2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真（三）数学试卷

机密★启用前 2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真试卷（专家版三） 数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量90分钟，满分100分. 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.若(x2一1)十(2x十2)i是纯虚数，则实数x的值是 A.1 B.-1 C.±1 D.-2 2.已知元素a∈{0,1,2,3}，且a年{0,1,2}，则a的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 3.不等式x(x一2)<0成立的一个必要不充分条件是 A.x∈(0,2) B.x∈[-1，+∞) C.x∈(0,1) D.x∈(1,3) 4.下列命题中，是存在量词命题的是 A.正方形的四条边相等 B.有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形 C.正数的平方根不等于0 D,至少有一个正整数是偶数 5.在△ABC中，若AB·AC-0,则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6.sin120°的值为 A号 B.-1 c号 D② 7.如图，在正方体ABCD-A1B,CD中，异面直线BD与A1C的位置关系是 8 A平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直 数学试题（专家版三）第1页（共4页） 8.不等式(x十1)(x一2)≤0的解集为 A.{x|-1≤x≤2) B.{x|-1<x<2} C.(xx≤-1或x≥2} D.{x|x<-1或x>2 9.函数y=2sin(3x十)的最小正周期是 A哥 B c Dπ 10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校！只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下 列函数的图象最能符合上述情况的是 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 0 时间 0 时间 时间 0 时间 B 1.已知cosa=号，则cos2a= A务 B c D- 12.已知甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面 的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 A30人，30人，30人 B.30人，45人，15人 C.20人，30人，40人 D.30人，50人，10人 13.函数f(x)=log(x一3)的定义域为 A.R B.x>3 C.x≥3 D. 14.已知向量a=(1,2),b=(一3，一6)，若b=a,则实数入的值为 A号 B.3 a-t D.-3 15.设f(x)= 2≥1则的值为 2(x<1), A.0 B.1 C.2 D.-1 16.某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰 好是白球的概率为 A号 B是 c告 17.下列函数中，在区间(0，十∞)上为增函数的是 Ay=(号) B.y=logs C.y=1 D.y=cos x 数学试题（专家版三）第2页（共4页） 18.已知函数f(x)=-1,若当x∈[m,nm](n>m>0)时，f(x)的值域也是[m,n],则实数a的 a x 取值范围是 A(2,+∞) B.(2,+∞) C(o,) D(a,) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分， 19.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,sinA=号，则sinB= 20.已知a是函数f(x)=2-1og2x的零点，则实数a的值为 21.已知函数y=sin wx(w>0)在一个周期内的图象如图所示，则u的值为 22.如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC,E,F分别是 AB,CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直 二面角A-EF-C(如图2)，则在图2中直线AF与 平面EBCF所成的角的犬小为 图 图2 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，满分30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 23.(本小题满分10分) 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日平均费用（单 位：元)，得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注α的数字模糊不清. 频率 组距 0.10 0.05 0 2 6 81012早餐日平均费用/元 (1)试根据频率分布直方图求α的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？ 数学试题（专家版三）第3页（共4页） 24.(本小题满分10分) 如图，在底面是正方形的直棱柱ABCD-AB1CD1中，AB=3,AA1=4, (1)求证：AC⊥DB; (2)求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值. 25.(本小题满分10分) 已知函数f(x)=log2(x一1). (1)求函数f(x)的定义域： (2)设g(x)=f(x)十a,若函数g(x)在区间(2,3)内有且仅有一个零点，求实数a的取值 范围； (3)设h(x)=f八x)十沿，是否存在正实数m,使得函数h(红)在区间[3,9]内的最小值为4？ 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 数学试题（专家版三）第4页（共4页）2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真试卷（专家版三） 数学参考答案 一、选择题（每小题3分，满分54分） 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 答案 A B D A C D A B A A B B D B B D 二、填空题（每小题4分，满分16分）】 1.号 20.4 21.2 22.45(或填) 三、解答题（每小题10分，满分30分） 23.【解析】(1)，0.05X2X3十0.10X2X2十2a=1,……1分 =0.15。…2分 众数为5。…3分 平均数为(1×0.05+3×0.1十5×0.15+7×0.1十9×0.05+11×0.05)×2=5.6.…5分 (2)由频率分布直方图可知， 平均货用不少于8元的频率为0.05X2十0.05X2=0.2。………8分 .1000X0.2=200.… …9分 该公司有200名职员早餐日平均费用不少于8元.…10分 24.【解析】(1)DD1⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.DD1⊥AC,…2分 又四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC,… …3分 :DD,∩BD=D,DD,BDC平面BDD, .AC⊥平面BDD, DBC平面BDD,∴.ACLD B.… …5分 (2)DD⊥平面ABCD, ∴∠DBD为直线D1B与平面ABCD所成的角. …7分 4-22 、在RABDD中，tan/D.BD-BD=3+3=35号 31 …9分 直线D,B与平面ABCD所成角的正切值为2票。 …10分 25.【解析】(1)由题意，函数f(x)=log2(x一1)有意义，则满足x一1>0，解得x>1,… …1分 即函数f(x)的定义城为{xx>1)。… …2分 (2)由g(x)=f(x)十a,且f(x)=log(x-1), 可得g(x)=log2(x一1)十a,x∈(2,3)，… …3分 由对数函数的性质，可得g(x)为单调递增函数， 且函数g(x)在区间(2,3)上有且仅有一个零，点，所以g(2)·g(3)<0, 即a·(a+1)<0,解得-1<a<0, 所以实数a的取值范图是(1,0).…4分 学业水平（专家版三）数学参考答案一1 3)由)=f)+F设=fx),xe[3,9],则a0=+,1,3],m>0, 任取4,2∈[1,3]，且4<2， 则A)-A)=(+兴）-(+）=与-m, 又一吃<0,1<12<9，…6分 所以①当√m≤1时，l12一m>0,h(1)一h(2)<0,h(1)<h(2),函数h(t)在[1,3]上为增函数， 所以最小值为h(1)=1十观=4，解得m=3,不符合题意，舍去；…7分 ②当√m≥3时，412一m<0,h(t)一h(2)>0,h(t1)>h(t2),函数h(t)在[1,3]上为减函数， 所以最小值为h(3)=3+贺=4，解得m=3,不符合题意，舍去，8分 ③当1<√m<3时，函数h(t)在[1，√m]上是减函数，在[√m,3]上为增函数， 所以最小值为h(√m)=2√m=4,解得m=4,符合题意。…9分 综上可得，存在m=4使得函数h(x)在区间[3,9]内的最小值为4.…10分 学业水平（专家版三）数学参考答案一2