安徽省示范高中培优联盟2024-2025学年高二下学期春季联赛数学试题

四 .16.（15分）四 .15.（13分） [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 考号 姓名 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 非选择题 （用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 此栏考生禁填 缺考标记□ 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。 一、单项选择题（每小题5分，共40分。）（用2B铅笔填涂） ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■装 订 线 学 校 班 级 姓 名 考 点 准 考 证 号 密 封 线 内 不 要 答 题 贴 条 形 码 区 考生须知 1.考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名 . 2.选择题作答时，必须用2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡 皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷 . 3.非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答 .严格按照答题要求，在答题 卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的 答案无效 . 4.作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用 0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚 . 5.保持卷面清洁，不要将答题卷折叠、弄破 . 安徽省示范高中培优联盟2025年春季联赛(高二) 数学答题卡 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. 13. 14. 1. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、多项选择题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）（用2B铅笔填涂） 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 四 .17.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 装 订 线 密 封 线 内 不 要 答 题 四 .19.（17分）四 .18.（17分） 第17题图 命题:培优联盟高考研究院 审题:宁国中学 高莹 、当涂一中 秦启龙 制卷:等高教育 第1页(共6页) 命题:培优联盟高考研究院 审题:宁国中学 高莹 、当涂一中 秦启龙 制卷:等高教育 第2页(共6页) 姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 绝密★启用前 安徽省示范高中培优联盟2025年春季联赛(高二) 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分,选择题第1至第3页,非选择题第4至第6页。全卷满 分150分,考试时间120分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。 2.答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上∙∙∙∙ 书写,要求字体工整、笔 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡 ∙∙∙ 规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水 签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ,在 ∙ 试题卷 ∙∙∙ 、草稿纸上答题无效 ∙∙∙∙∙∙∙∙ 。 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。) 1.已知i为虚数单位,若1-z1+z=- 1-2i,则z= A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 2.已知向量a=(-1,2),b=(2,x),若(3a+4b)∥ (a-b),则x= A.4 B.1 C.-1 D.-4 3.已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2),且P(X <4)=0.8,则P(0<X <2)= A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 4.在 △ABC 中,tan B=2tan C,sin A= 1 4 ,则sin(B-C)= A.- 3 4 B. 3 4 C.112 D.- 1 12 5.已知∑ n k=1 k3= 1 4n 2(n+1)2,则13+33+53+…+193= A.19800 B.19900 C.20100 D.20200 6.已知a∈R,设函数f(x)= -x2-2ax-a,x <0. 2cos x+x2,x ≥0. ,若∀t>0,f(x+t)>f(x),则a的 取值范围为 A.(-∞,-2] B.[-2,0] C.[-1,0] D.[0,+∞) 7.记f(n)为自然数n的所有数位上的数字之和,例如:f(5201314)=5+2+0+1+3+1+4=16. 满足f(k)=9(0≤k≤999)的自然数k共有m 个,则m= A.25 B.35 C.45 D.55 8.直线l:10x+y-1=0与44条直线2x-y+1=0,2x-y+2=0,…,2x-y+25=0, x+y-1=0,x+y-2=0,…x+y-19=0共有m 个不同的交点,则m= A.37 B.39 C.42 D.44 命题:培优联盟高考研究院 审题:宁国中学 高莹 、当涂一中 秦启龙 制卷:等高教育 第3页(共6页) 命题:培优联盟高考研究院 审题:宁国中学 高莹 、当涂一中 秦启龙 制卷:等高教育 第4页(共6页) 二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。) 9.对任意实数x,y,下列结论正确的有 A.sin5π2 +x =cos(5π+x) B.2x·2y =2x+y C.sin x ≥x- 1 2x 2 D.2x·x+2y·y≥2x·y+2y·x 10.已知 △ABC 的外接圆 ☉O 的半径为1,则 A.若 ∠BOC=120°,则 ∠BAC=60° B.BA→·BC→ 的最小值为- 1 2 C.AB2+BC2+CA2 的最大值为9 D.若AB2+BC2+CA2 >8,则 △ABC 为钝角三角形 11.已知f(x)=x(1-ln x),g(x)= x2-ex 1-e ,则 A.对任意正实数m,总存在正实数n,使得f(n)=g(m) B.对任意m ∈ (0,1), f(m)>g(m) C.对任意m ∈ (1,e)∪ (e+∞),f2(m)<g2(m) D.若f(m)=f(n)(m ≠n),则m+n<e (在此卷上答题无效) 考生注意事项: 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上∙∙∙∙∙ 作答,在试题卷上答题无效 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 。 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分。) 12.若 ☉C:x2+y2-2x-2y=0在(2,0)处的切线也是曲线y=ln(x+a)的切线,则a= . 13.等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S985=S211+387,则S1196= . 14.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B的坐标分别为(3,0),(10,0),点P为抛物线Γ:y2=4x 上的动点,当 ∠APB 取最大值时,点P 的横坐标为 . 四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(13分) 双曲线Γ 经过点M -5, 16 3 ,N 154,3 ,直线l:y=kx+m 与双曲线Γ 交于P,Q 两点. (1)求双曲线Γ 的方程; (2)若A 为双曲线Γ 的左顶点,点G(0,4)为 △APQ 的重心,求k的值. 命题:培优联盟高考研究院 审题:宁国中学 高莹 、当涂一中 秦启龙 制卷:等高教育 第5页(共6页) 命题:培优联盟高考研究院 审题:宁国中学 高莹 、当涂一中 秦启龙 制卷:等高教育 第6页(共6页) 16.(15分) 设n,k为正整数,将n个小球投入k个箱子,每个小球可以进入任意一个箱子,进入每个箱子 的概率相等,在投掷n个小球后,第i(i=1,2,…,k)个箱子内的小球数量为ai,此时a1+a2 +…+an =n. (1)设n=4,k=4,求a1=0的概率; (2)设k=4,求a1a2a3=0的概率pn. 17.(15分) 如图,在正三棱柱ABC A1B1C1 中,AA1=AB=2,M 为BC 的中点,N 为棱CC1 上的动点, 第17题图 连接AN,MN,A1N. (1)若 ∠A1NM =90°,求CN; (2)记二面角M AN C 的大小为θ,求tan θ 的最小值. 18.(17分) 已知数列{an}的任意一项均为正整数,当an 为偶数时,an+1= 1 2an ;当an 为奇数时,an+1= 1 2 (3an +1). (1)若a1=1024,求∑ 2025 i=1 ai的值; (2)若a1,a2,…,a10 均为奇数,求a1 的最小值. 19.(17分) 设a∈R,函数f(x)=x3-2ax2+(2a-3)x+1. (1)证明: f(x)有2个极值点; (2)记f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,若x1 <x2 <x3,求证:(1-x1)·x2 为定值. 培优联盟2025春季联赛高二数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D B B D A BCD BC BCD 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.B 提示：局部求和可得三+1=-2i,即，2=-21. 1+z 1+z 2.D提示：由(3a+45)11(a-可知a/i 3.C 提示：P0<X<2)=P2<X<4=P0<X<4 2 4.C 提示： sin(B-C)tan B-tan C sin(B+C)tan B+tan C 5.B 提示： 记Sn=k,则+32+53+…+192=5。-85， 6.B 提示：因为1>0，f(x+)>f(x),所以函数f(x)在(-o,+o)上单调递增， 7.D提示：记k=abc,则当a=i1=0,L,2.…,9)时，b+c=9-i,故满足f(k)=9(0≤k≤999)的自然数k 共有∑10-)=55. 8.A 提示：记直线2x-y+k=0(k=1,2,…,25)与x+y-1=0(1=1,2,…,19)的交点坐标为 ?,斗行·满足10仁太+十1=0的数组化，0共有7组，放m=25+19-7卫 33 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BCD 由诱导公式可知sin(3 +x)=COsx,cos(5π+x)=-cosx,故选项A不正确， 2 由指数运算法则可知选项B正确； 记f(x)=sinx-x+ 了)=c0sx+x-1,由f)=1-sinx之0可知f国)=c0sx+-1在 单调递增，所以x≥0，f(x)≥f(0)=0,x≤0，f(x)sf(0)=0,所以函数f(x)=sinx-x+二x2在(-o,0) 上单调递减，在(0，+o)上单调递增，故xeR,f(x)≥f(O)=0,即C选项正确， 由(2-2)x-y)≥0可得2·x+2”·y≥2·y+2”·x,故D选项正确. 10.BC 由∠BOC=120°可得∠BAC=60或∠BAC=120°，故选项A不正确： :C-0-0丽1-0C-0丽--0丽+0C-O+0丽+0C+O丽2-， 2 故选项B正确， 选项C正确，理由如下： AB2 +BC2+C42=4(sin2 A+sin2 B+sin2C)=6-2(cos 24+cos2B+cos 2C) cos2A+cos2B+cos 2C=2cos(4+B)cos(A-B)+cos2(A+B)=2cos2(A+B)+2cos(A+B)cos(A-B)-1 cos24+cos2B+cos2C=2(cos(4+B)+cos(A-B)cos(A-B)-1 2 Cc0s(+B+c0s(B)+cs(-B+c0(-B) 当A=B=C=时，AB2+BC2+C?取到最大值9. 选项D不正确，理由如下： 不妨设A为最大的内角，则 cosA=B+AC2-BC+BC+AC-2BC2 82BC2 4-BC2 之0 2AB.AC 2AB.AC 2AB,ACAB·AC 故A为锐角，即△ABC为锐角三角形. 11.BCD 由f(x)=-lnx可知，f(x)在(0，)上单调递增，在(1，+o)上单调递减，fx)x=f)=1. 由g)-2。可知，g)在Q上单调递增，在（分国）上单调遥减，8=/宁4) e2 1-e 因为函数f(x)的值域为函数g(x)值域的真子集，所以A选项不正确. 注意到f()=g)=1,f(e)=g(e)=0,由函数的凸性可知， x∈(0，)，0<g(x)<fx)<1:rel,e),0<f(x)<g(x):x∈(e,+o),g(x)<fx)<0: 故选项B,C均正确。 记f(m)=f()=k,则存在，，使得g(:)=g(2)=k, 此时m+n<x+2=e,故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-1 提示：⊙C:x2+y2-2x-2y=0在(2,0)处的切线为y=x-2,故直线y=x-2-a与y=lnx相切. 13.598 提示：S-S1=74.22=774.4+4s=387,所以4+41%=1，故S%=598. 2 2 14.5 提示：设点P的坐标为(，21)，由对称性不妨设t>0,记直线PA,PB的倾斜角分别为a,B,则 2-3'anB= 21 21 tan a = 2-10 由外角定理可知 ∠APB=B-a, 所以 tan∠APB=tanB-tana 14 14 1+tan a tan B-9r2+30(t2-5)2,,5 +1+ 51 当1=5时，an∠APB取到最大值5 又tan∠APB>0,∠APB∈(0,2， an∠APB最大时，∠APB最大 故当∠APB取到最大值时，点P的横坐标为5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)设双曲线Γ的方程为x2+y2=1(4<0),将M,N两点坐标代入方程可得 25+16 =1, (i) 152 +94=1， (ii) -3分 16 由(i)(ii)可得 λg,4=、/ -5分 16 故双曲线Γ的方程为是卫 --—6分 916 (2)因为A为双曲线T的左顶点，所以A的坐标为(-3,0)， 设PQ的中点为M,则由点G(0,4)为△APQ的重心可知， c -8分 进一步有 0M=30G-10A, 2 2 所以点M的坐标为号0， -10分 国为+2.6+型-手含-手吾-0， 一12分 9 16 916 路号语方司 4 -13分 91 16.(15分) (1)将4个小球投入4个箱子，共有44种等可能的情形，若a,=0,则要求4个小球不能投到第1个箱子， 故概率为3.81 45256 一5分 (2)记a,=0i=1,2,3)为事件4，则aa243=0对应事件4+43+4， -7分 P4+高+A)-∑P4)-P44)-P44)-P44)+P444), 一11分 P4-=2P4=64=P44-=等P466=13分 所以P4+4+)=3-3-2+1 4” 故Pn= 31-3.2”+1 40 —-15分 17.(15分) (1)记C⑦=C,C=C,则L为CA的中点，连结BL,MK,则BL⊥平面4CC4,且MK1/BL, 所以MK⊥平面ACCA4,故点K为M在平面ACCA内的射影，MN在平面ACC4内的射影为NK,由 ∠ANM=90可知，AN⊥NK,所以△CNK-△C,AN,进一步有CN.CN=CK.CA,即 CN(2-CN)=1,解得CN=1. —一——6分 (2)记M在AN上的射影为T,连结KT,MT,则∠KTM为二面角M-AN-C的平面角， 设CN=x0<x2,则MW=P+i,AN=P+4,MT=B2+D -9分 Vx2+4 sina=Mk、 +4 5x5 5 -13分 MT 22+1 cos= 22+12,1+ 故当x=2时，m8取到最小值为y -15分 3 18.(17分) (1)当ne{孔，2，1时，a,=1024-(y 当n212,且n为偶数时，a=2: 当n≥12，且n为奇数时，an=1: 4分 故24-24+4=2-1+202-山x3-5068. 2 (2)若a,4,…，ao均为奇数，则 1 当ne礼2,10时，a1=2Ba+0,即 ——一9分 3 a+1=。(an+l) 2 所以 +1=a+-, -12分 所以ne礼，2,103，(a+)-存y均为偶数， 一14分 所以4+1的最小值为20， --16分 故a的最小值为1023. 一一一17分 19.(17分) (1)f'(x)=3x2-4ar+2a-3, 一1分 f'(x)的判别式△=4[4a2-32a-3]=4(4a2-6a+9)=12a2+4a-3)2>0 故f(x)有两个不等根m.n(m<n) -一一4分 当x∈(-0，m)时，f(x)>0,f(x)单调递增 当x∈(m,n)时，f(x)<0,f(x)单调递减 当x∈(n,+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增 故f(x)有m与n两极值点 一7分 (2)由f(0)=1,f0)=-1可知f(x)有一个零点在区间(0，)内， 一9分 又因为0-马=-四，所以当x=1为函数)的零点时， 1和也是函数田的零点， ---13分 因为5<西<6·所以飞e@,者1方0.与 11 —16分 故1-)x2=1为定值. ——17分