精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

平罗中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 满分：150分 考试时长：120分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】因为，所以. 3. 若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得. 【详解】由题意，圆锥的母线，高，则底面半径 ， 故其体积 . 故选：B. 4. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 30°. B. 60°. C. 90°. D. 30°或150°. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得到结果或 （ 舍掉，小边对小角）. 【详解】由正弦定理得：， 所以或， 因为，所以，所以. 故选：A. 5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误； 对于D，若，则直线m, n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。 6. 如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式. 【详解】在中，是线段上的靠近的三等分点，则， 即，解得. 7. 如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用已知条件得出相关点的坐标，进而得出的坐标，利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】在三棱锥中，两两互相垂直，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 为的中点，且，则，， ， ，设所成的角为， ， ，，即直线与所成角的大小为． 故选：C． 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用纯虚数定义可得A；借助复数运算法则可计算出，再利用几何意义即可得B；利用共轭复数定义可得C；利用模长公式计算可得D. 【详解】对A：，为纯虚数，故A正确； 对B：，由、， 故在复平面内对应的点位于第三象限，故B正确； 对C：由，则，故C正确； 对D：，故D错误. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若和的夹角为锐角，则 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若，则和的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A，由向量夹角和数量积的符号关系可判断B，由投影向量计算公式可判断C，通过平方可判断D. 【详解】选项A，若 ，得 ，  解得 ，A正确， 选项B，由  与 夹角为锐角， 得：， 当两向量共线，得​， 此时 ，为同向共线，夹角为（不是锐角），需排除 ， 因此 ，B正确， 选项C，当 时，， 在  方向上的投影向量为  ， ， 因此投影向量为 ，C错误， 选项D，对 ， 两边平方： ， 展开整理得：，代入， 得 ， 又 ，因此 ，， 设夹角为 ： ， 由 得 ，D正确. 11. 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是的中点，是上异于的点，.则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 当是的中点时，与所成的角为 D. 与平面所成的角为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定、面面垂直的判定和性质、异面直线的夹角以及线面夹角的知识逐项计算即可. 【详解】对于A： 因为矩形，所以， 因为平面，而不在平面内， 所以平面，所以A正确； 对于B： 因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，， 所以与半圆弧所在平面垂直，因为在半圆弧所在平面内， 所以，所以，所以， 假设平面平面，因为平面平面， 设过点作的垂线，记为，则平面， 因为平面，所以，又，所以点与重合， 即，所以. 由前面可知，所以假设不成立， 所以平面不垂直，所以B错误； 对于C： 取的中点为，连接，因为是的中点， 所以， 因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，， 所以平面，又平面， ，所以为等腰直角三角形， 所以. 因为，所以所成的角为所成的角，即，所以C错误； 对于D： 因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，， 所以与半圆弧所在平面垂直，所以与平面所成的角为. 因为在半圆弧所在平面内，所以， 所以在直角中，，所以为定值，所以D正确； 故选：AD. 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知是两个不共线的向量，向量，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行（共线）建立相应的关系式分析求解即可. 【详解】因为，， 所以存在实数，使得，即， 又是两个不共线的向量，所以，解得：. 13. 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援.则的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在中，，， 由余弦定理可得： ， 即，所以的距离为海里. 14. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 【答案】144π 【解析】 【分析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可. 【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π. 故答案为144π. 【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题. 三、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）求； （2）若，求m的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算即可求得的值； （2）利用向量垂直的充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值． 【小问1详解】 ∵， ∴； 【小问2详解】 由，可得 即，即，解得． 16. 如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，先求出各点坐标，再写出向量 与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使 ），且无公共点，即可证两直线平行。 （2）在同一坐标系中，写出向量与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使），且两向量有公共点，即可证三点共线． 【小问1详解】 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 已知， 则，，，，，， ，， 所以，即与共线， 又因为与无公共点，所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以，即与共线， 又因为与有公共点，所以三点共线． 17. 如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点． （1）证明：； （2）证明：平面平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质以及线面垂直的性质可得线线垂直，利用线面垂直判定以及性质，可得答案； （2）利用平行四边形的性质可得线线平行，根据线面平行的判定与面面平行的判定，可得答案. 【小问1详解】 ∵是棱的中点，，∵，∴为等腰三角形， 又∵是的中点，∴，∵平面，平面， ∴，又，平面，∴平面， 又∵平面，∴． 【小问2详解】 ∵是棱的中点，， ，且，四边形为平行四边形，则， 即，平面，平面，∴平面， 同理平面，又平面， ∴平面平面． 18. 在中，角所对的边分别为．满足 （1）求角的大小； （2）设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，即可得； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得，，根据平面向量的运算可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 且，则，可得，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得，即， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为是边的中点，则， 可得 ， 即，所以的最大值为. 19. 如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. （1）求证：平面. （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【小问1详解】 因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 满分：150分 考试时长：120分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 30°. B. 60°. C. 90°. D. 30°或150°. 5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或是异面直线 6. 如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若和的夹角为锐角，则 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若，则和的夹角为 11. 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是的中点，是上异于的点，.则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 当是的中点时，与所成的角为 D. 与平面所成的角为定值 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知是两个不共线的向量，向量，，若，则__________． 13. 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援.则的距离为__________． 14. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 三、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）求； （2）若，求m的值． 16. 如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线． 17. 如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点． （1）证明：； （2）证明：平面平面； 18. 在中，角所对的边分别为．满足 （1）求角的大小； （2）设，已知是边的中点，求的最大值． 19. 如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. （1）求证：平面. （2）求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $