2025年湖北省黄冈市黄冈中学八年级预录数学试卷

第 1页（共 2页） 时间：120分钟 满分：120 2025 春八年级预录数学试题 分 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1．估算 3 × ( 20 − 5)的值在（ ） A．4和 5之间 B．5和 6之间 C．6和 7之间 D．7和 8之间 2．设 a，b是实数，且 ，则 的值是（ ） A．3 B．﹣3 C．3（b﹣a） D．无法确定 3．直角三角形的三边为 a﹣b，a，a+b且 a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ） A．61 B．71 C．81 D．91 4．任意大于 1的正整数 m的三次幂均可“分裂”成 m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11， 43＝13+15+17+19，…按此规律，若 m3分裂后，其中有一个奇数是 2019，则 m的值是（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 5．使7− 9−4� 2 为自然数的整数 a的值有几个？（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在△ABC中，D为 BC上一点，BD＝5，CD＝4，AC＝AD，则 AB2﹣AC2＝（ ） A．25 B．29 C．41 D．45 7．如图，△ABC中，D是 AB的中点，E在 AC上，且∠AED＝90°+ 1 2 ∠C，则 BC+2AE等于（ ） A．AB B．AC C．3 2 AB D．3 2 AC 8．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数 的图象上 整点的个数是（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 9．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以 BC为边向外侧作正方形 BDEC，则 AD的最大值为（ ） A．6 B．2 5 C．2 5 + 2 D．4 2 + 2 10．已知对于任意正整数 n，都有 a1+a2+a3+…+an＝n3，则 ＝（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 4分，共 28分） 11．满足不等式：|x﹣2|﹣|x+3|＜5的 x的取值范围 ． 12．代数式 3�2 + 6 �2+1 的最小值为 ． 13．已知点 A（﹣2，3），B（2，1），直线 y＝kx+k与线段 AB相交，则 k的取值范围是 ． 14．如图，P是等边△ABC中的一个点，PC＝2，�� = 2 3，PA＝4，则△ABC的边长是 ． 15．如图，在四边形 ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点 O，过四边形 ABCD的顶点 A作 AF⊥AD， 且 AD＝AF，线段 AF交 OB于点 H，交 BC于点 E，若 D、C、F三点共线，则以下说法：①四边 形 ABCD 为菱形；②AB•AE＝ AC•BD；③∠AHD＝ ∠CAD；④��+ �� = 3 4 ��，正确的 有 ． 16．若四个互不相等的正实数 a，b，c，d，满足（a2024﹣c2024）×（a2024﹣d2024）＝2024，（b2024 ﹣c2024）（b2024﹣d2024）＝2024，则（ab）2024﹣（cd）2024＝ ． 17．对于任意一个非负整数 N，都定义有 N*且 ＝N*+1，若 0*＝0，100*＝20000， 记 P＝200*，则 ＝ ． 三、解答题（7小题，共 62分） 18．（6分）计算： 15+ 35+ 21+5 3+2 5+ 7 ． 19．（6分）已知，在平行四边形 ABCD中，BC＝2AB， M为 AD的中点，CE⊥AB于 E． 求证：∠DME＝3∠AEM． 第 6题图 第10题图第10题图 第 9题图第 7题图 第 2页（共 2页） 20．（6分）某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14405， 将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 16970，求此人家的电话号码． 21．（10分）【操作发现】如图，现有 1×1，1×a，1×b，a×b的矩形卡片各一张，请你在下面的方 框内将它们拼成一个大的矩形（要求：画出分割线，并标注必要的线段长）．观察操作前后的面 积可以得到一个等式，这个等式是什么？ 【应用探究】对于一个正整数 n，若能找到正整数 a，b，使得 n＝a+b+ab，则称 n为一个“妙数”．例 如 3＝1+1+1×1，则 3就是一个“妙数”．根据“妙数”的规定，解决下列问题： （1）5是不是一个“妙数”？为什么？ （2）从 1到 10这 10个正整数中“妙数”有多少个． 【活动拓展】在一次数学活动课上，黑板上写有 共 50个数字．李老师 要求同学们进行以下操作：每次操作先从黑板上的数中任选取 2个数 a、b，然后删去这两个数 a 和 b，同时在黑板上写出与 a+b+ab的值相等的数．试求经过 49次操作后黑板上剩下的数． 22．（10分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200千克，配料的价格 为 1.8元/千克，每次购买配料除需支付运输费 236元外，还需支付保管费用，其标准如下：7 天以内（含 7天），无论重量多少，均按 10元/天支付；超出 7天以外的天数，根据实际剩余配 料的重量，以每天 0.03元/千克支付． （1）当 9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用 P是多少元？ （2）当 x天购买一次配料时，求该厂在这 x天中用于配料的总支出 y（元）关于 x的函数关系式； （3）求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少？ 23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D在 AB边上，连接 CD． （1）如图 1，�� = 4 2，�� = 19，求 AD的长； （2）如图 2，过 D向下作 DE⊥CD，且 DE＝CD，连接 BE，求证：�� = 2��． ①如图 3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过 D作 DF∥BC交 AC于点 F； ②如图 4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过 E作 EG⊥AB交 AB的延长线于点 G． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （3）如图 5，过点 D向上作 DE⊥CD，且 DE＝CD，连接 BE，点 H为 BE的中点，连接 DH，猜 想 BC，BD，DH之间的数量关系，并证明． 24．（12分）探究活动 【模型构建】 如图，将含有 45°的三角板的直角顶点放在直线 l上，过两个锐角顶点分别向直线 l作垂线，这 样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为 “一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）在平面直角坐标系中，直线� =− 1 2 � + 2与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，以∠B为直角顶 点在第一象限内构造等腰直角△ABC，直接写出第三个点的坐标是 （2，6） ； （2）如图 1，一次函数 y＝﹣2x+2的图象与 y轴，x轴分别交于 A，B两点．将直线 AB绕点 A 逆时针旋转 45°得到直线 l，求直线 l对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图 2，点 A在 x轴负半轴上，OA＝8，过点 A作 AB⊥x轴交直线 y＝﹣2x﹣3于点 B，P 是直线 y＝﹣2x﹣3上的动点，Q是 y轴上的动点，若△APQ是以其中一个动点为直角顶点的等 腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标． 第 1页（共 23页） 参考答案与试题解 黄冈中学八年级预录数学试题 析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．估算 3 × ( 20 − 5)的值在（ ） A．4和 5之间 B．5和 6之间 C．6和 7之间 D．7和 8之间 【解答】解：原式＝3×（2 5 − 5） ＝3 5 = 45， ∵36＜45＜49， ∴6＜ 45＜7， 即原式的值在 6和 7之间， 故选：C． 2．设 a，b是实数，且 ，则 的值是（ ） A．3 B．﹣3 C．3（b﹣a） D．无法确定 【解答】解：∵ ， ∴ ﹣ ＝1， ∴ ﹣ ＝1， ∴ ﹣1﹣1+ ＝1， ∴ + ＝3． 故选：A． 3．直角三角形的三边为 a﹣b，a，a+b且 a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ） A．61 B．71 C．81 D．91 【解答】解：由题可知：（a﹣b）2+a2＝（a+b）2，解得：a＝4b 所以直角三角形三边分别为 3b、4b、5b． 当 b＝27时，3b＝81． 故选：C． 第 2页（共 23页） 4．任意大于 1 的正整数 m的三次幂均可“分裂”成 m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43 ＝13+15+17+19，…按此规律，若 m3分裂后，其中有一个奇数是 2019，则 m的值是（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【解答】解：23＝3+5，第一项为 22﹣2+1，最后一项为 3+2×1 33＝7+9+11，第一项为 32﹣3+1，最后一项为 7+2×2 43＝13+15+17+19，第一项为 42﹣4+1，最后一项为 13+2×3 … 453的第一项为 452﹣45+1＝1981，最后一项为 1981+2×44＝2069， 1981到 2069之间有奇数 2019， ∴m的值为 45． 故选：B． 5．使 7− 9−4� 2 为自然数的整数 a的值有几个？（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：设 9﹣4a＝m2（m为整数）， ∴4a+m2＝9， ∵4a为偶数，9为奇数， ∴m2必为奇数， 即 m必为奇数， 又∵ 7−|�| 2 ≥0， ∴|m|≤7． ∴﹣7≤m≤7， m＝±l，±3，±5，±7， ∴a＝0，2，﹣4，﹣10． 故选：C． 6．如图，在△ABC中，D为 BC上一点，BD＝5，CD＝4，AC＝AD，则 AB2﹣AC2＝（ ） 第 3页（共 23页） A．25 B．29 C．41 D．45 【解答】解：如图，过点 A作 AE⊥BC于点 E， ∵AD＝AC， ∴DE＝CE= 12�� = 2， ∴BE＝5+2＝7， ∴AB2＝AE2+BE2＝AE2+72， AC2＝AE2+CE2＝AE2+22， ∴AB2﹣AC2＝AE2+72﹣AE2﹣22＝45， 故选：D． 7．如图，△ABC中，D是 AB的中点，E在 AC上，且∠AED＝90°+ 12∠C，则 BC+2AE等于（ ） A．AB B．AC C． 3 2 AB D． 3 2 AC 【解答】解：如图，过点 B作 BF∥DE交 AC于点 F．则∠BFC＝∠DEF． 又∵点 D是 AB的中点， ∴EF＝AE． ∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+ 12∠C）＝90°− 1 2∠C， ∴∠FBC＝∠BFC， ∴BC＝FC， ∴BC+2AE＝AC． 故选：B． 第 4页（共 23页） 8．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数 的图象上整点 的个数是（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【解答】解：将函数表达式变形，得 2xy﹣y＝x+12， 4xy﹣2y﹣2x＝24， 2y（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝24+1， （2y﹣1）（2x﹣1）＝25． ∵x，y都是整数， ∴（2y﹣1），（2x﹣1）也是整数． ∴ 或 或 或 或 或 ． 解得： 或 或 或 或 或 ． ∴解得的整点为：（13，1），（﹣12，0），（1，13），（0，﹣12），（3，3），（﹣2，﹣2）共 6个． 故选：C． 9．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以 BC为边向外侧作正方形 BDEC，则 AD的最大值为（ ） A．6 B．2 5 C．2 5 + 2 D．4 2 + 2 【解答】解：∵四边形 BDEC为正方形， ∴BC＝BD，∠DBC＝90°， ∴把△ABC绕点 B顺时针旋转 90°得△A′BD，连接 AA′、DA′，如图所示， 第 5页（共 23页） ∴∠ABA′＝90°，AB＝A′B＝4，A′D＝AC＝2， ∴AA′= �′�2 + ��2 = 42 + 42 =4 2， ∴当 D、A′、A三点共线时，AD最大，最大值＝DA′+A′A＝4 2 +2， 故选：D． 10．已知对于任意正整数 n，都有 a1+a2+a3+…+an＝n3，则 ＝（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵a1+a2+…+an﹣1+an＝n3，a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）3，两式相减，得 an＝3n2﹣3n+1， ∴ ， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ． 故选：C． 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 11．满足不等式：|x﹣2|﹣|x+3|＜5的 x的取值范围 x＞﹣3 ． 【解答】解：当 x≤﹣3时，2﹣x+x+3＜5，即 5＜5，舍去； 当﹣3＜x＜2时，2﹣x﹣（x+3）＜5， 解得：x＞﹣3，即﹣3＜x＜2； 当 x≥2时，x﹣2﹣（x+3）＜5，即﹣5＜5，恒成立，此时 x≥2； 综上，x＞﹣3， 故答案为：x＞﹣3． 12．代数式 3�2 + 6�2+1的最小值为 6 2 −3 ． 第 6页（共 23页） 【解答】解：∵3�2 + 6�2+1 ＝3x2+3+ 6�2+1 −3 ＝3（x2+1+ 2�2+1）﹣3 ≥3×2 (�2 + 1) ⋅ 2�2+1 −3， 即 3�2 + 6�2+1 ≥6 2 −3， ∴代数式 3�2 + 6�2+1的最小值为 6 2 −3． 故答案为：6 2 −3． 13．已知点 A（﹣2，3），B（2，1），直线 y＝kx+k与线段 AB相交，则 k的取值范围是 k≤﹣3或 k≥ 13 ． 【解答】解：如图，对于直线 y＝kx+k， 当 x＝﹣1时，y＝0， ∴直线 y＝kx+k过定点 P（﹣1，0）， 当 k＜0时， ∵直线 y＝kx+k经过 P（﹣1，0），A（﹣2，3）， ∴﹣2k+k＝3， ∴k＝﹣3， 当 k＞0时， ∵直线 y＝kx+k经过 P（﹣1，0），B（2，1）， ∴2k+k＝1， ∴k= 13， 综上得，直线 y＝kx+k与线段 AB相交，则 k的取值范围 k≤﹣3或 k≥ 13． 故答案为：k≤﹣3或 k≥ 13． 第 7页（共 23页） 14．如图，P是等边△ABC中的一个点，PC＝2，�� = 2 3，PA＝4，则△ABC的边长是 2 7 ． 【解答】解：将△BPC绕点 B逆时针旋转 60°得到△BDA，过点 B作 BE⊥AD，交 AD的延长线于点 E， 连接 DP， ∴∠DBP＝60°，BD＝BP= 2 3，AD＝PC＝2， ∴△BDP为等边三角形， ∴∠BDP＝60°，DP= 2 3． ∵PA＝4， ∴DP2+AD2＝AP2， ∴∠ADP＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADP﹣∠BDP＝30°． 在 Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BD= 2 3， ∴BE= 12�� = 3， ∴DE= ��2 − ��2 =3， 第 8页（共 23页） ∴AE＝AD+DE＝2+3＝5． 在 Rt△ABE中，由勾股定理得，AB= ��2 + ��2 = 2 7， ∴△ABC的边长是 2 7． 故答案为：2 7． 15．如图，在四边形 ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点 O，过四边形 ABCD的顶点 A作 AF⊥AD， 且 AD＝AF，线段 AF交 OB于点 H，交 BC于点 E，若 D、C、F三点共线，则以下说法：①四边形 ABCD为菱形；②AB•AE＝AC•BD；③∠AHD＝∠CAD；④��+ �� = 34��，正确的有 ①③ ． 