广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

第 1 页 华中师范大学龙岗附属中学 2023级高二下学期 5月期中考试 数学学科试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 1．设随机变量 X 服从正态分布  24,X N  ，记  2 0.4P X  ，则  2 6P X  （ ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 2．已知 8{ | }M x x   N N ，则集合 M的真子集的个数是（ ） A．7 B．8 C．15 D．16 3．“数列 na 是等差数列”是“数列 1n na a  是等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知曲线 lny x 的切线过原点，则此切线的斜率为（ ） A． e B． e C． 1 e D． 1 e  5．已知等比数列 na 的前 n项和 23nnS m  ，则 ma （ ） A． 93 B． 102 3 C． 103 D． 92 3 6．已知数列 na 满足 1 1 2n na a a n    ， 10 130a  ，则 1a （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．包括甲、乙、丙在内的 6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为 （ ） A．180 B．246 C．168 D．192 8．从 1,2,3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不重复），已知甲取到的数是 5的倍数，则甲数大于乙数 的概率是 A． 9 14 B． 1 14 C． 1 5 D． 1 15 二、多选题 9．为研究光照时长 x（小时）和种子发芽数量 y（颗）之间的关系，某课题研 究小组采集了 10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉 点 P后，下列说法正确的是（ ） A．相关系数 r变小 B．经验回归方程斜率变大 C．残差平方和变小 D．决定系数 2R 变小 10．若  2025 2 20250 1 2 20251 2x a a x a x a x      ，则下列正确的是（ ） A． 0 2025a  B． 20250 1 2025 3a a a    C． 0 1 2 3 2025 1a a a a a       D． 1 2 3 20252 3 2025 4050a a a a     第 2 页 11．若 kZ ，则函数 ( ) ek xf x x 的函数图象可能是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若随机变量  ~ 10,0.2B ，则  2 1D    . 13．若函数 2( ) 2 e 3xf x a x   （ a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数 a的取值范围 是 . 14．已知数列 na 满足  1 1 2 1 n n na a n     ， nS 为其前 n项和，则 60S  . 四、解答题 15．（13分）一市级重点中学选中了 6名男教师和 4名女教师共 10名教师，其中 1名主任（男）和 1 名副 主任（女），现要组成 6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）6人支教小组中，有 3名男教师和 3名女教师； （2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师； （3）6人支教小组中，至少有 1名主任参加； （4）6人支教小组中既有主任，又有女教师． 第 3 页 16．（15分）某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男､女性燃油车主购买新能源车意愿进行 问卷调查，随机抽取了 100份有效问卷，统计数据如下表： 性别 购买意愿 合计 有愿意 无愿意 男性 22 18 40 女性 48 12 60 合计 70 30 100 （1）试依据小概率值 0.01  的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？ （2）企业随机致电 8 位无愿意购买新能源车的车主（其中 3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免 费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为 X ，求 X 的分布列及数学期 望．      2 2 ( ): n ad bc a b c d a c b d       附 ， n a b c d    ． 下表给出了 2 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001  2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分）甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得 1分， 负者得 0分，比赛进行到有一队比另一队多 2分或打满 6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 2 3 p  ． （1）第二局比赛结束时比赛停止的概率； （2）设 X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 X的分布列和数学期望． 第 4 页 18．（17分）已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 1 1a  ， 1 2 3 n n na S n   ． （1）证明： n S n       为等比数列； （2）求数列 na 的通项公式； （3）求数列 nS 的前 n项和 nT ． 19．（17分）已知函数 ( ) lnaf x x x x  ． （1）当 1a  时，讨论 ( )f x 的单调性； （2）当 1x  时， ( ) 1f x  恒成立，求 a的取值范围； （3）设 *nN ，证明: 1 1 1ln( 1) 1 ... 2 3 2( 1) nn n n         ．