安徽省示范高中培优联盟2024-2025学年高一下学期春季联赛数学试题
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内容正文：
数学试题 第 1 页（共 7 页）
安徽省示范高中培优联盟 2025 年春季联赛（高一）
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
C C D B D A B B
9 10 11
BD ABD ACD
一、选择题：本大题共 8 个题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】 2 2 22 ( ) 0a b ab a b a b ≤ ≤ ，即 p与q等价，所以 p是q的充要条件．
2．【答案】C
【解析】 2
1
{ | 2 3 2} { | 2}
2
A x x x x x ，
3
{ | 1} { | 0 3}B x x x
x
，
则 { | 0 2}A B x x ，故答案选 C
3．【答案】D
【解析】 1 3,x x 1 2 2 2( ) 2 9x x x x ，即 2 22 9 2 2 5x x ，即 1 2( ) 5x x ， 1 5x x ，
2 2 1 2 1
2 2 1 1 1
2 ( ) 5
( )( ) 3
x x x x x x
x x x x x x x x
4．【答案】B
【解析】由 (1 ) (2 )f x f x 得 (1 ) (2 ) 0f x f x ，则函数 ( )f x 图象关于点
3
( ,0)
2
对称，所以答案 C
错误；又因为 ( )f x 为偶函数，则易得 ( )f x 的周期为 6，故答案 B 正确； ( 6)f x 为偶函数，答案 D 错
误； (2025) (3) (0)f f f ，不一定为 0，故答案 A 错误．
5．【答案】D
【解析】 2 2
2 1
( ) log ( 1) log
1 1
x
f x
x x
，定义域为 ( 1,1) ，由 2
1
( ) log ( )
1
x
f x f x
x
得， ( )f x 为奇函数，
则 ( )f x 在定义域内单调递减；由 ( ) ( ) 0f a f b 得 1 1a b ，故答案 D 正确．
6．【答案】A
【解析】由 2
1 1
sin cos sin
2 4
f x a x x a x 可知， 2T π ，函数 f x 相邻最高点与最低点之间的
直线距离为 25 π ，即有
2 2
21 5
4 4 2
π π
a
，解得 1a ．所以
2 5
cos
5
，
5
sin
5
．对 x R，
0f x f x ，则在 0x 处取最大值，即有 0sin 1x ，即
0 2
2
π
x kπ ， 0 2
2
π
x kπ ， 0
2 5
sin sin( ) cos
2 5
π
x
数学试题 第 2 页（共 7 页）
7．【答案】B
【解析】（方法一）易知方程 2 4 0x 只有两个实数根，分别为 2x 和 2x ，故方程 2 3 0x tx t 至
少有一个实数根，下面分情况讨论：当 2 4( 3) 0t t 时，即 6t 或 2t 时，方程 2 3 0x tx t 只
有一个根，若 6t ，则根为 3x ，符合题意；若 2t ，则根为 1x ，结合取小函数图象可知，方程
( ) 0f x 只有两个根，不符合题意；当 2 4( 3) 0t t 时，即 6t 或 2t 时，方程 2 3 0x tx t 有两
个不相等的实数根，分别设为 1 2,x x ，并且 1 2x x ，结合取小函数图象，当 1 22 x x 或 1 2 2x x 时，方
程 ( ) 0f x 至少有3个不同的实数根，则
2
2
4 2 3 0
t
t t
或
2
2
4 2 3 0
t
t t
，解得6 7t ；则实数 t 的取
值范围是[6,7]，故答案 B 正确．
（方法二）代入特殊值，排除法
8.【答案】B
【解析】（方法一）易知 30PBA PCB ，故 ABP BCP△ △ ，所以
1
3
BP AP AB
CP BP BC
，即
3
3 , ,
3
CP BP AP BP 在 APC△ 中，由余弦定理可知， 2 2 2 2 cos60AC CP AP CP AP ，计算得
21
3
AC BP ，再由余弦定理可知， 2 2 2 2 cosAP CP AC CP AC ，带入计算得
7 1
3
53 3cos
21 2 7
2 3
3
，
所以
3
sin 32 7tan
5cos 5
2 7
．
（方法二）此点为布洛卡点，故由余弦定理可证 2 2 2( ) tan 4 ABCa b c S △ ，所以
3
4
34tan
1 1 3 5
．
（方法三）易知 30 , 150 , 60PBA BPA CPA ，不妨设 ,1AC 在 APC△ 中，由正弦定理：
60sin
1
sin
PA
得： sin
3
32
PA ，在 APB△ 中，同理得： )30sin2 （PA ，由 )30sin(2sin
3
32
展开即可．
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错得 0 分．
9．【答案】（人教版）BD；（北师大版）BD．
【解析】（人教版）
2 2
1 i (1 i)(4 3i) 1 7
i
4 3i 4 (3i) 25 25
z
，
1 7 1 7 2
i i =
25 25 25 25 25
z z ，
1 i 2
4 3i 5
z
，故
BD 正确；
（北师大版）这组数据的极差为10 1 9 ，这组数据的平均数为 (1 2 5 7 10) 5 5 ，因为5 60% 3 ，
数学试题 第 3 页（共 7 页）
故取从小到大排列的第 3 和第 4 个数的平均数，即
5 7
6
2
，故 BD 正确．
10．【答案】ABD
【解析】由
π
2
A B 得
π
2
A B ，则
π
sin sin( )
2
A B ，即 sin cosA B ，故 A 正确；由
tan tan
tan( ) tan
1 tan tan
A B
A B C
A B
变形得 tan tan tan tan tan tanA B C A B C ，故答案 B 正确；
因为 ABC△ 为锐角三角形，所以 2 2 2a b c ，则 2 2 2sin sin sinA B C ， 2 2 2sin sin (1 cos )A C B ，故
答案 C 错误；
sin( )sin( ) (sin cos cos sin )(sin cos cos sin )A B A B A B A B A B A B
2 2 2 2 2 2(sin cos ) (cos sin ) sin (1 sin ) (1 sin )sinA B A B A B A B 2 2sin sinA B ,故答案 D 正 确；故 ABD
正确．
11．【答案】ACD
【解析】本题改编自人教版习题 6.4 的第 11 题．
选项 A，易知 OAB△ 为等腰三角形，且 | | | | 1OA OB ，所以 OAB△ 面积的最大值为
1
2
，此时 90 ，
选项 B，OB在OA方向上的投影向量为
2 2
| || | cos
cos ( cos , cos )
| | | |
OB OA OB OA
OA OA OA m n
OA OA
选项 C，如图所示， | | | | 1OA OB ，设 xOA ，
1| | cos( ) cos cos sin sin cos sinBx OB m n ，
2| | sin( ) sin cos cos sin sin cosBy OB m n ，
故 ( cos sin , sin cos )OB m n m n ，当 120 时，
3 3
,
2 2
m n m n
OB
，
选项 D，因为 2AP PB ，且 , ,O A B三点不共线，故
1 2
3 3
OP OA OB ，平方得
2 2
2 1 1 1| | ( 4 4 ) (1 4 4cos ) (5 4cos )
9 9 9
OP OA OB OA OB ， cos [ 1,1] ，所以 2
1
| | [ ,1]
9
OP ，即
1
| | [ ,1]
3
OP ．故 ACD 正确．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．【答案】 2( ) ( )f x x f x x ， （答案不唯一）
【解析】由 , Rx y ，都有 ( ) ( ) ( )f xy f x f y 可知，幂函数 ( ) nf x x 满足性质；再由 ( 3) (2)f f 可知该幂
函数在R上不是单调函数，故可填 2( )f x x ．（答案不唯一）
13．【答案】
2 2
3
x
y
B2
B1
A2
A1
α
θ
A(m,n)
B
O
数学试题 第 4 页（共 7 页）
【解析】令 2a b m ，则 0m ，a b n ，则 0n ；由
2a b m
a b n
，可解得
2
3
3
m n
a
m n
b
，带入原式可得
1 2 1 2 2 2
( ) ( )
2 3 3 3
a b m n m n n m
a b a b m n m n
，当且仅当
2n m
m n
，即 2m n 时取等，
故
2
a b
a b a b
的最小值为
2 2
3
．
14．【答案】（人教版） 4 3 3 2
3
；（北师大版）
13
25
．
【解析】（人教版）由正四面体 ABCD的内切球的半径为 6
6
可得该
正四面体的棱长为２，正方体零件可以在勒洛四面体 ABCD内任意转动， 不 难 得
到当零件棱长最大时，该正方体内接于勒洛四面体的内切球．勒洛四面体的内切球与勒洛四面体的弧
面相切，如图，点O为该球的球心，易知该球的球心O为正四面体 ABCD的中心，半径为OE，连接 BE，
易知 , ,B O E三点共线，且 2BE ，
6
2
OB
，所以
6
2
2
OE BE OB
，即勒洛四面体的内切球的半径为
6
2
2
，则该内切球的内接正方体的棱长为 4 3 3 2
3
，即该正方体零件的棱长的最大值为 4 3 3 2
3
．
（北师大版）
（方法一）前两次小球的号码之和必为偶数，即前两次都为奇数或者偶数．
.
25
13
5
2
5
2
5
3
5
3
P
（方法二）由列表法可知前两次有放回的摸球号码之和情况如下表：
号码之和
第一次小球的号码
1 2 3 4 5
第
二
次
小
球
的
号
码
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
第 3 次拿出编号为奇数的三个小球，所以若这三次摸到小球的号码之和为偶数，则前两次小球的号码
之和也必为偶数，由表格可知此概率为
13
25
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
【解析】（1）如图 15-1，当 2c 时，
在 ABD△ 中，由余弦定理可知： .1,1
2
2
22332 BDBD
故 90ADB ， 45ABD ， （3 分）
数学试题 第 5 页（共 7 页）
在 Rt ADC△ 中，
1
cos30
b
，故
2 3
3
b ． （6 分）
（2）如图 15-2，当 2BD DC 时，即 2ABD
ACD
S
S
△
△
，
1
1 sin45
22 2
1
1 sin30
2
ABD
ACD
c
S c
S bb
△
△
，即 2c b ， （8 分）
又因为 ABC ABD ACDS S S △ △ △ ，
所以
1 1 1
sin(45 30 ) 1 sin45 1 sin30
2 2 2
b c c b ，
化简得
2(1 3)
2
2
bc c b
， （10 分）
将 2c b 代入计算可得 ( 3 1) 3b ，
所以
3 3( 3 1)
23 1
b
． （13 分）
图15-2
图15-1
CB
A
D
c
b
1
45°30°
30°45°
1
bc
D
A
B
C
16.（15 分）
【解析】（1）因为点 E,F 分别是弧 AB 上的三等分点，所以
4
AOE EOF FOB
，（2 分）
2 2
2 2
OE OA OF ，
2 2
2 2
OB OA OF ， （6 分）
所以 2OF OA OB ，
所以
2 2
2
2 2
OE OA OB OA OA OB ． （10 分）
（2）
3
( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 cos 2
4
BE AF OE OB OF OA OA OB OA OB
（15 分）
（注：建立平面直角坐标系亦可做）
17．（15 分）
【解析】（1）
1
( ) exf x a
x
在区间 (1,2)上单调递增，若在区间 (1,2)上有零点，则
(1) 0
(2) 0
f
f
，即
2
e 1 0
1
e 0
2
a
a
，解得 2
1
e 1 e
2
a （4 分）
（2） 2 2 2[ ( )] (e ) 1 (ln ) ln(e ) 1 (ln ) ln 2y g x g x x x x x
令 lnt x ，则当 2[1,e ]x 时， [0,2]t
则 2 2
1 9
2 ( )
2 4
y t t t ，当 [0,2]t 时，求得函数值域为
9
[ ,0]
4
（9 分）
（3）若 0x 是方程
2e ( ) 0xx g x 的根，则 020 0e ln 0
xx x ， 0 1x ，即
02
0 0e ln
xx x
数学试题 第 6 页（共 7 页）
等式两边同时除以 0x 可得， 00 0
0
1
e lnxx x
x
，即 00
0 0
1 1
e lnxx
x x
, （11 分）
考虑函数 ( ) exh x x ，当 0x 时，函数 ( )h x 单调递增，则上式即为 0
0
1
( ) (ln )h x h
x
，可得
0
0
1
lnx
x
，即 0 0ln x x ， 0
0
1
ex
x
， （13 分）
因为 0 0 0( ) ( )x f x g x ，即 00 0
0
1
(e ) lnxx a x
x
，所以 0 0
0 0
ln1
ex
x
a
x x
，
则 1a ，即 1a ，因此实数 a的取值范围为 ( ,1] . （15 分）
18．（17 分）
（人教版）【解析】（1）取CE 的中点为Q，连接 PQ，QD，
PE PC ，DE DC ，Q为中点
PQ CE ，DQ CE
PQ DQ Q ，CE 面PQD
PD面PQD，CE PD （4 分）
（2）连接 AC交DE于点G，连接MG，
在四边形 AECD 中，由 AE CD∥ ， AE CD ，可得四边形 AECD 为平行四边形，所以点G为 AC 的
中点，又因为 M 为 AP 的中点，所以 MG 是三角形 PAC 的中位线，故 MG ∥ PC ，所以
M DEN N MDE C MDE M CDEV =V =V =V ， （7 分）
由
6
2
PD ，在 PQDΔ 中利用余弦定理可得，
2 2 2 1
cos
2 2
PQ DQ PD
PQD
PQ DQ
，
则 120°PQD ， （9 分）
过点 P作底面 AECD 的垂线，交DQ延长线于点O，在直角 POQΔ 中，
6
sin sin60
4
°PO=PQ PQO PQ = ，则点M到底面 AECD的距离为
6
8
，
故
1 6 6
3 8 48
M DEN M CDE CDEV V S = Δ （11 分）
（3）由（2）可知， PO底面 AECD，延长 AE，过点O作 AE延长线的垂线，交点记为T ，
连接PT ，因为 PO底面 AECD，所以PO AE ，又因为PT AE ，且
=PT PO P，所以 AE OT ，故 PTO 为面PAE与底面 AECD所成二面角的平面角，
在直角 POQΔ 中
2
sin30
4
°OQ=PQ = ，所以
1
4
OT= ，故
7
4
2 2PT= PO OT = ，
则
7
cos
7
OT
PTO
PT
，
即面 PAE与底面 AECD所成二面角的平面角的余弦值为
7
7
. （17 分）
（北师大版）（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为 1，则 (2 3 7 0.030 2 ) 10 1a a a a ，
解得 0.005a . （4 分）
（2）样本的平均数为 (25 2 35 3 45 7 55 0.03 65 2 ) 10 6000 16.5 6000 0.005 16.5 46.5a a a a a ，
用样本的数字特征来估计总体的数字特征，故估计该品牌新能源汽车的购买人群的平均年龄为 46.5
岁. （8 分）
数学试题 第 7 页（共 7 页）
（3）先计算样本数据中年龄位于[50,70)内的平均数为
55 0.03 65 0.01
57.5
0.03 0.01
，
根据方差的定义，记年龄位于[50,60)内的平均数为 55x ，方差为 21 12s ，人数为 30，
年龄位于[60,70)内的平均数为 65y ，方差为 22 10s ，人数为 10，
年龄位于[50,70)内的平均数为 57.5z ，年龄位于[50,70)内的方差为 2s ，人数为 40.
30 10
2 2 2
1 1
1
[ ( ) ( ) ]
30 10
i i
i i
s x z y z
30 30 30
2 2 2 2
1 1 1
30 30
2 2
1 1
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) 2( )( )
( ) 2 30 ( ) 30( )
30 30( )
i i i i
i i i
i i
i i
x z x x x z x x x z x x x z
x x x x x z x z
s x z
（11 分）
同理可得
10
2 2 2
2
1
( ) 10 10( )i
i
y z s y z
所以
30 10
2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 1
1 1
( ) ( ) 3 3( ) ( )
30 10 4
i i
i i
s x z y z s x z s y z
2 21 3 12 3(55 57.5) 10 (65 57.5)
4
1
121 30.25
4
估计该品牌新能源汽车的购买人群的年龄在 50 岁以上的方差为 30.25. （17 分）
（注，本题使用的分层抽样的方差计算公式需要有简单的推导，不可直接套用公式）
19．（17 分）
【解析】（1）当 6n 时， {1,2,3,4,5,6}A ，它的二元子集共有 15 个，
分别是{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}， （3 分）
这里 gcd 大于 1 的子集有{2,4},{2,6},{4,6},{3,6}，所以满足条件的 S 的个数为 11 个； （5 分）
(2)充分性：S中存在两个互质的元素 ( ) 1f S .
证明：若 S中存在两个互质的元素 ,x y，则gcd( , ) 1x y ， ( )f S 是 S中所有元素的最大公约数，即取交
集，故 ( ) 1f S . （8分)
必要性： ( ) 1f S S中存在两个互质的元素.
法一： ( ) 1f S 即：至少存在两个元素没有除 1以外的公约数，符合互质的定义，所以成立。
法二：反证法，当n为质数p时， {1,2, , }A p ，因为p为质数，故A中的所有元素要么是1，要么 ( ) 1f S
是 p，要么是与 p 互质的数（如 2,3,…,p-1）.
若 S 包含 1 和另一元素 k，则gcd(1, ) 1k ，
若 S 不包含 1，且两两元素不互质，则对 , ,gcd( , ) 2x y S x y ，则gcd( ) 2S ，这与 ( ) 1f S 矛盾，故 S
中必存在两个互质的元素. （11 分）
（3）当 10n 时， {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A ， A的非空子集的个数为 102 1 1023 ， （12 分）
利用容斥原理排除gcd 1 的子集：
被单一质数整除的子集数：
被 2 整除： 52 1 31 ；被 3 整除： 32 1 7 ；被 5 整除： 22 1 3 ，被 7 整除： 12 1 1 ，
被多质数整除的交集：
被 2 和 3 整除： 12 1 1 ，被 2 和 5 整除： 12 1 1 ，
由容斥原理计算知满足题意的非空子集 S 的个数为1023 31 7 3 1 1 1 983 （17 分）
命题:培优联盟高考研究院 审题:和县一中 杨来 、当涂一中 许正国 制卷:等高教育 第1页(共6页) 命题:培优联盟高考研究院 审题:和县一中 杨来 、当涂一中 许正国 制卷:等高教育 第2页(共6页)
姓名 座位号
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟2025年春季联赛(高一)
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分,选择题第1至第3页,非选择题第4至第6页。全卷满
分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡
上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上∙∙∙∙
书写,要求字体工整、笔
迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡
∙∙∙
规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水
签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
,在
∙
试题卷
∙∙∙
、草稿纸上答题无效
∙∙∙∙∙∙∙∙
。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。)
1.已知p:a=b,q:a2+b2 ≤2ab,则p 是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.已知集合A={x|2x2-3x ≤2},B= x
3
x ≥1 ,则A ∩B= ( )
A.[-2,0) B.-
1
2
,0
C.(0,2] D.(0,3]
3.已知x+x-1=3,则
x2-2+x-2
x2-x-2
= ( )
A.73 B.±
7
3 C.
5
3 D.±
5
3
4.已知函数f(x)为定义在R上的偶函数,且f(1+x)= -f(2-x),则下面说法一定正确的是( )
A.f(2025)=0 B.f(x)的周期为6
C.f(x)图象关于直线x=
3
2
对称 D.f(x-6)是奇函数
5.已知函数f(x)=log2
2
x+1-
1 ,实数a,b满足f(a)-f(-b)>0,则下列说法正确的是 ( )
A.a2 >b2 B.a2 <b2
C.a+b>0 D.a+b<0
6.已知函数f(x)=asin
x+
1
2cos
x(a>0),且函数f(x)的相邻最高点与最低点之间的直线
距离为 5+π2,若 ∀x ∈R,f(x0)≥f(x),则sin
x0= ( )
A.255 B.
4
5 C.
3
5 D.
5
5
7.定义min{a,b}=
a,a≤b
b,a>b ,若函数f(x)=min{x2-tx+t+3,2|x|-4},当关于x 的方程
f(x)=0至少有3个不同的实数根时,则实数t的取值范围是 ( )
A.-
7
3
,-2
∪ [6,7] B.[6,7]
C.-
7
3
,-2
D.[-4,-2]∪ [6,10]
命题:培优联盟高考研究院 审题:和县一中 杨来 、当涂一中 许正国 制卷:等高教育 第3页(共6页) 命题:培优联盟高考研究院 审题:和县一中 杨来 、当涂一中 许正国 制卷:等高教育 第4页(共6页)
8.如图,在等腰△ABC 中,已知∠BAC=120°,∠PAB= ∠PBC= ∠PCA=θ,则tan
θ= ( )
A.34
B.35
C.36 D.
6
6
二、选择题(本题共3小题,第9题为选考题,请考生任选一题作答。每小题6分,共18分。在每小
题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的
得0分。)
9.【选考人教版 ——— 复数】已知复数z=
1+i
4-3i
(i为虚数单位),则下列说法正确的是 ( )
A.z=
1
7+i
B.z=
1
25+
7
25i
C.z+z
-
=
14
25 D.|z|=
2
5
【选考北师大版 ——— 百分位数】现有一组数据1,2,5,7,10,则下列说法正确的是 ( )
A.这组数据的极差为8 B.这组数据的平均数为5
C.这组数据的第60百分位数为5 D.这组数据的第60百分位数为6
10.在锐角 △ABC 中,下列结论一定成立的是 ( )
A.sin
A >cos
B B.tan
A+tan
B+tan
C=tan
Atan
Btan
C
C.1+sin2C <cos2B+sin2A D.sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)
11.已知O 为坐标原点,非零向量OA→=(m,n),其中m2+n2=1,将OA→绕着点O 沿逆时针方向
旋转θ 角得到向量OB→,点P 满足AP→=2PB→,则下列说法正确的是 ( )
A.若构成 △OAB,则 △OAB 面积的最大值为12
B.OB→ 在OA→ 方向上的投影向量为(mcos
θ,nsin
θ)
C.当θ=120°时,OB→= -m- 3n
2
,3m-n
2
D.OP→ 的最小值为13
(在此卷上答题无效)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上∙∙∙∙∙
作答,在试题卷上答题无效
∙∙∙∙∙∙∙∙∙
。
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分。第14题为选考题,请考生任选一题作答,若两题
都答,则以所做的第一题计分。)
12.定义在R上的函数f(x),满足f(-3)>f(2),且对 ∀x,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)
成立.请写出一个满足上述条件的函数f(x)= .
13.已知a>b>0,则
a
a+2b+
b
a-b
的最小值为 .
14-1.【选考人教版 ——— 球】勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自
由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动(如图甲),利用这一原
理,科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体ABCD 的四个顶点为球心,以正四
面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示.已知正四面体ABCD 的内
切球的半径为 6
6
,若在勒洛四面体ABCD 内放一个小正方体零件,该零件可以在勒洛四面体
ABCD 内任意转动,则该零件棱长的最大值为 .
14-2.【选考北师大版 ——— 古典概型】一个不透明的盒子里装有规格完全相同的5个小球,编号
分别为1,2,3,4,5,现采用有放回的方式摸球3次,每次摸出1个小球,其中第3次是先拿出编
号为1,3,5的 三 个 小 球 后 再 摸 球 一 次,则 这 三 次 摸 到 的 小 球 号 码 之 和 为 偶 数 的 概 率
是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D 在线段BC上,且AD=1,∠BAD=45°,
∠CAD=30°.
(1)若c= 2,求b;
(2)若BD→=2DC→,求b.
命题:培优联盟高考研究院 审题:和县一中 杨来 、当涂一中 许正国 制卷:等高教育 第5页(共6页) 命题:培优联盟高考研究院 审题:和县一中 杨来 、当涂一中 许正国 制卷:等高教育 第6页(共6页)
16.(15分)
如图,已知扇形AOB 的圆心角为3π4
,半径为1,点E,F 分别是弧AB 上的三等分点,
连接
第16题图
OE,OF.
(1)用OA→,OB→ 作平面内的一组基底,表示OF→,OE→;
(2)求BE→·AF→.
17.(15分)
已知函数f(x)=ex -
1
x -a
,g(x)=ln
x,其中e为自然对数的底数.
(1)若f(x)在区间(1,2)上有零点,求实数a 的取值范围;
(2)求y=[g(x)]2-g(ex)-1,x ∈ [1,e2]的值域;
(3)若x0 是方程x2ex +g(x)=0的根,且x0<1,若x0f(x0)≥g(x0),求实数a的取值
范围.
(选考题)(17分)(请考生从18-1,18-2两题中任选一题作答,若两题都答,则以所做的第一题
计分。)
18-1.【选考人教版 ——— 立体几何】
如图,在直角梯形ABCD 中,∠ABC=90°,AB ∥CD,AB=2CD=2,BC=1,点E 为AB 的中
点,将 △BCE 沿着CE 翻折成 △PCE,使得PD=
6
2.
第18-1题图
(1)证明:CE ⊥PD;
(2)若点M,N 分别为棱AP 和PC 的中点,求四面体M DEN 的体积;
(3)求平面PAE 与底面AECD 所成二面角的余弦值.
18-2.【选考北师大版 ——— 统计和概率】
随着新能源汽车的不断普及,城市街道上的绿色牌照车辆日益增多,悄然改变着人们的出行方
式。为了研究购买新能源汽车的人群年龄分布,现从某品牌新能源汽车近一年的销售情况中随
机抽取了100位顾客的基本信息,按年龄(单位:岁)分组,分为5组,依次是[20,30),[30,40),
[40,50),[50,60),[60,70),整理可得到如下的频率分布直方图.用样本的数字特征来估计总体
的数字特征,请完成以下问题.
(1)求a;
(2)估计该品牌新能源汽车的购买人群的平均年龄;
(3)经计算可知,样本数据中年龄位于[50,60)内的方差为12,年龄位于[60,70)内的方差为10,
请估计该品牌新能源汽车的购买人群的年龄在50岁以上的方差.
第18-2题图
19.(17分)已知集合A={1,2,3,…n}.对于A 的非空子集S,定义函数f(S)为S中所有元素的
最大公约数(gcd),例如gcd(2)=2,gcd(1,2)=1,gcd(2,6,12)=2.请解决以下问题.
(1)当n=6时,求满足f(S)=1的二元集合S 的个数;
(2)证明:当n为质数时,且S至少含有2个元素时,则f(S)=1的充要条件是S中存在两个
互质的元素;
(3)当n=10时,求所有满足f(S)=1的非空子集S 的个数.
四 .16.（15分）四 .15.（13分）
[0]
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考号 姓名
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
非选择题 （用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写）
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
此栏考生禁填 缺考标记□ 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。
一、单项选择题（每小题5分，共40分。）（用2B铅笔填涂）
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
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■装
订
线
学
校
班
级
姓
名
考
点
准
考
证
号
密
封
线
内
不
要
答
题
贴 条 形 码 区
考生须知
1.考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名 .
2.选择题作答时，必须用2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡
皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷 .
3.非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答 .严格按照答题要求，在答题
卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的
答案无效 .
4.作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用 0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚 .
5.保持卷面清洁，不要将答题卷折叠、弄破 .
安徽省示范高中培优联盟2025年春季联赛(高一)
数学答题卡
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12.
13.
14. 我所选择的题号是14-1 14-2
1. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、多项选择题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）（用2B铅笔填涂）
9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
10. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
11. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第16题图
四 .18.(17分,请考生从18-1、18-2两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题的题
号涂黑，注意选做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。 )我所
选择的题号是18-1 18-2
四 .17.（15分）
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
装
订
线
密
封
线
内
不
要
答
题
四 .19.（17分）
第18-1图
第18-2图
资源预览图
