精品解析：黑龙江省鸡西市文成中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2024——2025年度第二学期月考试题 高一数学 考试时间：150分钟试卷 分值：150分 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若中，角的对边分别为若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理直接求解. 【详解】在中，由及余弦定理，得. 故选：B 2. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的概念求得答案. 【详解】复数的虚部是. 故选：A 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解. 【详解】由题在上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的条件直接求得. 【详解】因为向量，且， 所以，解得：. 故选：B 5. 已知向量，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 ，因为 ，所以夹角为 故选：A 6. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状. 【详解】因为，所以由余弦定理得， 所以，所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 7. 在△ABC中，D为BC上一点，E为线段AD的中点，若2＝，且＝＋，则x＋y＝（ ） A. － B. － C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，而E为线段AD的中点，则，由三角形法则可知，，又因为2＝，所以，然后等量代换，可用表示出，从而可求出的值 【详解】解：由图可知，， 因为E为线段AD的中点，所以， 因为2＝，所以， 所以 因为＝＋，所以， 所以， 故选：B 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理和平面向量的加法法则，属于基础题 8. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决眦入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（ ） A. km B. km C. km D. km 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AC和∠ACB的正余弦，利用余弦和差公式求出∠ACD的余弦值，进一步根据余弦定理求出AD，从而得到答案. 【详解】连接AC， 设， 在△ACB中，AB=4，BC=5, ，所以AC= 所以, 所以cos= 所以 多以. 故选：A. 【点睛】本题考查利用余弦定理解决实际问题的知识点，考查计算能力，属于比较常见的题型. 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是边的中点 B. 若，则是的垂心 C. 若，则是的重心 D. 若，则动点过的内心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D. 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：ACD 10. 已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z的模等于13 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. z的共轭复数为 D. 若是纯虚数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为，位于第四象限，故B正确； 对于选项C：根据共轭复数的定义z的共轭复数为，故C错误； 对于选项D：，若是纯虚数，则，解得：，故D正确. 故选：BD 11. 在中，若，下列结论中正确的有（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可. 【详解】根据正弦定理由，因此选项A正确； 设，所以为最大角， ，所以为锐角，因此是锐角三角形，因此选项B不正确； ，显然为锐角， ， 因此有，因此选项C正确； 由， 外接圆的半径为：，因此选项D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键. 第II卷（非选择题） 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 可知. 13. 已知向量，，．若，则__． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，求出向量的坐标，再借助向量共线的坐标表示计算作答. 【详解】向量，，，则， 因，则有，解得， 所以. 故答案为：5 14. ________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用的性质计算可得答案. 【详解】∵，∴， 则，故原式． 故答案为：. 四､解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 【答案】（1） 证明：由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 16. 已知复数，． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复数的类型得到方程和不等式，得到m的值； （2）由题意得到方程，求出m的值； （3）由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出m的取值范围. 【小问1详解】 若z是纯虚数，则， ∴，则m的值为1； 【小问2详解】 若z在复平面内对应的点在直线上， 则，解得 【小问3详解】 若z在复平面内对应的点在第四象限，则， ∴，则m的取值范围为． 17. 在三角形中，，，分别为角，，所对的边，且三角形的内角均不为钝角，若向量，，且. （1）求； （2）若，且，求，的值. 【答案】（1）；（2），或，. 【解析】 【详解】分析：（1）由两向量的坐标，根据两向量垂直，列出关系式求解即可； （2）利用余弦定理即可. 详解：（1）∵，∴，由正弦定理得， ∵，∴，∴锐角. （2）当时，由余弦定理，得. 解得：，即，或，. 18. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 19. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，. （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理角化边得，进而可求； （2）由面积公式可得，由正弦定理角化边得，代入，从而可求，进而可求，从而可求. 【小问1详解】 根据余弦定理可得，，则， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又的面积为，所以，即， 因为，结合正弦定理可得， 又，所以，解得， 所以， 所以，即， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025年度第二学期月考试题 高一数学 考试时间：150分钟试卷 分值：150分 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若中，角的对边分别为若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 5. 已知向量，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 在△ABC中，D为BC上一点，E为线段AD的中点，若2＝，且＝＋，则x＋y＝（ ） A. － B. － C. D. － 8. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决眦入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（ ） A. km B. km C. km D. km 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是边的中点 B. 若，则是的垂心 C. 若，则是的重心 D. 若，则动点过的内心 10. 已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z的模等于13 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. z的共轭复数为 D. 若是纯虚数，则 11. 在中，若，下列结论中正确的有（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆的半径为 第II卷（非选择题） 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，则__________. 13. 已知向量，，．若，则__． 14. ________． 四､解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 16. 已知复数，． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 17. 在三角形中，，，分别为角，，所对的边，且三角形的内角均不为钝角，若向量，，且. （1）求； （2）若，且，求，的值. 18. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 19. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，. （1）求的值； （2）若，求的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $