线 和夹角为， 则，故B正确； 设直线上存在点满足，且， 则，所以， 则，又，可得， 解得，则，所以点到直线的距离为 ，故C正确； 因为，故D错误； 故选：BC 11. 若函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 若方程有4个不同的实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解可判定A，根据函数奇偶性的定义即可判定B，根据对数的运算即可判定C，根据导数求解函数单调性，即可结合函数的最值以及奇偶性作出函数图象，结合函数图象即可求解D. 【详解】选项A：由对数函数可知，得，所以函数的定义域，所以A错误． 选项B：因为函数的定义域关于原点对称，，所以是偶函数，所以B正确． 选项C：因为， ，所以C正确． 对于D：因为是偶函数，所以只需要讨论，时函数的情况即可， 当时，，所以，令，解得， 易知当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最小值为，且时，．作出的大致图象和直线， 如图，若方程有4个不同的实数根，则的图象与直线有4个不同的交点，所以的取值范围为． 所以D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案． 【详解】函数的定义域为， 由，得，所以， 令， 由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值， 由，得， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，没有最小值， 由，得， 当时，在上单调递增， 在上单调递减， 所以有最大值，无最小值，不合题意， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 所以即， 所以，即的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求参数的取值范围问题，其中涉及到利用导数求函数的最值问题，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法. 13. 如图，等腰直角三角形中，，，是边上的动点（不与，重合）过作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设，，表示出三棱锥的体积，利用导数研究单调性，求最大值. 【详解】由题意知：，，将沿折起，由棱锥结构特征可知，相同的点E位置，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时平面， 设，，， ，， 令，得或，又， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，． 故答案为:． 14. 设内接于椭圆，与椭圆的上顶点重合，边过的中心，若边上中线过点，其中为椭圆的半焦距，则该椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】画出草图，分析可知为的重心，求解即可. 【详解】如图： 边过的中心，所以为的中点， 则为边上的中线，边上中线过点， 所以两中线的交点为，即为的重心， 所以，即，则， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在处的切线也与曲线相切. （1）求实数的值； （2）若是的最大的极小值点，是的最大的极大值点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程，再与抛物线方程联立，结合，即可求解； （2）利用极值点的定义，结合零点存在性定理，求得极值点的范围，再代入函数值，即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴， 又，所以在处的切线方程为， 因为切线与相切，联立得， 由及，解得； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 当时，，所以在无极大值点. 当时，令，则在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又 所以当时，，即， 所以是的最大的极小值点，且. ∵，， 所以存在，使得，即， 当时，；当时，， 所以是的极大值点，也是的最大的极大值点. 因为在上单调递减，所以， . 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，双变量问题，以及不等式在证明，第二问的关键是分区间讨论函数的单调性，从而确定函数的极值点，以及极值，在结合不等式的放缩，即可求解. 16. 已知函数. （1）若，判断函数的单调性，并说明理由； （2）若时，恒成立. （i）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：，. 【答案】（1）在上单调递增，理由见详解 （2）（i）；（ii）证明见详解 【解析】 【分析】（1）应用导数证明函数的单调性； （2）（i）利用导数证明不等式，需分与讨论即可；（ii）由（i）知对时恒成立，令，则，则有，累加计算再放缩即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， . 所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 （i）. 当时，，所以，满足题意； 当时，令， 则，在上单调递减， 所以当时，，即，单调递减， 所以，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. （ii）由（i）可知对时恒成立. 令，则，则有. 取，有 即. 【点睛】第三问在于应用第二问函数，构造出，累加结合放缩即可证明. 17. 中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表． 阶段 比赛场数 主场场数 获胜场数 主场获胜场数 第一阶段 30 15 20 10 第二阶段 30 15 25 15 （1）根据表中信息，是否有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？ （2）已知A队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛获胜的频率．记为A队在总决赛中获胜的场数．求的分布列和期望． 附：． 0.100 0050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）没有 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意列出列联表，计算的值，与临界值表比较，即得答案； （2）确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望. 【小问1详解】 由题意可得列联表如下： A队胜 A队负 合计 主场 25 5 30 客场 20 10 30 合计 45 15 60 故， 则没有有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关； 【小问2详解】 由题意可知X的可能取值为，A队在前4场中获胜的概率为， 则，， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故. 18. 如图，是以为直径的圆上的点，平面分别是线段上的点，且满足，． （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面几何的知识与线面垂直的性质定理得到，，，从而利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）根据题意建立空间直角坐标系，求得各点坐标与所需向量，进而求得平面与平面的法向量，再利用二面角的空间向量法列式即可得解. 【小问1详解】 因为是以为直径的圆上异于的点，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为，所以，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 则，，，， 则，，，， 因为， 所以，， 所以， ， 设平面法向量为， 则，取． 设平面的法向量为， 则，取， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值的绝对值为， 所以， 解得或（舍去），所以. 19. 已知椭圆：，的左右顶点分别为A，B，长轴长为4，点D为椭圆上与A，B不重合的点，且． （1）求椭圆方程； （2）（i）一条垂直于x轴的动直线l交椭圆于P，Q两点，当直线l与曲线相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线交点E的轨迹的方程； （ii）过的直线l与曲线交于M，N两点，且两交点均在y轴右侧，直线与曲线交于G点，直线与曲线交于H点，记的面积为，记的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由长轴长为可得，所以,，根据，可得点轨迹方程，即可得所求椭圆方程. （2）（i）设，，列出直线，的方程，它们的交点，用表示出，利用在椭圆上，求点轨迹方程. （ii）设直线的方程，与曲线方程联立，设，由一元二次方程根与系数的关系，列出，，再把，的横坐标也用表示出来，再根据化简求值. 【小问1详解】 由题意：，设，所以， 由. 故椭圆：. 【小问2详解】 （i）如图 设，，，且. 当时，直线：， 直线： 由. 由. 另，两点也适合上述方程. 故点轨迹的方程为：. （ii）如图 若直线有斜率，则 设：，代入得：，整理得： 设，, 由，，所以. 设直线：，将其代入得：， 整理得：, 设，， 同理设，. 所以 因为，， 所以 若直线无斜率，则：：，所以，. 所以：， 由得. 同理. 所以 综上可知： 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省毕节市赫章县第一中学2024－2025学年高三上学期期末考试 高三数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数定义域均为为奇函数，为偶函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的两个零点分别为，且，在上仅有两条对称轴，则可以是（ ） A B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，，且，若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ） A. 若，，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，随着的增大而增大 D. 当时，随着的增大而减小 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量在上的投影向量为 D. 若，则向量与的夹角为锐角 10. 如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ） A. 线段的长度为 B. 异面直线 和夹角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积为 11. 若函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 若方程有4个不同的实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是______. 13. 如图，等腰直角三角形中，，，是边上的动点（不与，重合）过作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________ ． 14. 设内接于椭圆，与椭圆的上顶点重合，边过的中心，若边上中线过点，其中为椭圆的半焦距，则该椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在处的切线也与曲线相切. （1）求实数的值； （2）若是的最大的极小值点，是的最大的极大值点，求证：. 16. 已知函数. （1）若，判断函数的单调性，并说明理由； （2）若时，恒成立. （i）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：，. 17. 中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表． 阶段 比赛场数 主场场数 获胜场数 主场获胜场数 第一阶段 30 15 20 10 第二阶段 30 15 25 15 （1）根据表中信息，是否有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？ （2）已知A队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛获胜的频率．记为A队在总决赛中获胜的场数．求的分布列和期望． 附：． 0.100 0.050 0025 2.706 3.841 5.024 18. 如图，是以为直径的圆上的点，平面分别是线段上的点，且满足，． （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，求的值． 19. 已知椭圆：，的左右顶点分别为A，B，长轴长为4，点D为椭圆上与A，B不重合的点，且． （1）求椭圆方程； （2）（i）一条垂直于x轴的动直线l交椭圆于P，Q两点，当直线l与曲线相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线交点E的轨迹的方程； （ii）过的直线l与曲线交于M，N两点，且两交点均在y轴右侧，直线与曲线交于G点，直线与曲线交于H点，记的面积为，记的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$