精品解析：甘肃省甘南藏族自治州合作藏族中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

合作藏中2023-2024学年度第二 学期期末考试 高一数学 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，所以. 2. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把平方，结合数量积的运算律化简即得解. 【详解】由，可得，则， 可得，解得. 故选：C. 3. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率． 【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下： 甲 乙　 锤 剪子 包袱 锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱) 剪子 (剪子，锤) (剪刀，剪子) (剪子，包袱) 包袱 (包袱，锤) (包袱，剪子) (包袱，包袱) 因为由表格可知，共有9种等可能情况． 其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)． 设为“甲和乙平局”，则，故选A． 【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件． 4. 《算数书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式相的中当于将圆锥体积公式中的近似取（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用表示出圆锥的底面半径，得出圆锥的体积关于和的式子，令，能解出的近似值． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长， ∴， ∴. 令， 解得. 故选：C 5. 已知是方程的一根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，，切化弦得：，解得： ，从而得，又，代入计算即可. 【详解】由题意，，则，得，得，所以，所以. 故选：C 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题. 6. 已知向量，其中，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标求模得方法，用表示，然后利用三角函数分析的最小值 【详解】因为， 所以， 因为，所以，故的最小值为. 故选A 【点睛】本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值 7. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D. 考点：正四棱柱的几何特征；球的体积. 8. 在中，，，其面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ） A. 可以排成9个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为 C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于400的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果. 【详解】随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确； 其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为 ，故B正确； 其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确； 其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确. 故选：BD 10. 在中，，，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项. 【详解】，， ，，所以选项A，B错误； ， ①， 又②， 联立①②解得，，故选项C，D正确， 故选：CD. 【点睛】本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题. 11. 如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 存在点E，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对A,根据中位线的性质判定即可. 对B,利用平面几何方法证明再证明平面即可. 对C,根据与平面有交点判定即可. 对D,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可. 【详解】在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确; 在B中,因为,,故, 故.故,又有, 所以平面,故B正确； 在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误. 在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 设，向量，若∥，则_______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件列式即可求解. 【详解】因为，∥，所以， ，因为，，所以． 故答案为：0.5. 13. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则角的值为___________. 【答案】##60° 【解析】 【分析】由余弦定理变形可后求得角． 【详解】由得， ，是锐角，所以． 故答案为：． 14. 甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为__________. 【答案】0.34 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【详解】设甲，乙两人击中飞碟为事件，依题意，，相互独立， 所以所求事件概率为 . 故答案为：0.34 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，与的夹角是. （1）求的值及的值； （2）当为何值时，？ 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得； （2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解． 【小问1详解】 ∵，与的夹角是， ∴， ； 【小问2详解】 由题意，， 即， 解得， 即时，. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小 （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将已知关系式化边为角，可得C的正切，进而可求角C； (2)由三角形面积公式及角C可得，进而由余弦定理整体得的值解决问题. 【小问1详解】 由正弦定理可得：, , , , , . 【小问2详解】 由三角形面积可知：, ， 由余弦定理可知： , 解得：， 所以三角形的周长为：. 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，．求证： （1）AD∥平面PBC； （2）平面PBC⊥平面PAD． 【答案】（1） ∵BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD=AD，∴BC∥AD． ∵AD平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC． （2） ∵PA=PB=AB，满足PA2＋PB2=AB2，∴PA⊥PB． 由∠ABC=90°知BC⊥AB． 又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥平面PAB． 又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA． 又∵PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴PA⊥平面PBC． 又∵PA⊂平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理得线线平行，再由线面平行判定定理得结论； （2）由线面垂直得线线，然后又由线线垂直得线面垂直，从而证得面面垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据： 处罚金额（单位：元） 50 100 150 200 迟到的人数 50 40 20 0 若用表中数据所得频率代替概率. （Ⅰ）当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？ （Ⅱ）将选取的200人中会迟到的员工分为，两类：类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；类是其他员工.现对类与类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类员工的概率是多少？ 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据表格中的数据，得到，即可得到结论； （Ⅱ）设从类员工抽出的两人分别为，，设从类员工抽出的两人分别为，， 设“从类与类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件，列举出基本事件的总数，利用古典概型的概率计算，即可求解． 【详解】（Ⅰ）设“当罚金定为100元时，迟到的员工改正行为”为事件，则， 不处罚时，迟到的概率为：. ∴当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低. （Ⅱ）由题意知，类员工和类员工各有40人，分别从类员工和类员工各抽出两人， 设从类员工抽出的两人分别为，，设从类员工抽出的两人分别为，， 设“从类与类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件， 则事件中首先抽出的事件有，，，，，共6种， 同理首先抽出，，的事件也各有6种，故事件共有种， 设“抽取4人中前两位均为类员工”为事件，则事件有，，，共4种， ∴， ∴抽取4人中前两位均为类员工的概率是. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算与应用，其中解答中认真审题，合理利用表格中的数据，以及利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 19. 已知向量（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），函数． （1）若，，求的值∶ （2）若，，，，求2a+β的值．． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示求解出的解析式，再运用三角函数的关系求解即可； （2）根据三角函数和差公式，由已知的三角函数值求解角度即可. 【详解】解:（1） 由，可得，由，得，， 则； （2）由可得，由可得， 则， 由，，可得cosβ>0， 由，可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合作藏中2023-2024学年度第二 学期期末考试 高一数学 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 2. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 4. 《算数书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式相的中当于将圆锥体积公式中的近似取（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一根，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，其中，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 7. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 A. B. C. D. 8. 在中，，，其面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ） A. 可以排成9个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为 C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于400的概率为 10. 在中，，，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 存在点E，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 设，向量，若∥，则_______． 13. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则角的值为___________. 14. 甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，与的夹角是. （1）求的值及的值； （2）当为何值时，？ 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小 （2）若，的面积为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，．求证： （1）AD∥平面PBC； （2）平面PBC⊥平面PAD． 18. 某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据： 处罚金额（单位：元） 50 100 150 200 迟到的人数 50 40 20 0 若用表中数据所得频率代替概率. （Ⅰ）当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？ （Ⅱ）将选取的200人中会迟到的员工分为，两类：类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；类是其他员工.现对类与类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类员工的概率是多少？ 19. 已知向量（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），函数． （1）若，，求的值∶ （2）若，，，，求2a+β的值．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $