青海省西宁市第五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

第 1 页 共 4 页 ◎ 第 2 页 共 4 页 西宁五中2024-2025 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 试卷总分:150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．已知集合  2 , , { 4 6}A x x n n B x x= =  = −  Z∣ ∣ ，则 A B =（ ） A． 0,2,4 B． 2,0,2,4− C． 0,2,4,6 D． 4, 2,0,2,4,6− − 2．复数 ( )i ,z a b a b= + R ，满足 ( ) ( ) 2 1 i 1 2iz + = − ，则a b− =（ ） A． 7 2 − B． 1 2 C． 3− D． 4− 3．设 Ra ，函数 ( ) e ex xf x a −= + 的导函数 ( )f x 是奇函数，若曲线 ( )y f x= 的一条切线的斜率是 3 2 ， 则切点的横坐标为（ ） A． ln2 2 − B． ln 2− C． ln2 2 D． ln 2 4．已知函数 ( ) 2f x x bx= + 的图象在点 ( )( )1, 1A f 处的切线的斜率为3，数列 ( ) ( ) 1 n f n          N 的前n项 和为 nS ， 则 2024S 的值为（ ） A． 2023 2024 B． 2024 2025 C． 2024 2023 D． 2022 2023 5．已知 ( )* 2 n x n N x   −     的展开式中第 3项与第 6项的二项式系数相等，则展开式中 x的系数为（ ） A．560 B．480 C．126 D．35 6．在等比数列 na 中， 3a ， 7a 是函数 ( ) 3 21 4 9 1 3 f x x x x= + + − 的极值点，则 5a =（ ） A． 3 B．4 C．3 D．－3 7．现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6 本不同的书籍分发给 甲乙丙 3 人，每人至少分得 1 本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ） A．180 B．150 C．120 D．210 8．已知数列 na 的前n项和为 nS ，且 1ia = 或 2ia = 的概率均为 ( ) 1 1,2,3, , 2 i n= ，设 nS 能被3整除的 概率为 nP ．有下述四个结论：① 2 1P = ；② 3 1 4 P = ；③ 11 341 1024 P = ；④当 5n  时， 1 3 nP  ．其中所有 正确结论的编号是（ ） A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．下列命题中，正确的有（ ） A． X 服从 ( , )B n p ，若 ( ) 30, ( ) 20E X D X= = ，则 1 3 p = B．若 ( ) ( ) ( ) = +P A B P A P B ，则A 与 B 互斥 C．已知 ( ) 0, ( ) 0P A P B  ，若 A，B互斥，则 ( | ) ( | )P A B P B A= D． ( ) ( )P B P B A ∣ 可能成立 10．已知 ( )f x 是 ( )f x 的导数，且 ( ) ( )3 20 1f x x f x x= − − + ，则（ ） A． ( )1 0f − = B． ( )f x 的图像在 1x = − 处的斜率为0 C． ( )0 1f  = − D． ( )f x 在 0,1 上的极小值点为 22 27 11．随机变量𝑋 ∼ 𝑁(2,1)，随机变量Y 服从两点分布，且 ( )1 0.6P Y = = ，设 3 2Z Y= + ，则（ ） A． ( ) ( )1 3P X P X =  B． ( ) ( )2 0P X P Y  = C． ( ) 3.8E Z = D． ( ) 0.72D Z = 三、填空题: 本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知向量 a ，b 满足 ( )1,1a = ， 4b = ， ( ) 2aa b− = − ，则 3a b− = ． 13． ( ) ( ) ( ) 3 4 9 1 1 1x x x+ + + + + + 的展开式中 3x 的系数是 （结果用数字表示）． 14．一次数学测验由 25 道选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确的， 每个答案选择正确得 4 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分，某学生选对任一题的概率为 0.6， 则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为 、 . 第 3 页 共 4 页 ◎ 第 4 页 共 4 页 四、解答题: 本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(15 分) （1）若 ( ) 8 2 7 8 0 1 2 7 82 1 1x a a x a x a x a x− − = + + ++ + ，求 2 4 6 8a a a a+ + + 的值； （2）求 12 3 1 2 x x   +    展开式中系数最大的项． 16．(15 分) 已知函数 21( ) 2 ln 2 f x ax x x= + − ． ⑴ 当 0a = 时,求 ( )f x 的极值； ⑵ 若 ( )f x 在区间 1 [ ,2] 3 上是增函数,求实数a的取值范围． 17．(15 分) 某校为了了解高三男生的体能达标情况，抽调了 120 名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得 到如下的频率分布直方图．若立定跳远成绩落在区间 ( , )x s x s− + 的左侧，则认为该学生属“成绩 不达标”的学生，其中 ,x s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 27s  （同一组的数据用该 组区间的中点值为代表）： （1）若该校高三某男生的跳远距离为 187cm，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？ （2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160,180)，[180,200)，[200,220）中共抽出 5 人，再从 中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200,220)的人数为 X，求 X的分布 列和数学期望． 18．(15 分) 如图，在四棱锥P ABCD− 中， // , 1, 2 2 2BC AD AB BC AD PA PD= = = = = ，点E 是PD的中点． (1)求证： //CE 平面PAB； (2)若 AB ⊥平面PAD ，求平面PBC 与平面 PCD夹角的正弦值． 19．(17 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ( ) ( )2,0 , 2,0A B− ，动点M 满足直线 AM 与直线 BM 的斜率之 积为 3 4 − ，设点M 的轨迹为曲线C . (1) 求C 的方程； (2) 已知点 ( )1 0F , ，直线 : 4l x = 与 x轴交于点D ，直线 AM 与 l 交于点N ，证明： 2MFD NFD =  ． 《高二数学期中考试试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B A D A C ACD BC 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据题意，由集合的含义，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合  2 ,A x x n n= = Z∣ ，即集合A 为偶数集， 又由 { 4 6}B x x= −  ∣ ，可得  2,0,2,4A B = − . 故选：B. 2．C 【分析】利用复数乘法运算法则计算 ( ) ( ) 2 1 i 1 2iz + = − 左右两边，再结合复数相等求出 ,a b 即可求解. 【详解】因为 ( )( ) ( ) 2 i 1 i 1 2ia b+ + = − ， 所以 ( )i 3 4ia b a b− + + = − − ， 所以 3 4 a b a b − = −  + = − ， 7 1 , 2 2 a b = − = − ， 所以 3a b− = − ， 故选：C. 3．D 【分析】由函数 ( )f x 为奇函数，得 1a = ，所以 ( ) e ex xf x − = − ，设曲线上切点的横坐标为 0x ，由 ( )0 3 2 f x = 即可求得切点的横坐标的值. 【详解】 ( ) e ex xf x a −= + ， ( ) e e x xf x a −= − 由题意，函数 ( )f x 为奇函数，则必有 (0) 1 0f a= − = ， 解得 1a = ，即 ( ) e ex xf x −= + ，所以 ( ) e ex xf x − = − ， 设曲线上切点的横坐标为 0x ，则根据题意得 ( ) 0 00 3 e e 2 x x f x − = − = ，解得 0e 2x = ， 故切点的横坐标 0 ln 2x = ， 故选：D. 4．B 【分析】利用导数的几何意义可求出b 的值，再利用裂项求和法可求得 2024S 的值. 【详解】因为 ( ) 2f x x bx= + ，则 ( ) 2f x x b = + ，由导数的几何意义可得 ( )1 2 3f b = + = ， 解得 1b = ， 所以 ( ) 2f x x x= + ，故 ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1 1f n n n n n n n = = = − + + + ， 因此， 2024 1 1 1 1 1 1 1 1 2024 1 1 2 2 3 3 4 2024 2025 2025 2025 S         = − + − + − + + − = − =                . 故选：B. 5．A 【分析】首先根据题意得到 2 5 n nC C= ，从而得到 7n = ，求出二项式的通项，令 x的指数等 于 1，即可得到 4r = ，再求 x的系数即可. 【详解】由题知： 2 5 n nC C= ，解得 7n = . 故 ( ) 3 7 7 2 1 7 7 2 2 r rrr r r rT C x C x x − − +   =   − = −      . 令 3 7 1 2 r− = ，解得 4r = . 所以展开式中 x的系数为 ( ) 4 4 72 560C−  = . 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理中项的系数，同时考查二项式系数，属于中档题. 6．D 【分析】先利用导数得其单调性，进而得出极值点 3a ， 7a 是方程 ( ) 0f x = 的两根，再利用 韦达定理以及等比数列的性质、等比数列中奇数项的符号相同求出 5a . 【详解】已知 ( ) 3 2 1 4 9 1 3 f x x x x= + + − ，得 ( ) 2 8 9f x x x= + + ， 因 64 36 28 0 = − =  ，则 ( ) 0f x = 存在两根 1 2,x x ， 不妨设 1 2x x ，则由 ( ) 0f x  得， 1x x 或 2x x ； ( ) 0f x  得， 1 2x x x  ， 则 ( )f x 在 ( )1, x− 和 ( )2 ,x + 上单调递增，在 ( )1 2,x x 上单调递减， 则 1x x= 和 2x x= 分别为函数的极大值点和极小值点， 又 3a ， 7a 是函数 ( )f x 的极值点，所以 3a ， 7a 是方程 ( ) 2 8 9f x x x= + + 的两个根， 所以 3 7 9 9 1 a a = = ， 3 7 8 8 1 a a+ = − = − ，所以 2 5 3 7 9a a a=  = ，则 5 3a =  ， 由 3 7 8 0a a+ = −  ，且 3 7 9 0a a =  ，可知 3 0a  ， 7 0a  ， 在等比数列中，奇数项的符号相同，所以 5 0a  ，因此 5 3a = − ． 故选：D 7．A 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：①将 6 本不同的书籍分为 3 组，每组至少 1 本，② 将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下 2 组任意分配，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分 2 步进行分析： ①将 6 本不同的书籍分为 3 组，每组至少 1 本， 若分为 4、1、1 的三组，有 4 6C 15= 种分组方法， 若分为 3，2，1 的三组，有 3 26 3C C 60= 种分组方法， 若分为 2，2，2 的三组，有 2 2 2 6 4 2 3 3 C C C 15 A = 种分组方法， 共有15 60 15 90+ + = 种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下 2 组任意分配，有 2 种情况， 则有90 2 180 = 种分发方式． 故选：A． 8．C 【分析】分析可知 nS 被3整除的余数有3种情况，分别为0 、1、2 ，可得出 ( )1 1 1 2 n nP P+ = − ，求出数列 nP 的通项公式，即可判断①②③④的正误. 【详解】 nS 被3整除的余数有3种情况，分别为0 、1、2 ， nS 被3整除的概率为 nP ， nS 被3整除余数分别为1、2 的概率均为 1 2 nP− ， 所以， ( )1 1 11 1 1 0 1 2 2 2 2 2 n n n n n P P P P P+ − − =  +  +  = − ， 所以， 1 1 1 1 3 2 3 n nP P+   − = − −    ，且 1 0P = ， 所以，数列 1 3 nP   −    是等比数列，且首项为 1 1 1 3 3 P − = − ，公比为 1 2 − ， 所以， 1 1 1 1 3 3 2 n nP −   − = −  −    ，故 1 1 1 1 3 3 2 n nP −   = −  −    . 故 2 1 1 1 3 6 2 P = + = ， 3 1 1 1 1 3 3 4 4 P = −  = ， 11 1 1 1 341 3 3 1024 1024 P = −  = ， 当 5n  且n为偶数时， 1 3 nP  ， 所以，①④错，②③对. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现 1n na a m−= + 时，构造等差数列； （2）当出现 1n na xa y−= + （ 0x  且 1x  ）时，构造等比数列； （3）当出现 ( )1n na a f n−= + 时，用累加法求解； （4）当出现 ( ) 1 n n a f n a − = 时，用累乘法求解. 9．ACD 【分析】对于 A，由二项分布的均值、方差公式即可验算；对于 B，构造出零测集即可判 断；对于 C，由条件概率公式即可判断；对于 D，构造B A= ，且 ( ) 1P B  即可. 【详解】对于 A， ( )( ) 30, ( ) 1 20E X np D X np p= = = − = ，两式相比得 2 1 3 p− = ，解得 1 3 p = ，故 A 正确； 对于 B，在 0,1 上随机取一个数，A 表示取到的数不超过 0.5， B 表示取到的数不低于 0.5， 则 ( ) 1 0.5 0.5 ( ) ( )P A B P A P B = = + = + ，但是此时 A B 表示刚好取到 0.5 这个数，并不互 斥，故 B 错误； 对于 C，已知 ( ) 0, ( ) 0P A P B  ，若 A，B互斥，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) P A B P A B P A B P B A P B P A   = = = = ，故 C 正确； 对于 D，对于随机事件 B， ( )0 1P B  ，显然存在B A= ，使得 ( )( ) ( ) | 1P B P B A P B B= = ，故 D 正确. 故选：ACD. 10．BC 【分析】利用导数的运算和几何意义逐项判断即可. 【详解】由题意可得 ( ) ( )23 2 0 1f x x f x= −  − ，将 0x = 代入 ( )f x 解得 ( )0 1f  = − ，C 正 确； 所以 ( ) 3 2 1f x x x x= + − + ， ( ) 23 2 1f x x x = + − ， 将 1x = − 代入 ( )f x 可得 ( )1 2f − = ，A 错误； 将 1x = − 代入 ( )f x 可得 ( )1 0f  − = ，所以 ( )f x 的图像在 1x = − 处的斜率为0 ，B 正确； 令 ( ) ( )( )23 2 1 1 3 1 0f x x x x x= + = + − − = ，解得 1x = − 或 1 3 x = ， 所以当 1 0 3 x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减，当 1 1 3 x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递 增， 所以 ( )f x 在 0,1 上的极小值点为 1 3 x = ，D 错误； 故选：BC 11．AC 【分析】根据正态分布的对称性及两点分布的定义即可判断 AB；根据期望和方差的公式 及性质即可判断 CD. 【详解】因为𝑋 ∼ 𝑁(2,1)，所以 ( ) ( )1 3P X P X =  ，且 ( )2 0.5P X  = ， 又 ( ) ( )0 1 1 0.4P Y P Y= = − = = ，所以 A 正确，B 错误； ( ) 1 0.6 0 0.4 0.6E Y =  +  = ，故 ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3.8E Z E Y E Y= + = + = ，故 C 正确； ( ) 2 2(1 0.6) 0.6 (0 0.6) 0.4 0.24D Y = −  + −  = ， ( ) ( ) ( )3 2 9 2.16D Z D Y D Y= + = = ，故 D 错误. 故选：AC. 12． 10 【分析】由 ( ) 2aa b− = − 可得 4a b = ，再由 2 23 9 6a b a b a b− = + −  ，代入化简即可得 出答案. 【详解】因为 ( )1,1a = ， 4b = ， ( ) 2aa b− = − ，则 2a = ， 所以 ( ) 2 2a a b a a b − = −  = − ，所以 ( ) 2 2a a b a b − = −  = − ，解得： 4a b = ， ( ) 2 2 23 3 9 6a b a b a b a b− = − = + −  9 2 16 24 10=  + − = . 故答案为： 10 . 13．210 【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个 3x 的系数，求和得出答案，或者根据 1 1C C C m m m n n n − ++ = ，快速计算结果. 【详解】∵ ( ) n a b+ 的通项为 ( )C ,0r n r rna b r r n −   N ， ∴ ( ) 3 1 x+ 的通项为 3 3 3C 1 C r r r r rx x− = ， ∴ ( ) 3 1 x+ 的展开式中 3x 的系数为 3 3C ， 同理得 ( ) 4 1 x+ 展开式中 3x 的系数为 3 4C ,， ( ) 9 1 x+ 展开式中 3x 的系数为 3 9C ， 故 ( ) ( ) ( ) 3 4 9 1 1 1x x x+ + + ++ + 展开式中 3x 的系数为： 3 3 3 3 3 3 3 3 4 5 6 7 8 9C C C C C C C 1 4 10 20 35 56 84 210+ + + + + + = + + + + + + = . （也可以根据性质： 1 1C C C m m m n n n − ++ = ，因为 3 4 3 4C C= ，故 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 4 3 4 5 6 7 8 9 4 4 5 6 7 8 9 10C C C C C C C C C C C C C C C 210+ + + + + + = + + + + + + = = ） 故答案为：210 14． 60 96 【分析】由题可得 X~B(25,0.6)，Y=4X.，后由二项分布期望公式及期望，方差性质可得答 案. 【详解】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为 X，所得的分数(成绩)为 Y， 则 Y=4X.由题知 X~B(25,0.6)， 所以 EX=25×0.6=15，DX=25×0.6×0.4=6， EY=E(4X)=4EX=60，DY=D(4X)=42×DX=16×6=96. 所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是 60 与 96. 故答案为：60；96. 15．（1） 2 4 6 8 3280a a a a+ + + = （2） 4 3 9 495 16 T x= 【分析】（1）根据题意，分别代入 1, 1, 0x x x= = − = 列方程组，计算即可得到所求和; （2）设 1k + 项的系数 k 1t + 最大，则通过解不等式组 1 1 2 k k k k t t t t + + +    得到答案. 【详解】（1）由已知得 ( ) 8 2 7 8 0 1 2 7 82 1 1x a a x a x a x a x− − = + + ++ + ， 令 1x = ，得 0 1 2 7 8 0a a a a a+ + ++ + = ，① 令 = 1x − ，得 0 1 2 7 8 6560a a a a a− + −− + = ，② 联立①②得， 0 2 4 6 8 3280a a a aa+ + + + = . 令 0x = ，得 0 0a = ，所以 2 4 6 8 3280a a a a+ + + = . （2） 12 3 1 2 x x   +    的展开式通项为 ( ) 12 12 4 12 3 1 12 123 1 1 C C 0,1,2, ,12 2 2 kk k k k k k x T x k x − − − +      =   =   =          ， 则 1k + 项的系数 12 1 12 1 C 2 k k kt − +   =     ( )0,1,2, ,12k = . 设 1k + 项的系数 k 1t + 最大，则由不等式组 1 1 2 k k k k t t t t + + +    ， 即 12 13 1 12 12 12 11 1 12 12 1 1 C C 2 2 1 1 C C 2 2 k k k k k k k k − − − − − +                             ，化简 ( ) ( ) 13 13 1 1 12 12 12 12 12 12 2 13 1 1 C C 2 2 2 121 1 C C 2 1 2 k k k k k k k k k k k k − − − − − −  −                 −         +    ， 即 ( ) ( ) 2 13 1 2 12 1 1 k k k k  −    −   + ，解得 23 26 3 3 k  . 因为 k N ，所以 24 8 3 k = = . 因此，展开式中系数最大的项为 4 4 4 8 3 3 9 12 1 495 C 2 16 T x x   =   =    . 16．（1）极小值1 ln2+ ，无极大值（2） )3,+ 【分析】（1）求出导数后根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到极值；（2）将问 题转化为 ( ) 2 2 1 0 ax x f x x + −  =  在区间 1 , 2 3       上恒成立，即 2 2 1 0ax x+ −  在区间 1 , 2 3       上 恒成立，对a进行分类讨论并结合分离参数可得所求的范围． 【详解】∵ ( ) 2 1 2 ln ( 0) 2 f x ax x x x= + −  ， ∴ ( ) 2l 2 1 2 ax x f x ax x x = + − = + − ． （1）当 0a = 时， ( ) 2 1x f x x −  = ， ∴当 1 0 2 x  时， ( ) 0, ( ) f x f x 单调递减； 当 1 2 x  时， ( ) 0, ( ) f x f x 单调递增． ∴当 1 2 x = 时，函数 ( )f x 有极小值，且极小值为 1 1 1 ln 1 ln 2 2 2 f   = − = +    ；无极大值． （2）∵ ( )f x 在区间 1 , 2 3       上是增函数， ∴ ( ) 2 2 1 0 ax x f x x + −  =  在区间 1 , 2 3       上恒成立， ∴ 2 2 1 0ax x+ −  在区间 1 , 2 3       上恒成立． ①当 0a = 时， 1 2 1 3 x−  − ，所以不合题意． ②当 0a  时，则有 2 1 2 a x x  − 在区间 1 , 2 3       上恒成立． 令 2 21 1, [ ,3], ( ) 2 ( 1) 1 2 t t g t t t t x =  = − = − − ， 则 ( )g t 在 1 [ ,1] 2 上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∵ 1 3 ( ) , (3) 3 2 4 g g= − = ， ∴ max( ) 3g t = ，即 max( ) 3g x = ， ∴ 3a  ． ∴实数a的取值范围为[3, )+ ． 【点睛】由函数的单调性求参数取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 ( ) 0f x  (或 ( ) 0f x  )( ( )f x 在 该区间的任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题， 从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 ( ) 0f x ′ (或 ( ) 0f x ′ )在该区间上 存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知 f(x)在区间 I上的单调性，区间 I中含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，令 I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 17．（1）该生属于“体能不达标”的学生；（2）分布列见解析， ( ) 4 5 E X = . 【分析】（1）利用直方图中各组的中间值作为代表，乘以各自的频率，求和得到平均数的 估计值，进而比较后作出判定； （2）先确定所取 5 人中在区间 )160,180 ， )180,200 ， )200,220 中的各自的人数，然后求 得 X 的分布列，进而根据期望的定义计算即可. 【详解】（1）由题意可知：各小矩形面积从左到右依次为 0.1，0.2，0.2，0.3，0.15， 0.05， 0.1 170 0.2 190 0.2 210 0.3 230 0.15 250 0.05 270 217x =  +  +  +  +  +  = 190x s−  ∵187 190 ∴该生属于“体能不达标”的学生 （2）从样本区间 )160,180 ， )180,200 ， )200,220 中抽出的人数分别为 1，2，2， X可取 0，1，2 ∴ ( ) 2 2 0 3 2 5 3 0 10 C C P X C = = = ， ( ) 1 1 2 3 2 5 6 1 10 C C P X C = = = ， ( ) 2 0 2 3 2 5 1 2 10 C C P X C = = = ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 3 10 6 10 1 10 ∴ ( ) 3 6 1 4 0 1 2 10 10 10 5 E X =  +  +  = ． 【点睛】本题考查频率直方图和平均数的计算估计，考查离散型随机变量的分布列和期 望，属基础题.平均值的估计关键是以各组中间值为代表近似估计，求分布列关键是应清楚 X 的各个取值，并利用组合数计算相应概率. 18．(1)证明见解析 (2) 3 3 【分析】（1）根据中位线的性质可得线线平行，即可根据线面平行的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）取PA的中点F ，连接 ,FB FE , 由于 // , 1, 2BC AD BC AD= = ， E 是PD的中点， 故 / /EF AD且 1 1 2 EF AD= = ， 因此 ,EF BC= 且 / /EF BC ，故四边形EFBC 为平行四边形，故 / /BF EC , CE 平面PAB , BF 平面PAB ,故 //CE 平面PAB （2）由于 AB ⊥平面PAD ， AB 平面 ABC ，故平面 ABC ⊥平面PAD ， 取 AD 中点为O ，连接OP , ,PA PD OP AD=  ⊥ ，且平面 ABC 平面PAD AD= ， OP 平面PAD ，故OP ⊥ 平面 ABC ， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 , 1, 1,0 , 0,0,1 , 0,1,0C B P D− , ( ) ( ) ( )1,0, 1 , 0,1,0 , 1,1,0PC BC CD= − = = − 设平面PBC 的法向量为 ( ), ,m x y z= ， 则 0 0 PC m x z BC m y   = − =   = = ，取 1x = ，则 ( )1,0,1m = ， 设平面 PCD的法向量为 ( )1 1 1, ,n x y z= ， 则 1 1 1 1 0 0 PC n x z CD n x y   = − =   = − + = ，取 1 1z = ，则 ( )1,1,1n = ， 设平面PBC 与平面 PCD夹角为 ， 则 2 6 cos cos , 32 3 m n m n m n   = = = =  ， 故 3 sin 3  = ， 19．(1) ( ) 2 2 1 2 4 3 x y x+ =   (2)证明见解析 【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求曲线C 的方程， 注意 2x   . （2）设 ( )4,N n 、直线 AM 为 ( )2 6 n y x= + ，联立曲线C ，应用韦达定理求M 的坐标，进 而用n表示 tan MFD 、 tan2 NFD ，即可证结论. 【详解】（1）由题意可设 ( ),M x y ，且 2x   ， 则 3 2 2 4 AM BM y y k k x x  =  = − + − ， 所以曲线C 的方程为 ( ) 2 2 1 2 4 3 x y x+ =   . （2）当MF AB⊥ ，不妨取 3 (1, ) 2 M ，满足曲线的方程 ( ) 2 2 1 2 4 3 x y x+ =   ， 则 AM 的方程为 1 ( 2) 2 y x= + ，可得 (4,3)N ， 此时可得 45NFD = ，又 90MFD = °，故 2MFD NFD =  ； 当MF 不垂直于 AB 时，设 ( )4,N n ，则直线 AM 的方程为 ( )2 6 n y x= + ， 联立 ( ) 2 2 2 6 1 4 3 n y x x y  = +   + =  ，得 ( )2 2 2 227 4 4 108 0n x n x n+ + + − = ， 所以 2 2 4 27 A M n x x n + = − + ，则 2 2 54 2 27 M n x n − = + ， 故 2 2 108 18 6 27 27 M n n y n n =  = + + ， 又 2 6 tan , tan 1 9 3 M M y n n MFD NFD x n  = =  = − − ， 故 2 2 2tan 6 tan2 tan 1 tan 9 NFD n NFD MFD NFD n   = = =  −  − ， 即 tan tan2MFD NFD =  ，所以 2MFD NFD =  ， 综上所述： 2MFD NFD =  .