精品解析：广西壮族自治区南宁市第九中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2025年春学期南宁市第九中学期中考试试卷 高二数学 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 数列，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. ，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式 借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（ ） A. 5，9 B. 5，10 C. 6，10 D. 6，9 3. 已知从甲地直接到丙地有3条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（ ） A. 13条 B. 15条 C. 21条 D. 36条 4. 已知等比数列中，公比，其前项和 ，则（ ） A. B. C. D. 24 5. 设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的最大值是（ ） A. －9 B. －16 C. 16 D. 9 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错或不选得0分.） 9. 已知空间向量，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“”表示的试验结果是（    ） A. 第一枚6点，第二枚2点 B. 第一枚5点，第二枚1点 C. 第一枚2点，第二枚6点 D. 第一枚6点，第二枚1点 11. 下列选项正确的是（    ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. 设函数，且，则 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 二项式的展开式中含项的系数为24，则______． 13. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为______． 14. 已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．（用一般式方程表示） ①倾斜角为；②不经过坐标原点． 四、解答题（本题共5 小题，共77 分.解答时写出必要的过程和文字说明.） 15. 在数列中，已知，. （1）若数列为等差数列，求的通项公式； （2）若数列为等比数列，求的通项公式. 16. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的最小值． 17. 若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： （1）求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； （2）求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 18. 某医院现要从9名男医生，8名女医生中选出4名参加义诊，问： （1）有多少种不同的选法？（用数字作答） （2）如果要求男医生两名，女医生两名，那么有多少种不同的选法？（用数字作答） （3）如果还要将选出的医生安排到四个社区，每个社区一名医生，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 19. 在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，E，F分别为，的中点. （1）若平面与平面的交线为l，证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若平面与线段交于点M，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期南宁市第九中学期中考试试卷 高二数学 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 数列，…的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据规律确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，错误；B选项错误；D选项错误， C选项，，且后面的项也满足，所以C选项正确. 故选：C 2. ，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式 借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（ ） A. 5，9 B. 5，10 C. 6，10 D. 6，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据展开式的二项式系数的规律，直接求出即可． 【详解】解：结合题意可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二项式定理展开式的二项式系数的规律，属于基础题 3. 已知从甲地直接到丙地有3条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（ ） A. 13条 B. 15条 C. 21条 D. 36条 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法和分步乘法计数原理即可直接计算求解. 【详解】由分步乘法计数原理得从甲地到丙地不同的路线有条. 故选：B 4. 已知等比数列中，公比，其前项和 ，则（ ） A. B. C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】写出的表达式，根据等比数列的性质代入即可. 【详解】因为等比数列前项和， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 5. 设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和中点坐标公式表示出M坐标和Ｎ坐标，求出|MＮ|，表示出的面积，从而可求t的值及直线l的斜率． 【详解】不妨设，则，设直线的方程为． 将直线方程代入，化简并整理，得． 由，得． 设，，则，， 所以． 因为点是线段的中点，所以． 由题意，得，所以． 又， 所以的面积． 由已知条件知，所以，解得（满足），所以， 所以直线的斜率为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等多个知识点，体现了对基础性、综合性的考查要求．灵活选用公式将所求三角形的面积表示出来是解题的关键，要求学生具有较强的分析问题和解决问题的能力，必须做到目标明确，思路清晰．当然，也可利用弦长公式求出弦的长，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而表示出相应三角形的面积．善于从多个角度思考问题有利于培养学生思维的发散性． 6. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解． 【详解】对A, ,故A错误； 对B, ,故B正确； 对C, ,故C错误； 对D, ,故D错误. 故选：B 7. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合等比数列的通项公式可得公比，进一步可得结果. 【详解】设等比数列的公比为 由， 所以 故选：A 【点睛】本题考查等比数列通项公式以及基本量的计算，重在计算，属基础题. 8. 函数在区间上的最大值是（ ） A. －9 B. －16 C. 16 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求导可得的极值，从而得到结果. 【详解】因为，令，解得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以在时取得极大值，即最大值， 所以在区间上的最大值是. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错或不选得0分.） 9. 已知空间向量，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量坐标和的运算法则，可得A正确；通过由向量坐标求模的计算公式，可得B正确；由向量数量积计算公式，可得不垂直，得C错误；通过向量坐标的夹角计算公式，可得，得D错误. 【详解】因为， 所以，故A正确； ，所以B正确； ，所以不垂直，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 10. 抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“”表示的试验结果是（    ） A. 第一枚6点，第二枚2点 B. 第一枚5点，第二枚1点 C. 第一枚2点，第二枚6点 D. 第一枚6点，第二枚1点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据的含义作出判断即可. 【详解】因为表示第一枚骰子的点数和第二枚骰子的点数之差， 所以满足的可以是：第一枚点，第二枚点；第一枚点，第二枚点， 故选：AB. 11. 下列选项正确的是（    ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. 设函数，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，则，故A正确； 因为，则，故B错误； 因为，则，故C错误； 因为，则，又， 则，即，所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 二项式的展开式中含项的系数为24，则______． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式，根据已知项系数求参数a即可. 【详解】由二项式展开式通项为，且项的系数为24， 所以，可得. 故答案为： 13. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点求系数即可，结合椭圆的定义求出，进而可求出，从而可得到椭圆的标准方程. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知， 所以． 又因为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．（用一般式方程表示） ①倾斜角为；②不经过坐标原点． 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】根据一般式方程与斜率的关系，结合题意，不经过坐标原点即一般式方程中的常数项非零，即可求解. 【详解】由题意得，斜率， 又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零， 所以，直线的一个一般式方程为. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题（本题共5 小题，共77 分.解答时写出必要的过程和文字说明.） 15. 在数列中，已知，. （1）若数列为等差数列，求的通项公式； （2）若数列为等比数列，求的通项公式. 【答案】（1）或；（2）或或或. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质可构造方程组求得，由等差数列通项公式可求得和，进而得到通项公式； （2）根据等比数列性质可构造方程组求得，由等比数列通项公式可求得和，进而得到通项公式. 【详解】（1）为等差数列，， 又，可解得：或， 设等差数列的公差为，则或， 当时，；当时，， 或； 综上所述：或. （2）为等比数列，， 又，可解得：或， 设等比数列的公比为，或， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上所述：或或或. 16. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导分析的单调性，再求区间内的最小值即可 【详解】（1） ∴切点为， ∴切线方程为： 故函数在处的切线方程 （2） 令 或（舍） 2 － 0 ＋ 递减 最小值 递增 17. 若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： （1）求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； （2）求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 【答案】（1） X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出X的所有可能取值及对应的概率，再列出分布列即得. （2）利用（1）的分布列计算数学期望和方差即可. 【小问1详解】 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， ，或， ，或， ，或， ，或， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【小问2详解】 由（1）可得 18. 某医院现要从9名男医生，8名女医生中选出4名参加义诊，问： （1）有多少种不同的选法？（用数字作答） （2）如果要求男医生两名，女医生两名，那么有多少种不同的选法？（用数字作答） （3）如果还要将选出的医生安排到四个社区，每个社区一名医生，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 【答案】（1）2380 （2）1008 （3）57120 【解析】 【分析】(1)从9名男医生，8名女医生共17名医生中选出4名医生即可； (2)从9名男医生中选出2名医生，从8名女医生中选出2名医生，再按照乘法计数原理进行计算； (3)选出4名医生排列即可求解. 【小问1详解】 从9名男医生，8名女医生中选出4名的选法种数为：； 【小问2详解】 从9名男医生，8名女医生中选出4名，要求男医生两名，女医生两名的选法种数为： ； 【小问3详解】 从9名男医生，8名女医生中选出4名，再将选出的医生安排到四个社区， 每个社区一名医生的安排种数为：. 19. 在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，E，F分别为，的中点. （1）若平面与平面的交线为l，证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若平面与线段交于点M，求的长. 【答案】（1） 如图所示，连接，因为E，F分别是，的中点， 所以， 平面，平面，那么平面， 又平面，平面平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线证得，再利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）根据给定条件，证得直线，，两两互相垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值. （3）设，可求， 求得的法向量为，由，求得，计算可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为菱形，，设中点为G，易知，，两两互相垂直， 故以点A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，所以，，，，，， 显然平面的法向量可以是， 而，，设平面的法向量为， 则，令，解得，， 所以可取， 故 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，则C，E，M，F四点共面.， 由（2）知平面的法向量为， 则，即， 解得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $