精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县第一中学等校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册6.1到7.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（ ） A. B. C. D. 2. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 3. 若随机变量X满足，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机事件A，B满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 除以80的余数为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 8. 一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 的公差 B. C. D. 10. 若函数有极值，则a的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 从0，1，2，3，4，5中任选4个不同的数字组成一个四位数，则下列说法正确的是（ ） A. 这样的四位数有300个 B. 若这个四位数是偶数，则这样的四位数有156个 C. 若0，1被选中，且0，1不相邻，则这样的四位数有72个 D. 若这个四位数的个位、十位和百位上的数字之和为偶数，则这样的四位数有144个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且事件与相互独立，则________. 13. 若，则________，________.（结果用数字表达） 14. 某校举办奥运知识竞赛，比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运会成绩”两个板块，每个板块4个题目，每位参加比赛的同学从两个板块中各随机抽取2题回答，累计至少答对3题者获得奖品一份.已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国历届奥运会成绩”板块中每题的概率均为，且回答每题相互独立，则甲同学获得一份奖品的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目. （1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数； （2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数； （3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数. 16. 将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. （1）求的分布列； （2）求的概率. 17. 已知为等差数列，是公比为3的等比数列，且，. （1）证明：. （2）若，求数列的前n项和. 18. 数据显示，中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. （1）估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数. （2）为了进一步了解用户在工作中使用AI大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为X，求X的分布列和期望. 19. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）讨论的单调性； （3）若在上有个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册6.1到7.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由表可得，故, 故选：C 2. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案. 【详解】依题意，不同的选法为. 故选：B 3. 若随机变量X满足，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质即可求解. 【详解】, 故选：D 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导数几何意义及点斜式即可求解直线方程. 【详解】，故，， 故切线方程为，即， 故选：D 5. 已知随机事件A，B满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率和条件概率的计算公式即可求解. 【详解】, 故. 故选：D 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式通项即可求解. 【详解】展开式通项为， 因为要求的指数为， 所以，所以， 所以系数为. 故选：A. 7. 除以80的余数为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】,由于且能被80整除， 所以除以80的余数为9， 故选：C 8. 一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】所有路线共有，去掉经过再到达的，即可求解. 【详解】移动6次到达,则需要向右移动3次，向上移动3次， 故总的方法有种， 若经过再到达，需要先从原点到，再从到， 此时共有种， 故蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法共有种， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 的公差 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列前项和结合等差数列的性质由，可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由，由于，故，因此，A正确， ，B错误， ，C错误， 由于，故，故是中最大的先，故，D正确， 故选：AD 10. 若函数有极值，则a的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据有两个不相等实数根，即可根据判别式求解. 【详解】, 若有极值，则有两个不相等实数根， 则，则， 故AD符合，BC不符合， 故选：AD 11. 从0，1，2，3，4，5中任选4个不同的数字组成一个四位数，则下列说法正确的是（ ） A. 这样的四位数有300个 B. 若这个四位数是偶数，则这样的四位数有156个 C. 若0，1被选中，且0，1不相邻，则这样的四位数有72个 D. 若这个四位数的个位、十位和百位上的数字之和为偶数，则这样的四位数有144个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据排列组合，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，符合条件的四位数有个，A正确， 对于B，符合条件的奇数有,故偶数有个，B正确， 对于C，先从剩下4个数字选择两个数字，共有，若1在千位，则剩余数字的排列有种， 若1不在千位，则有，故总的四位数有，C错误， 对于D，若千位为1，3，5时，且个位、十位和百位上的数字均为偶数，此时有种， 若千位为1，3，5时，且个位、十位和百位上的数字有一个位置为偶数，另外两个位置的数字为奇数，此时有种， 若千位为2或4时，个位、十位和百位上的数字有一个位置为偶数，另外两个位置的数字为奇数， 此时有种，故符合条件的四位数共有，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且事件与相互独立，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式可得，即可利用并事件的概率性质求解. 