6.3三角形的中位线　课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

6.3三角形的中位线 北师大版 (2012) 八年级下册 第六章 平行四边形 学习目标 理解三角形中位线的概念，探索三角形中位线定理 能够利用平行四边形的性质和判定证明三角形的中位线定理 1 2 能够利用中位线定理解决相关问题 3 知识回顾 平行四边形有哪些判定方法？ 平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识探究 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 如图，在 △ABC 中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形.将 △ADE 绕点 E 按顺时针方向旋转180°到 △CFE 的位置，这样就得到了一个与三角形面积相等的 □ DBCF. B A C D E F B C D E F A G 知识探究 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形的中位线 D A B C E 两层含义： ② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的 . ① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ； 中位线 中点 知识探究 问题1：一个三角形有几条中位线？ D E F 3条 问题2：若连接AF，则AF是△ABC的 . 中线AF 中位线EF 你能尝试说出三角形中位线和中线的联系和区别吗？ 中线 不同之处：中位线是两个中点的连线； 中线是一个顶点和对边中点的连线. 相同之处：都是和边的中点有关的线段； 知识探究 想一想 从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ B C D E F A G DE 和边 BC 的关系 数量关系： 位置关系： 平行 DE 是 BC 的一半 能说出理由吗? 知识探究 已知：如图，DE 是 △ABC 的中位线. 求证：DE∥BC ，DE＝ BC. 证明1：过点 C 作 CF∥AB 交 DE 的延长线于 F ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF 又∵AE＝EC，∠AED＝∠CEF ∴△ADE ≌ △CFE（ASA） ∴ AD＝FC 又∵DB＝AD， ∴DB＝FC ∴四边形 BCFD 是平行四边形． ∴DE∥BC 且 DE＝EF＝ BC ． F 知识探究 已知：如图，DE 是 △ABC 的中位线. 求证：DE∥BC ，DE＝ BC. 证明2：如图，延长 DE 至 F，使 EF＝DE，连接 CF. ∵ AE＝CE，∠AED＝∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS). ∴AD＝CF，∠ADE＝∠F. ∴BD∥CF. ∵AD＝BD， ∴BD＝CF. ∴四边形 DBCF 是平行四边形. ∴DF∥BC，DF＝BC. ∴DE∥BC，且DE＝EF＝ BC ． F 知识探究 已知：如图，DE 是 △ABC 的中位线. 求证：DE∥BC ，DE＝ BC. ∵AE＝EC ∴DE＝EF ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴AD＝FC，AD∥FC 又∵ AD＝BD， ∴DB＝FC ∴四边形BCFD是平行四边形  ∴DE∥ BC 且DE＝EF＝ BC ． 证明3：如图，延长 DE 至 F，使EF＝DE， 连接CD、AF、CF， F B C E D A 知识探究 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 三角形的中位线定理 D A B C E 用符号语言表示： ∵ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE∥BC， 应用：(1)位置关系：证明两直线平行 (2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系 议一议 如图，任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流. 称为中点四边形 证明：如图，连接 AC. ∵E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点， ∴EF∥AC，EF＝ AC，HG∥AC，HG＝ AC. ∴EF∥HG，EF＝HG. ∴四边形 EFGH为 平行四边形. 中点四边形的性质： 不管四边形的形状怎么改变，中点四边形始终是平行四边形. 知识探究 当 堂 检 测 当堂检测 A 当堂检测 D 当堂检测 C 当堂检测 5 当堂检测 当堂检测 当堂检测 三角形的中位线 定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 性质： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 感谢学生们的观看 1.如图，的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，，则的周长为( ) A.15 B.18 C.21 D.24 解析：∵的周长为36，∴，则. ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，，∴. 又∵点E是CD的中点，，∴OE是的中位线，∴， ∴的周长， 即的周长为15.故选A. 2.如图所示，已知是的中位线，，，点F是延长线上的一点，且，求线段的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：∵是的中位线， ∴，点D为的中点， ∵，∴， ∴， 故选：D. 3.如图，在四边形中，E、F分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是( ) A. B. C. D. 解析：连接，∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，∴， ∴， 故选C. 4.如图，在中，，点D、E分别是边的中点，延长到点F，使.若，则的长是_______ 解析：∵D、E分别是的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴. 5.如图，在中，点O是对角线的交点，点E是边的中点，点F在的延长线上，且，求证：四边形是平行四边形. 解析：∵四边形是平行四边形， ∴，即O是的中点， ∵E是的中点， ∴是中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形. 6.如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由. 解析：(1)∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 6.如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由. 解析：(2)与的数量关系为：，理由如下： 由(1)得：四边形是平行四边形，∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，∴. $$