【解答】解：∵AD＝AB，AC⊥BD， ∴AC垂直平分 BD， ∴BC＝CD， ∴BC＝CD＝AD＝AB， ∴四边形 ABCD为菱形，故①正确； ∵四边形 ABCD为菱形， ∴AD∥BC，�菱形���� = 1 2�� ⋅ ��， ∵AF⊥AD， ∴AE⊥BC， ∴S 菱形 ABCD＝BC•AE＝AB•AE， ∴�� ⋅ �� = 12�� ⋅ ��，故②错误； ∵AF⊥AD， ∴∠DAH＝90°， ∴∠AHD+∠ADH＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， 第 9页（共 23页） ∴∠CAD+∠ADO＝90°， ∴∠AHD＝∠CAD，故③正确； 连接 CH，在 OC上取一点 Q，使得 OH＝OQ，连接 HQ， ∵AF⊥AD，AD＝AF， ∴∠ADF＝∠F＝45°， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠ADC＝45°，AD∥CB， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴∠BAE＝∠ABC＝45°， ∴BE＝AE， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°， ∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°， ∴△BEH≌△AEC（ASA）， ∴BH＝AC＝2OC， ∵BD垂直平分线段 AC， ∴HA＝HC， ∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°， ∵OQ＝OH， ∴∠OHQ＝∠OQH＝45°， ∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH， ∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°， ∴�� = �� = 2��， 设 OH＝m，则 OQ＝m，�� = �� = 2�， 第 10页（共 23页） ∴�� = � + 2�， ∴�� + �� = � +�+ 2� = 2� + 2�， ∵ 2 2 �� = 2 2 × 2�� = 2(� + 2�) = 2� + 2�， ∴�� + �� = 22 ��，故④错误． 故答案为：①③． 16．若四个互不相等的正实数 a，b，c，d，满足（a2024﹣c2024）×（a2024﹣d2024）＝2024，（b2024﹣c2024） （b2024﹣d2024）＝2024，则（ab）2024﹣（cd）2024＝ ﹣2024 ． 【解答】解：设 m＝a2024，n＝b2024，k＝c2024，h＝d2024， ∵m≠n≠k≠h， ∴ (� − �)(� − ℎ) = 2024 (� − �)(� − ℎ) = 2024 ， 则 � 2 − �� − ℎ� + �ℎ = 2024 �2 − �� − ℎ� + �ℎ = 2024 ， 两式相减得 m2﹣n2＝（k+h）（m﹣n）， ∴m+n＝k+h①， 两式相加得 m2+n2﹣（k+h）（m+n）+2kh＝4048， 将①代入，m2+n2﹣（m+n）2+2kh＝﹣2mn+2kh＝4048， ∴kh﹣mn＝2024， ∴（ab）2024﹣（cd）2024＝mn﹣kh＝﹣2024． 故答案为：﹣2024． 17．对于任意一个非负整数 N，都定义有 N*且 ＝N*+1，若 0*＝0，100*＝20000，记 P＝200*，则 ＝ 600 ． 【解答】解：∵ ＝N*+1， ∴（N+1）*+（N﹣1）*＝2N*+2． 当 N＝1时，2*+0*＝2•1*+2，即 2*＝2•1*+2＝2•1*+1×2； 当 N＝2时，3*+1*＝2•2*+2＝2（2•1*+2）+2． ∴3*＝2（2•1*+2）+2﹣1*＝3•1*+6＝3•1*+2×3； 第 11页（共 23页） 当 N＝3时，4*+2*＝2•3*+2＝2（3•1*+6）+2． ∴4*＝2（3•1*+6）+2﹣2*＝2（3•1*+6）+2﹣2*＝2（3•1*+6）+2﹣（2•1*+2）＝4•1*+3×4． …… 由此，可猜想 N*＝N•1*+N（N﹣1）． ∵100*＝20000， ∴20000＝100•1*+100×99． ∴1*＝101． ∴P＝200*＝200•1*+199×200＝200×101+199×200＝60000． ∴ ＝ ＝600． 故答案为：600． 三、解答题（7 小题，共 62 分） 18．（6分）计算： 15+ 35+ 21+5 3+2 5+ 7 ． 【解答】解：原式= ( 5+ 7)( 5+ 3) ( 3+ 5)+( 5+ 7) = 11 5+ 7 + 1 5+ 3 = 1 7− 5 2 + 5− 3 2 = 2 7− 3 = 7+ 32 ． 19．（6分）已知，在平行四边形 ABCD中，BC＝2AB，M为 AD的中点，CE⊥AB于 E．求证：∠DME＝ 3∠AEM． 【解答】证明：设 BC中点为 N，连 MN交 CE于 P，再连 MC， 则 AM＝BN，MD＝NC， 又∵BC＝2AB， 第 12页（共 23页） ∴四边形 ABNM、四边形 MNCD均是菱形， ∴MN∥AB， ∴∠AEM＝∠EMN， ∵CE⊥AB， ∴MN⊥CE， 又∵AM＝MD，MN∥AB． ∴P点为 EC的中点， ∴MP垂直平分 EC， ∴∠EMN＝∠NMC， 又∵四边形 MNCD是菱形， ∴∠NMC＝∠CMD， ∴∠EMD＝3∠EMN＝3∠AEM． 20．（6分）某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14405，将前三 位数组成的数与后五位数组成的数相加得 16970，求此人家的电话号码． 【解答】解：设前 3位数是 x，第 4位数是 y，后 4位数是 z，则 ， ∴1111y﹣x＝285， ∵100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999， ∴y＝1，x＝826，z＝6144， ∴电话号码是 100000x+10000y+z＝82616144． 21．（10分）【操作发现】如图，现有 1×1，1×a，1×b，a×b的矩形卡片各一张，请你在下面的方框内 将它们拼成一个大的矩形（要求：画出分割线，并标注必要的线段长）．观察操作前后的面积可以得到 一个等式，这个等式是什么？ 第 13页（共 23页） 【应用探究】对于一个正整数 n，若能找到正整数 a，b，使得 n＝a+b+ab，则称 n为一个“妙数”．例 如 3＝1+1+1×1，则 3就是一个“妙数”．根据“妙数”的规定，解决下列问题： （1）5是不是一个“妙数”？为什么？ （2）从 1到 10这 10个正整数中“妙数”有多少个． 【活动拓展】在一次数学活动课上，黑板上写有 共 50个数字．李老师要求 同学们进行以下操作：每次操作先从黑板上的数中任选取 2个数 a、b，然后删去这两个数 a和 b，同时 在黑板上写出与 a+b+ab的值相等的数．试求经过 49次操作后黑板上剩下的数． 【解答】解：【操作发现】 （1）图形不唯一，如图： a+b+ab+1＝（a+1）（b+1）； 【应用探究】 （1）5是一个“妙数”，理由：5＝1+2+1×2； （2）从 1到 10这 10个正整数中“妙数”有 3、5、7、8、9共 5个； 【活动拓展】 ∵a+b+ab+1＝（a+1）（b+1）， ∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数的乘积不变， 设经过 49次操作后，黑板上剩下的数为 x，则： x+1＝（1+1）×（ +1）×（ +1）×（ +1）…（ +1）， 解得：x+1＝51，x＝50， ∴经过 49次操作后黑板上剩下的数是 50． 第 14页（共 23页） 22．（10 分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200千克，配料的价格为 1.8 元/千克，每次购买配料除需支付运输费 236 元外，还需支付保管费用，其标准如下：7 天以内（含 7 天），无论重量多少，均按 10元/天支付；超出 7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天 0.03 元/千克支付． （1）当 9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用 P是多少元？ （2）当 x天购买一次配料时，求该厂在这 x天中用于配料的总支出 y（元）关于 x的函数关系式； （3）求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少？ （总支出＝购买配料费+运输费+保管费） 【解答】解：（1）第 8天剩余配料的重量为 200×9﹣200×7＝400（千克）， 第 9天剩余配料的重量为 200×9﹣200×8＝200（千克）， 当 9天购买一次配料，该厂的配料保管费用 P＝70+0.03×（400+200）＝88（元）， 答：当 9天购买一次配料时，该厂的配料保管费用 P是 88元． （2）①当 x≤7时， y＝360x+10x+236＝370x+236； ②当 x＞7时， y＝360x+236+70+6[（x﹣7）+（x﹣6）+…+2+1] ＝3x2+321x+432． （3）设 x天购买一次配料平均每天的总支出为 W元， ①当≤7时，W＝ ＝370+ ， 所以，x＝7时，W有最小值，W 最小值＝370+ ≈404； ②当＞7时，W＝ ＝3（x+ ）+321， 第 15页（共 23页） 当 x＝ 时，W有最小值， 解得 x＝12， 所以，x＝12时，W 最小值＝393； 综上，12天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少． 23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D在 AB边上，连接 CD． （1）如图 1，�� = 4 2，�� = 19，求 AD的长； （2）如图 2，过 D向下作 DE⊥CD，且 DE＝CD，连接 BE，求证：�� = 2��． ①如图 3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过 D作 DF∥BC交 AC于点 F； ②如图 4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过 E作 EG⊥AB交 AB的延长线于点 G． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （3）如图 5，过点 D向上作 DE⊥CD，且 DE＝CD，连接 BE，点 H为 BE的中点，连接 DH，猜想 BC， BD，DH之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，�� = 4 2． ∴��2 + ��2 = ��2 = (4 2)2 = 32， ∴2AC2＝32， ∴AC2＝16， ∵AC＞0， 第 16页（共 23页） ∴AC＝4， 在 Rt△ADC中，�� = 19， 根据勾股定理，得�� = ��2 − ��2 = ( 19)2 − 42 = 3； （2）①选择小明同学的解题思路， 证明：如图 1，过 D作 DF∥BC交 AC于 F． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ADF＝∠AFD＝45°， ∴AD＝AF． 在 Rt△ADF中，根据勾股定理得�� = ��2 + ��2 = 2��． ∴AB﹣AD＝AC﹣AF， 即 BD＝CF． 又∵DE⊥CD，∠CDE＝90°， ∴∠ADC+∠BDE＝90°， ∵∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠BDE＝∠ACD． ∵DE＝CD， ∴△BDE≌△FCD（SAS）， ∴BE＝DF， ∴�� = 2��． ②己选择小强同学的解题思路． 证明：如图 2，过 E作 EG⊥AB交 AB的延长线于 G， 第 17页（共 23页） ∴∠G＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠G＝∠A， ∵DE⊥CD，∠CDE＝90°， ∴∠GDE+∠ADC＝90°， 又∵∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠GDE＝∠ACD． ∵DE＝CD， ∴△GDE≌△ACD（AAS）， ∴GE＝AD，GD＝AC， ∵AB＝AC， ∴GD＝AB， ∴GD﹣BD＝AB﹣BD， 即 AD＝GB， ∴GE＝GB， 在 Rt△GBE中，根据勾股定理，得�� = ��2 + ��2 = 2��， ∴�� = 2��． （3）猜想：�� = 2�� + 2��． 证明：如图 3，延长 DH至 K，使 HK＝HD，连接 EK，过 D作 DM∥AC交 BC于 M， 第 18页（共 23页） ∴∠BDM＝∠A＝90°，BD＝DM，�� = 2�� = 2��． ∵H为 BE中点， ∴BH＝EH， ∵∠BHD＝∠EHK，HD＝HK， ∴△BDH≌△EKH（SAS）， ∴BD＝KE，∠BDH＝∠K， ∴∠KED＝∠ADE， ∵∠ADM＝∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠MDC， ∴∠KED＝∠MDC， ∵KE＝BD， ∴KE＝MD，DE＝CD， ∴△KED≌△MDC（SAS）， ∴KD＝MC， ∴MC＝2DH， ∵BC＝BM+MC， ∴�� = 2�� + 2��． 24．（12分）探究活动 【模型构建】 如图，将含有 45°的三角板的直角顶点放在直线 l上，过两个锐角顶点分别向直线 l作垂线，这样就得 到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”， 这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）在平面直角坐标系中，直线� =− 12 � + 2 与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，以∠B为直角顶点在 第一象限内构造等腰直角△ABC，直接写出第三个点的坐标是 （2，6） ； （2）如图 1，一次函数 y＝﹣2x+2的图象与 y轴，x轴分别交于 A，B两点．将直线 AB绕点 A逆时针 旋转 45°得到直线 l，求直线 l对应的函数表达式； 【模型拓展】 第 19页（共 23页） （3）如图 2，点 A在 x轴负半轴上，OA＝8，过点 A作 AB⊥x轴交直线 y＝﹣2x﹣3于点 B，P是直线 y＝﹣2x﹣3上的动点，Q是 y轴上的动点，若△APQ是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形， 请直接写出所有符合条件的点 P的坐标． 【解答】解：（1）直线� =− 12 � + 2 与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，则点 A、B的坐标分别为：（4， 0）、（0，2）， 过点 c作 CH⊥y轴于点 H， ∵∠CBH+∠ABO＝90°，∠ABO+∠OBA＝90°， ∴∠CBH＝∠BAO， ∵∠BHC＝∠AOB，AB＝BC， 则△BHC≌△AOB（AAS）， 则 BH＝OA＝4，CH＝OB＝2， 则点 C（2，6）， 故答案为：（2，6）； （2）如图，过点 B作 BC⊥AB交直线 l于点 C，过点 C作 DC⊥x轴． 第 20页（共 23页） ∴∠ABC＝90°． ∵∠BAC＝45°， ∴∠BCA＝90°﹣∠BAC＝45°． ∴∠BAC＝∠BCA． ∴AB＝BC． ∵∠ABC＝∠AOB＝∠BDC＝90°， ∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠CBD+∠ABO＝90°． ∴∠OAB＝∠CBD． ∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°， ∴△AOB≌△BDC． ∴AO＝BD，OB＝CD． 当 x＝0时，y＝﹣2x+2＝2， ∴AO＝BD＝2． 当 y＝0时，0＝﹣2x+2，x＝1， ∴OB＝CD＝1． ∴C（3，1）． 由点 A、C的坐标得，直线的表达式为：y=− 13x+2； （3）①当∠APQ＝90°，AP＝PQ，P在 x轴的上方， 如图 1：过 P作 MN⊥y轴，交 AB于 M，交 y轴于 N， ∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， 又∵∠AMP＝∠PMQ＝90°，AP＝PQ， ∴△AMP≌△PNQ（AAS）， 第 21页（共 23页） ∴PM＝NQ，AM＝PN； ∵直线 l：y＝﹣2x﹣3， ∴设 P（m，﹣2m﹣3），Q（0，n）， ∴AM＝﹣2m﹣3，PN＝﹣m， ∴﹣2m﹣3＝﹣m①， ∴PM＝NQ＝﹣2m﹣3﹣n， ∴PM+PN＝OA＝8，即﹣2m﹣3﹣n+（﹣m）②， ①②联立解得：m＝﹣3，n＝﹣2， ∴P（﹣3，3）； ②当∠APQ＝90°，AP＝PQ，P在 x轴的下方， 如图 2： 同法可证：△AMP≌△PNQ（AAS）， ∴AM＝PN，MP＝QN； ∵直线 l：y＝﹣2x﹣3， ∴设 P（m，﹣2m﹣3），Q（0，n）， ∴AM＝2m+3，PN＝﹣m， ∴2m+3＝﹣m①， ∴PM＝NQ＝n﹣（﹣2m﹣3）， ∴PM+PN＝OA＝8，即 n﹣（﹣2m﹣3）+（﹣m）②， ①②联立解得：m＝﹣1，n＝6， ∴P（﹣1，﹣1）； 第 22页（共 23页） ③当∠AQP＝90°，AQ＝PQ，P在 x轴的上方， 如图 3：易证△PQM≌△QAO（AAS）， ∴PM＝OQ，AO＝MQ； ∵直线 l：y＝﹣2x﹣3， ∴设 P（m，﹣2m﹣3），Q（0，n）， ∴MQ＝﹣2m﹣3﹣n，AO＝8， ∴﹣2m﹣3﹣n①， ∵PM＝﹣m，OQ＝n， ∴﹣m＝n②， ①②联立解得：m＝﹣11，n＝11， ∴P（﹣11，19）； ④当∠AQP＝90°，AQ＝PQ，P在 x轴的下方， 如图：易证△PQM≌△QNA（AAS）， ∴PM＝NQ，AN＝MQ； ∵直线 l：y＝﹣2x﹣3， ∴设 P（m，﹣2m﹣3），Q（0，n）， ∴PM＝2m+3+n，MQ＝AO＝8， ∴2m+3+n＝8①， 第 23页（共 23页） ∵QM＝m，AN＝n， ∴m＝n②， ①②联立解得：m= 53，n= 5 3， ∴P（ 5 3 ，− 193 ）， 综上，点 P的坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣3，3）或（﹣11，19）或（ 5 3 ，− 193 ）．