【详解】由于事件与相互独立，故， , 故答案为：0.72 13. 若，则________，________.（结果用数字表达） 【答案】 ①. 1 ②. 2047 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】令，则， 再令，得， 故， 故答案为：1，2047 14. 某校举办奥运知识竞赛，比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运会成绩”两个板块，每个板块4个题目，每位参加比赛的同学从两个板块中各随机抽取2题回答，累计至少答对3题者获得奖品一份.已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国历届奥运会成绩”板块中每题的概率均为，且回答每题相互独立，则甲同学获得一份奖品的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式,分类即可求解. 【详解】记为答对的题目数，则 ； ， 故获得奖品的概率为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目. （1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数； （2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数； （3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数. 【答案】（1）720 （2）36 （3）630 【解析】 【分析】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解， （2）（3）根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解. 【小问1详解】 将3个女生看作一个整体与另外4名男生全排列，则有种方法， 【小问2详解】 第一步：从4名男生中选2个人双打有，第二步：从3名女生中选择2个人双打有，第三步：从剩下的2男中选择1个与剩下的1名女生组成混双有种，故总的方法有， 【小问3详解】 若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，则总的安排方法有 16. 将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. （1）求的分布列； （2）求的概率. 【答案】（1）分布列为 3 4 5 6 7 8 （2）【解析】 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率. 【小问1详解】 由已知可得随机变量的可能取值有：3，4，5，6，7，8， 所以，，，， 所以分布列为 3 4 5 6 7 8 【小问2详解】由（1）得. 17. 已知为等差数列，是公比为3的等比数列，且，. （1）证明：. （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明如下： 设等差数列的公差为， 则， 故， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可求证， （2）根据错位相减法求和即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得，故， ，故，所以， 故， 所以， 故， 两式相减可得 故， 所以 18. 数据显示，中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. （1）估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数. （2）为了进一步了解用户在工作中使用AI大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为X，求X的分布列和期望. 【答案】（1）. （2）①. ②. 【解析】 【分析】（1）先计算各组累积频率，确定第60百分位所在位置，利用百分位数的计算公式，代值计算即可求出中国AI大模型用户年龄的第60百分位数． （2）先计算用户年龄在每组数据的人数， 在计算样本个数：各层抽取个数＝抽取比例各层个数，即可分别求出抽取的7名用户中年龄在内的人数．①利用古典概型的概率公式，可求出年龄在内的用户都没有获得幸运大礼的概率，进而可求出至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；②利用超几何分布的概率公式：，（其中：N表示总体容量，M表示总体中成功事件的个数，表示样本容量，表示样本中成功事件的个数），可分别求出X 所有可能取值的概率，即可得到X的分布列及期望. 【小问1详解】 计算各组累计频率：， ， ，， 所以两组频率之和是， 两组频率之和是， 所以该组数据的第60百分位数一定在之间， 所以该组数据的第60百分位数为， 所以中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40. 【小问2详解】 计算用户年龄在每组数据的人数： （人），（人）， （人），（人）， （人），所以年龄在内的用户共（人）， 即抽层比例，所以选取的7名用户中，年龄在内的人数为（人）， 年龄在内的人数为（人）， 公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. 所以年龄在内的用户没有获得幸运大礼的概率为, 所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为, ②根据题意可知X的所有可能取的值为，，，，则， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 19. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）讨论的单调性； （3）若在上有个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增 （3）. 【解析】 【分析】（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，即可直接求出的取值范围； （2）利用导数直接分类讨论，分析导函数的正负，即可得到含参函数的单调性； （3）由（2）中单调性，首先排除，故，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求出恒成立，所以只需满足，求出结果即可. 【小问1详解】 依题意得对恒成立， 即对恒成立， 所以，即的取值范围是. 【小问2详解】 由题知，的定义域为， 又， 当时，在上单调递增. 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递增， 则在上至多有个零点，则不符合题意. 当时，要使得在上有个零点， 则，即， 且， 设函数， 则， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以. 由，得. 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $