精品解析：江苏省镇江中学2024-2025学年高一下学期期中学情检测数学试题

江苏省镇江中学高一年级期中学情检测（数学） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，可得复数的虚部. 【详解】因为，所以复数的虚部为：. 故选：D 2. 已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边AB上的中线的实际长度为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解. 【详解】的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是6和8，斜边AB的长度为10， 边AB上的中线的实际长度为5. 故选：D 3. 已知向量，满足：，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 4. 下列叙述中，正确的是（ ）． A. 因为，，所以 B. 因为，，所以 C. 因为，，，所以 D. 因为，，所以 【答案】D 【解析】 【分析】根据公理1判断选项A、C，根据公理3判断选项B、D. 【详解】A：因为，所以，故A错误； B：因为，所以或，故B错误； C：因为，所以，故C错误； D：因为，所以，故D正确. 故选：D 5. 已知等边三角形的边长为1，，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求. 【详解】因为，所以， 即， 所以． 故选：D． 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】 因为当时，为增函数， 所以，故 故选：C. 8. 在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即.  因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是.  由，且，可得.得到.  的取值范围是， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是（ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出复数的形式，写出共轭，由复数的平方和模长的运算得到A错误；由复数的几何意义可得B正确；由复数的运算可得C错误；把根代入方程后由复数的意义可得D错误. 【详解】设，则，其中， A：，，故故A错误； B：因为，由复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心的单位圆上， 而表示圆上的点到点的距离，又圆心到的距离为， 所以圆上的点到的最大距离为，故B正确； C：因为，所以，复平面内对应的点位于第二象限，故C错误； D：是关于的方程的一个根， 所以，整理可得， 所以，解得，故D错误； 故选：ACD. 10. 给出下列命题中，其中正确的选项有（ ） A. 若非零向量，满足：，则与共线且同向 B. 若非零向量，满足：，则与的夹角为 C. 若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为 D. 在中，若，则为等腰三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，等式两边平方后可求向量的夹角，故可判断其正误；对于B，根据以为三边的三角形为等边三角形可判断其正误，对于C，根据数量积为负及向量不共线反向可判断其正误，对于D，根据向量隐含的几何意义可判断其正误. 【详解】选项A，对非零向量， ， 若使成立，即使成立， 则，即，所以与共线且同向，选项A正确； 选项B：非零向量满足， 则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B错误； 选项C：因为与向量夹角为钝角，故且不共线反向， 故且，故且，故C错误； 选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线， 又因为，即， 所以，即为等腰三角形,所以选项D正确. 故选：AD. 11. 在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算、余弦定理可判断A；利用正弦定理、两角和的正弦展开式可判断B；求出的取值范围，由正弦的二倍角公式可判断C；求出的范围可判断D. 【详解】对于A，因为向量，，且，所以， 由余弦定理得， 即，又因为为锐角三角形，所以， 所以，故A错误； 对于B，由正弦定理、得 ， 因为在锐角中，， 所以，可得，故B正确； 对于C，因为，所以，， 可得，由正弦定理可得，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】因为平面向量，，所以， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 13. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用展开计算即可 【详解】. 故答案为：. 14. 如图，一幅壁画的最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，现在从离地高4m的C处观赏它． ①若C处离墙的距离为6m，则______； ②若要视角最大，则离墙的距离为______m． 【答案】 ①. ##0.5； ②. ； 【解析】 【分析】(1)利用两角差的正切公式即可求解. (2)设离墙的距离为，求得关于的表达式，结合基本不等式求得取得最大值时的值. 【详解】 填空1： 过作，交的延长线于，则， ， , 填空2： 设离墙的距离为， ， 当且仅当时等号成立. 由于，所以当最大时，最大，此时. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足为纯虚数，． （1）求以及； （2）设，若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）1或5 【解析】 【分析】（1）设复数的代数形式，利用复数的乘法运算化简，根据纯虚数概念求解； （2）利用复数的乘除、乘方化简，再由模的公式建立方程求解. 【小问1详解】 设，则， 由为纯虚数， 得①，且， 由，得②， 由①②解得，验证知，满足题意. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，得， 整理，得， 解得或. 故实数的值为1或5. 16. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值． （2）利用向量的夹角公式即可求解. （3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标． 【小问1详解】 向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； 【小问2详解】 ， 解得， 【小问3详解】 设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 17. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数的基本关系式、倍角公式结合两角差的正弦可求的值； （2）先求出的正弦与余弦，再由两角和的余弦可求的大小. 【小问1详解】 因为，，所以； 因为，，所以 所以，， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，，所以，， ，得，， ，因为 所以. 18. 如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，. （1）若，用，表示，； （2）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可用,表示,. （2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围. 【小问1详解】 由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形. 所以， 因为，，所以， 所以， . 【小问2详解】 因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ， 所以， 设，则，. 所以， ， 所以 ， 因为， 所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为. 所以的取值范围. 19. 在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. （1）求角的大小； （2）若，，为的重心，求的长； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)给出了三个不同的条件，分别通过三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理等知识来求解的度数. (2)由余弦定理求出BC的长度，再求出cos B，然后在利用余弦定理求出AM的长度，最后根据重心性质求出AG的长度. (3)利用正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，然后通过三角函数的恒等变换将表达式化简为只含有的形式，最后根据C的取值范围确定的取值范围，进而得出m的取值范围. 【小问1详解】 方案一：选条件①. 由题意可得，. 为的平分线，， ，即 又，，即， ，， ，. 方案二：选条件②. 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ，. 方案三：选条件③. 由正弦定理得，， 又， ， ， 易知， ，，. 【小问2详解】 法1 延长交于点，因为为三角形的重心， 所以为的中点， 所以， . 法2 在中，由余弦定理可得，， ，. 延长交于点， 为的重心，为的中点，且. 在中，由余弦定理可得，， ，. 【小问3详解】 因为，所以， 从而 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江中学高一年级期中学情检测（数学） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 2. 已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边AB上的中线的实际长度为（ ） A. 4 B. C. D. 5 3. 已知向量，满足：，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 4. 下列叙述中，正确的是（ ）． A. 因为，，所以 B. 因为，，所以 C. 因为，，，所以 D. 因为，，所以 5. 已知等边三角形的边长为1，，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是（ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 给出下列命题中，其中正确的选项有（ ） A. 若非零向量，满足：，则与共线且同向 B. 若非零向量，满足：，则与的夹角为 C. 若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为 D. 在中，若，则为等腰三角形 11. 在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 13. __________. 14. 如图，一幅壁画的最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，现在从离地高4m的C处观赏它． ①若C处离墙的距离为6m，则______； ②若要视角最大，则离墙的距离为______m． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足为纯虚数，． （1）求以及； （2）设，若，求实数的值． 16. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标. 17. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 18. 如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，. （1）若，用，表示，； （2）求的取值范围. 19. 在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. （1）求角的大小； （2）若，，为的重心，求的长； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $