精品解析：重庆市云阳县盛堡初级中学等2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

云阳县初二中集团2025年春季八年级中期定时作业 数学试卷 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中是分式的是（ ）． A. B. C. D. 2 2. 已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 3. 当有意义时，a的取值范围是（ ） A. a≥2 B. a＞2 C. a≠2 D. a≠－2 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 顺次连接矩形各边中点得到四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 既是矩形又是菱形的四边形不一定是正方形 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6. 若关于x轴对称的点是，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间 8. 岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点千米和千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍．乙同学比甲同学提前分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，F为边上一点，连接，，若，，则一定等于（ ） A B. C. D. 10. 若，任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_____． 12. 若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是________． 13. 已知，则的值为______ 14. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝_____°． 15. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为___________． 16. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知DE＝5，AB＝8，则BF＝___． 17. 若关于分式方程的解为非负数，且关于的一元一次不等式组至少有两个正整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是___________；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是___________． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，是对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证四边形是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）． 证明：∵垂直平分， ∴． 又∵四边形平行四边形， ∴①________ ∴． 在和中， ②________ ∴， ∴③________ ∵垂直平分， ∴，④________ ∴， ∴四边形是菱形． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）的面积为______； （3）在轴上确定一点，使的周长最小，并直接写出点坐标．（注：不写作法，只保留作图痕迹） 23. 如图，在四边形中，与相交于点O，且，点E在上，且 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 24. 如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为100海里．一货船由码头A出发，此时测得码头B在南偏西方向． （1）那么码头A与小岛C距离；（结果保留根号）． （2）货船在小岛C处准备返回码头B时发生故障，在原地等待救援，补给船从点出发，以每小时海里的速度沿射线方向前往进行补给，一艘救援船在码头A的正东方向和小岛C的南偏东方向D处以每小时60海里的速度沿射线方向前往进行救援，请通过计算说明救援船能否在补给船到达之前赶到小岛C．（参考数据：，，） 25. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕． （1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分别为多少元？ （2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值． 26. 如图，平行四边形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且ABE＝CDG＝FDG． （1）A＝45°，ADF＝75°，，求线段BC的长； （2）求证：AB＝BFDF ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云阳县初二中集团2025年春季八年级中期定时作业 数学试卷 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中是分式的是（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】题考查分式的定义，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式． 【详解】解：A. 是整式，不是分式，故A不符合题意； B. 是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意； C. 分母含有字母，是分式，故C符合题意， D. 是整数，不是分式，故D不符合题意； 故选：C． 2. 已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形． 【详解】∵（a-6）2≥0，≥0，|c-10|≥0， ∴a-6=0，b-8=0，c-10=0， 解得：a=6，b=8，c=10， ∵62+82=36+64=100=102， ∴这个三角形是直角三角形． 故选D． 【点睛】本题主要考查了非负数性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点． 3. 当有意义时，a的取值范围是（ ） A. a≥2 B. a＞2 C. a≠2 D. a≠－2 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0， 解得：a≥2， 根据分式有意义的条件：a﹣2≠0， 解得：a≠2， ∴a＞2． 故选B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误； 故选B． 【点睛】考点：1．同底数幂的除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．负整数指数幂；4．二次根式的性质． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 既是矩形又是菱形的四边形不一定是正方形 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用矩形的判定方法及性质、正方形的判定、直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C．既是矩形又是菱形的四边形一定是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故原命题正确，是真命题，符合题意； 故选：D． 6. 若关于x轴对称的点是，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，，从而得解． 【详解】解：点关于x轴对称的点是， ，， 解得：，， 的坐标是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 7. 估计的值应在（ ） A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，先利用二次根式的混合运算求出，估算出，即可得解． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：B． 8. 岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点千米和千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍．乙同学比甲同学提前分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意并找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键． 设乙同学的速度是千米/小时，则甲同学的速度为千米/小时，根据题意乙同学比甲同学早到分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是千米/小时，则甲同学的速度为千米/小时， 甲同学所花时间为小时，乙同学所花时间小时， 乙同学比甲同学提前分钟小时达到活动地点， 得：． 故选：B． 9. 如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，F为边上一点，连接，，若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明； 连接，根据菱形的性质证得，，进而得到，证明，得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，E点在对角线上， ， ∴， ， ∴ ∵ ∴A，E，C三点共线∶ 在和中 ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴． 故选：C． 10. 若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的应用，二元一次方程的正整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据绝对值应用及二元一次方程的正整数解逐一排除即可． 【详解】解：，， ∴，故正确； 若，为正整数， 则，，，， ， ， ∴所有操作结果的和为， ∵为正整数， ∴， 解得，不符合题意，故错误； 由，， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴，整理得：， ∴或或， ∴或或， ∴或或，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_____． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用二次根式、立方根、绝对值的性质分别化简，再计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，利用二次根式、立方根、绝对值的性质分别化简是解题的关键． 12. 若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是________． 【答案】六##6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和．根据任意多边形的外角和都是360度求解即可． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数是六． 故答案为：六． 13. 已知，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据所给式子的特征，得到，结合，求出，继而得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，分式有意义的条件，解题的关键是根据互为相反数的两个数作为被开方数求出x值． 14. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝_____°． 【答案】22． 【解析】 【分析】根据菱形的性质可求出∠DBC和∠BCA度数，再根据线段垂直平分线的性质可知∠ECB＝∠EBC，从而得出∠ECA＝∠BCA﹣∠ECB度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝34°． ∠BCA＝∠DCO＝90°﹣34°＝56°． ∵EF垂直平分BC， ∴∠ECF＝∠DBC＝34°． ∴∠ECA＝56°﹣34°＝22°． 故答案为22． 【点睛】本题考查了菱形的性质及线段垂直平分线的性质，综合运用上述知识进行推导论证是解题的关键． 15. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为、的中点，， ∴， ∵，D为的中点，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 16. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知DE＝5，AB＝8，则BF＝___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据翻折的性质以及勾股定理先求出CF的长度，然后设BF的长度，同样利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°， ∴△ABF和△CEF均为直角三角形， 根据翻折的性质，DE=FE=5， ∴CE=CD-DE=8-5=3， 在Rt△CFE中，， 即：， 解得：， 设，则， ∴， 由翻折的性质可知，AD=AF， ∴， 在Rt△ABF中，， 即：， 解得：， ∴BF=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的翻折问题，理解矩形的基本性质，翻折的基本性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 17. 若关于的分式方程的解为非负数，且关于的一元一次不等式组至少有两个正整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及其整数解，解分式方程及其解的问题，熟练掌握相关解法是解题关键． 先解分式方程，根据其解的情况得的不等式，再解不等式组，根据解的情况得到关于的不等式，进而求出的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：分式方程， 解得， 该分式方程的解为非负数， ，且， 解得：且， 解不等式组，得， 该不等式组至少有两个正整数解， ， 解得：， 且， 整数为，，， 所有整数的和为． 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是___________；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是___________． 【答案】 ①. 8354 ②. 6213 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：是“和方数”， ， 解得：， 这个数是8354； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：8354；6213． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及分母有理化，先通分括号内，再运算除法，得，再把代入，即可作答． 【详解】解： 把代入 得 21. 如图，在中，是对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证四边形是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）． 证明：∵垂直平分， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴①________ ∴． 在和中， ②________ ∴， ∴③________ ∵垂直平分， ∴，④________ ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）分别以点B，D为圆心，以大于为半径画弧，分别交于两点，在过两点作直线，交于点O，交于点E，交于点F，连接，； （2）先确定，再根据平行四边形的性质得，进而得出，根据“”得出，可得，然后根据线段垂直平分线的性质得，，最后根据“四条边相等的四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 如图所示． 【小问2详解】 ∵垂直平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）的面积为______； （3）在轴上确定一点，使的周长最小，并直接写出点坐标．（注：不写作法，只保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）4 （3）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数确定出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 点P即为所求；设交y轴于Q，取，连接，利用进行求解即可． 小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：的面积； 故答案为：； 【小问3详解】 解：作点关于轴对称点，连接交轴于点， 点P即为所求；设交y轴于Q，取，连接， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，与相交于点O，且，点E在上，且 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证 得 再由即可得出结论; （2）由等腰三角形的性质得则平行四边形是菱形，再由勾股定理求出 则 即可得出答案. 【小问1详解】 证明:∵， ∴， 在和 中, ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ， ∴平行四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴菱形的面积 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质 以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键. 24. 如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为100海里．一货船由码头A出发，此时测得码头B在南偏西方向． （1）那么码头A与小岛C距离；（结果保留根号）． （2）货船在小岛C处准备返回码头B时发生故障，在原地等待救援，补给船从点出发，以每小时海里的速度沿射线方向前往进行补给，一艘救援船在码头A的正东方向和小岛C的南偏东方向D处以每小时60海里的速度沿射线方向前往进行救援，请通过计算说明救援船能否在补给船到达之前赶到小岛C．（参考数据：，，） 【答案】（1）码头A与小岛C距离为海里 （2）救援船不能在补给船到达之前赶到小岛C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题 （1）过C作于E，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 过C作于E，如图： 则， 由题意得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设海里，则海里， 在中， ∴（海里）， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即， 答：码头A与小岛C距离为海里； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵海里， ∴海里， ∴救援船所用时间为（小时），补给船所用时间为（小时）， ∵， ∴救援船不能在补给船到达之前赶到小岛C． 25. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕． （1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分别为多少元？ （2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值． 【答案】（1）“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元 （2）2 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出方程组，求解即可． （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据题意，得 ， 解得：， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴的值为2． 26. 如图，平行四边形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且ABE＝CDG＝FDG． （1）A＝45°，ADF＝75°，，求线段BC的长； （2）求证：AB＝BFDF ． 【答案】(1)2；(2)详见解析 【解析】 【分析】（1）设DF交BC于点N，根据平行四边形的性质得到CDG＝FDG=30°，过点G作GH⊥CD于H得到 HG=HC，设HG=x，则HC=x，DG=2x，求出DH=x，根据，得到x+x=3+，求出x=，再利用勾股定理求出CG=即可求出答案； （2）过点C作CP⊥DG于M，交DF的延长线于点P，过点B作BQ⊥DG于Q，连接BP，证明△CMD≌△PMD，得到CD=PD，证明GM是△BCP的中位线，得出∠DPC+∠BPF=90°，根据四边形BQMP是矩形，证得∠PBF=∠BPF，得到BF=PF，由此得到结论. 【详解】（1）设DF交BC于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C=∠A＝45°，AD∥BC， ∴∠DNC=ADF＝75°， ∴∠CDN=60°， ∵CDG＝FDG, ∴CDG＝FDG=30°， 过点G作GH⊥CD于H，则∠GHD=∠GHC=90°， ∴∠HGC=45°， ∴HG=HC， 设HG=x，则HC=x，DG=2x， ∴DH=x， ∵， ∴x+x=3+， 解得x=， ∴CG=, ∵点G是线段BC的中点， ∴BC=2CG=2； （2）过点C作CP⊥DG于M，交DF的延长线于点P，过点B作BQ⊥DG于Q，连接BP， ∴∠CMD=∠PMD=∠BQM=90°， ∵CDG＝FDG，DM=DM， ∴△CMD≌△PMD， ∴CD=PD， ∴∠DPC=∠DCP=∠DCB+∠BCP，CM=PM， ∵点G是BC的中点， ∴GM是△BCP的中位线， ∴GM∥BP， ∴∠BPC=∠CMD=90°， ∴∠DPC+∠BPF=90°， ∵∠CMD=∠BPC=∠BQM=90°， ∴四边形BQMP是矩形， ∴∠QBP=90°， ∴∠QBC+∠CBF+∠PBF=90°， ∵BQ∥CP，CD∥AB， ∴∠QBC=∠BCP，∠CBF=∠DCB， ∴∠PBF+∠DCP=∠PBF+∠DPC， ∴∠PBF=∠BPF， ∴BF=PF， ∴AB=CD=DP=DF+BF. 【点睛】此题考查了平行四边形的性质定理，全等三角形的判定及性质定理，等腰三角形的判定及性质定理，矩形的判定及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$