精品解析：贵州省毕节市赫章县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省毕节市赫章县第一中学2024－2025学年高一上学期期末考试 高一 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 4. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 6. 对函数，若为某一个三角形的边长，则称为“三角函数”，已知函数为“三角函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为42°，如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角.若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，M为BC的中点，米，米，则彩虹的长度约为（ ） （参考数据：，） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数，该超市只有8月份冰激凌的销售数量达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有（ ） A. 4个月 B. 5个月 C. 6个月 D. 7个月 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则的最小值为3 D. 若，，则 10. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 是偶函数 D. ， 11. 已知函数，则（ ） A. 是上的奇函数 B. 当时，的解集为 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为__________． 13. 已知函数 若 ，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x． （1）求函数f（x）在R上的解析式； （2）解关于x的不等式f（x）＜3． 15. 已知集合. （1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知 是 上的奇函数. （1）求的值，并用定义证明： 在上单调递减； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 17. 某公司生产一类新能源汽车零件，且该零件的年产量不超过35万件，每万件零件的计划售价为16万元.生产此类零件的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件零件需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的汽车零件全部售罄. （1）求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本） （2）求该公司获得的年利润的最大值，并求此时该零件的年产量. 18. 已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. （1），，. （2），、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. （3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省毕节市赫章县第一中学2024－2025学年高一上学期期末考试 高一 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由集合的交集运算即可求解． 【详解】由，， 则． 故选：A． 2. 已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要条件的定义对每个选择进行分析即可求解． 【详解】， 根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于A，是的充要条件,A错误； 对于B，是的必要不充分条件，B正确； 对于C，是的充分不必要条件，C错误； 对于D，是的既不充分也不必要条件，D错误． 故选:B． 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，且，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B 4. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数在上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得到函数的周期为，再根据条件得出时，，从而得出，再利用周期性及图像即可求出结果. 【详解】因为，令，得到， 所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数， 所以，即，所以函数的周期为， 令，则，又当时，， 所以，得到， 故，又，所以在上的图像如图， 又当时，由，得到，当，由，得到，即， 又，所以， ，， 又由，得到，即， 所以， 再结合图像知，在上的零点个数为21个， 故选：D. 6. 对函数，若为某一个三角形的边长，则称为“三角函数”，已知函数为“三角函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简的解析式，对进行分类讨论，根据函数的单调性以及三角形的知识求得的取值范围. 【详解】由三角形的性质可知：构成三角形三边的长必须且只需满足：任意两边之和大于第三边； 则由已知函数， 由题意，恒成立，即， ①若，则为增函数，， 又，故，所以， 所以值域为， 又知三角形两边之和大于第三边，故应有，解得； ②若，则为减函数，，同理值域为， 同理，有，得； ③若，则，三角形是边长为的等边三角形，符合题意. 综上，得的取值范围为； 故选：D 7. 用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为42°，如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角.若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，M为BC的中点，米，米，则彩虹的长度约为（ ） （参考数据：，） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得的长度,进而根据锐角三角函数以及弧长公式即可求解. 【详解】在中，由勾股定理，知. 连接PO，则在中，， 连接OB，OC，OM，则在中，， 故，， 所以， 即彩虹的长度约为米， 故选：A. 8. 某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数，该超市只有8月份冰激凌的销售数量达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有（ ） A. 4个月 B. 5个月 C. 6个月 D. 7个月 【答案】B 【解析】 【分析】通过最大值与最小值求出，利用最值横坐标之差求出，代入最值，根据，求出值，则得到，列出不等式，求出的范围即可. 【详解】由题意，得，， 由，得，所以. 因为， 所以，所以，所以， 又，所以当时，，故. 由，得， 则，所以， 当时，，又，所以，7，8，9，10， 即该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份数是5. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则的最小值为3 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】把的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可． 【详解】因为， 对于A，当时，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，，则， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于C，当时，，解得（舍负）， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选：ACD． 10. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 是偶函数 D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可. 【详解】，，，A正确； ，则的值域为，B错误； 时，，，，所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确； 时，取，此时，，则，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 是上的奇函数 B. 当时，的解集为 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接由奇函数的定义即可判断；对于B，直接分类讨论解绝对值不等式即可判断；对于C，举出反例，推翻C选项；对于D，通过令换元法，然后再分类讨论求出的值域即可判断. 【详解】对于A，首先的定义域是关于原点对称，其次， 即是上的奇函数，故A正确； 对于B，当时，，所以或， 解得或，即当时，的解集为，故B正确； 对于C，不妨取，此时，对，有，故C错误； 对于D，当时，令，此时， 而，当时，， 从而当时，即值域为. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于AC选项的判断比较常规，直接由定义即可判断，对于B，注意分类讨论解决速度最快了，对于D，通过换元令，这样就不要分或进行讨论了. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由可知，，，利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为，所以，， 当且仅当 即，时等号成立， 故答案为： 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数 若 ，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析在与两个区间段内的单调性知，在上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数a的取值范围. 【详解】因为时，单调递增，且， 因为时，单调递增，， 所以在上单调递增，因为， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x． （1）求函数f（x）在R上的解析式； （2）解关于x的不等式f（x）＜3． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可． （2）利用分段函数的表达式分别进行求解即可． 【小问1详解】 当时，，则， 由是定义在R上的奇函数，得，且， 故． 【小问2详解】 当时，恒成立； 当时，显然成立； 当时，解得，即. 综上所述：不等式的解集为． 15. 已知集合. （1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）求得集合，分、结合的情况讨论方程的解的情况，可求实数m的取值范围. 【小问1详解】 若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素， 所以实数m的值为或； 【小问2详解】 ， 因为，所以， 由（1）知时，，不符合， 当时，若，解得，此时，符合， 若，解得，此时方程的根为， 集合，符合， 若，由，则可得， 此时有且，无解， 综上所述：实数m的取值范围为. 16. 已知 是 上的奇函数. （1）求的值，并用定义证明： 在上单调递减； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），证明如下： 由题意可知：，得：，经验证得，当时，为奇函数； 所以，对，不妨设， ， ∵，∴，， 则， 因此在上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质，结合已知条件可解；根据单调性的证明步骤逐步证明即可； （2）转化为在上恒成立，求在的最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 因为在上单调递减，且为上的奇函数， 所以为上单调递减， 所以，所以. 17. 某公司生产一类新能源汽车零件，且该零件的年产量不超过35万件，每万件零件的计划售价为16万元.生产此类零件的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件零件需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的汽车零件全部售罄. （1）求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本） （2）求该公司获得的年利润的最大值，并求此时该零件的年产量. 【答案】（1） （2）该零件的年产量为万件时，该公司获得的年利润有最大值为24万元. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 根据题意得， 当时，， 当时，， 故. 【小问2详解】 当时，，且当时，单调递增， 当时，单调递减，此时. 当时，，当且仅当时，等号成立. 因为，故当时，取得最大值24， 所以该零件的年产量为万件时，该公司获得的年利润有最大值为24万元. 18. 已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. （1），，. （2），、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. （3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，即可求出函数解析式； （2）依题意可得，即可求出，再根据三角函数的变换规则求出变换后的解析式，由对称性及诱导公式求出，即可得解； （3）首先求出周期，分、两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得到的值域，从而得到方程组，解得，再根据求出，即可得解. 【小问1详解】 依题意，又，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以. 【小问2详解】 依题意，，所以， 所以，将的图像向右平移个单位长度得到， 又关于轴对称，所以，所以， 又，所以，所以. 【小问3详解】 因为，，即区间的长度恰为， 又，令，，解得，， 所以的对称轴为，， 根据正弦曲线的性质当在区间上严格单调时取得最大值， 当与恰关于，对称时取得最小值， ①不妨设当，则是上严格增函数， 则 ， 因为， 所以，则，即， 即， ②不妨设当， 则， 因为， 所以，则，即， 即， 综上所述，即，解得， 所以，又， 所以，所以或，， 因为，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $