精品解析：天津市实验中学滨海学校2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量调查 高二年级数学试卷 命题人：高二数学组 审核人：高二数学组 学科组长：郭军霞 满分150分 时长：100分钟 一､单选题 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算法则和常见函数的导数公式求导即可. 【详解】因为常数的导数为，的导数为， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的求导公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2. 在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由散点图可得答案. 【详解】对于A，散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关系； 对于B，散点落在某条直线附近，这两个变量具有线性相关关系； 对于C，散点落在某条曲线附近，这两个变量具有非线性相关关系； 对于D，散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关性，不具有相关关系． 故选：B． 3. 某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有（ ）把握喜欢篮球与性别有关. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的值以及表格可得答案. 【详解】， 有把握认为喜欢篮球与性别有关， 故选：B. 4. 安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】优先安排甲，结合排列计数原理可得结果. 【详解】安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场， 则甲有种选择，其余名歌手任意排列， 所以，不同的安排方法种数为种. 故选：C. 5. 已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等建立关于的方程，求出；再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得：. 所以奇数项的二项式系数和为. 故选：A. 6. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，求导，然后解不等式可得出所求的单调递增区间． 【详解】函数的定义域为，， ，解不等式，即，解得， 所以，函数的单调递增区间为，故选A． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时注意导数符号与函数单调区间之间的关系，再者就是求出导数不等式的解集后必须与定义域取交集才行，考查计算能力，属于中等题． 7. 若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数单调性和奇偶性判断正负，再将不等式转化为.接着结合函数图象和奇函数性质，确定在不同区间的正负情况，最后根据求出不等式解集. 【详解】解：由图可知在上单调递减，且是奇函数， 所以在上也单调递减， 所以对任意的，， 所以当时，， 当时，，当时，， 由奇函数性质可知，当时，，当时，， 注意到时，没有定义，， 综上所述，不等式的解集是． 故选：． 8. 杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，从第2行开始，第行的第3个数字为， 故从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为 . 故选：B. 9. 如果函数在区间上连续，在区间内可导，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为函数在区间上连续，在区间内可导， 若，例如，则符合题意， 但在上不单调，即充分性不成立； 若在上单调递增，即在上单调递增， 可得，即必要性成立； 综上所述：“”是“在上单调递增”的必要而不充分条件. 故选：B. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数的单调性进而可以即可求解. 【详解】设函数，定义域为，则， 因为当时，，所以当时，， ∴在上单调递增， ∵函数是定义在上的奇函数，， ∴， ∴函数是定义域为的偶函数， ∴的单调递减区间为， ∵，∴，， 当时，等价为，即，解得， 当时，等价为，即，解得， 当时，不符合题意， 综上不等式的解集是， 故选：D. 11. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，借助导数可得、，由可得，即可得解. 【详解】，即， 令，则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 故，故. 故选：C. 12. 已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析单调性可得①正确；由图象可得②错误；由极值结合函数的图象可得③正确；当时，分离参数后构造函数求导，当结合复合函数的单调性可得④正确. 【详解】对于①，当时，，令； 当时，，令， 所以的递增区间是和，故①正确； 对于②，当时，；当时，； 当时，，又在上为递减函数，在为递增函数， 做出函数图象如下： 所以函数有两个零点，故②错误； 对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确； 对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立， 令，， 令可得，所以当时，，为递减函数；当时，，为递增函数， 所以，即， 当时，不等式恒成立， 当时，， 当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可； 综上的最大值为1，故④正确； 故选：D 二､填空题 13. 已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为，结合二次函数的性质求出的取值范围即可． 【详解】解：若在上是单调递增函数， 则在上恒成立， 即，， 故， 故答案为： 14. 若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得的值，然后再利用展开式通项公式求得常数项. 【详解】解：因为的展开式中二项式系数之和为256， 所以，故，即该二项式为 设其展开式的通项为，则， 当时，即，此时该项为 故答案为：28. 15. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可. 【详解】依题意，在区间上有解， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得， 则实数的取值范围为. 故答案为： 16. 已知随机变量服从正态分布，若，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由正态分布的对称性可得. 故答案为：. 17. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由，，， 则， . 故答案为：；. 18. 若，则__________，______． 【答案】 ①. 15 ②. 32 【解析】 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得的值；令中，即可得结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得， 所以； 在中， 令，可得， 故答案为. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和与各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 19. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__________；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】计算出至少有一人是一级射手的情况有几种，再求出选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况的种数，根据条件概率的计算公式即得答案；求出任选一名射手，分别是一、二、三级射手的概率，根据全概率公式即可求得任选一名射手能够获胜的概率. 【详解】由题意得至少有一人是一级射手的情况共有种， 选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况种， 故选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为； 任选一名射手，分别是一、二、三级射手概率分别为， 而一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5， 则任选一名射手能够获胜的概率为， 故答案为：， 20. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 三､解答题 21. 假定某同学每次投篮命中的概率为， （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数的概率分布及数学期望． 【答案】（1） （2）的概率分布为： 【解析】 【分析】（1）有二项分布概率公式计算即可得； （2）分别计算出、、后结合概率分布及数学期望定义计算即可得. 【小问1详解】 令投中次的概率为， 则； 【小问2详解】 的可能取值为、、， ， ， ， 故的概率分布为： 其数学期望. 22. 如图所示，在三棱柱中，平面，，，D是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点. （1）求证平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1） 在三棱柱中，连接，连接， 由，是棱的中点，得是的中点，由为平行四边形， 得为线段中点，于是，而平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再利用线面平行的判定推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在三棱柱中，平面，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 则，显然平面的一个法向量， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 23. 已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意及椭圆的性质有、，即可得椭圆方程； （2）根据题设，设直线方程为，联立椭圆方程，应用韦达定理及坐标表示得到关于k的不等式，即可求范围. 【小问1详解】 由题意知，则；由，则， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 联立，得， 由，得， 设，，则，， 则， 因为，所以，即， ∴，则或， 综上，斜率范围为. 24. 已知函数． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，已知函数有两个相异零点，求证：． 【答案】（1） （2）时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 证明：由题知，， 因为函数有两个相异零点，且 所以且，，即， 所以，方程有两个不相等的实数根， 令，则， 故当时，，时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以，要使方程有两个不相等的实数根，则. 不妨令，则 所以，， 要证，只需证，即证： 因为， 所以，只需证， 只需证，即 故令， 故只需证，成立， 令 则， 在恒成立， 所以，在上单调递增， 因为， 所以在恒成立， 所以，在上单调递增， 所以，，即，成立， 所以，成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问题转化为证明，故令，进一步转化为证明，成立，再构造函数证明不等式即可. 【小问1详解】 解：当时，函数，， 所以，， 所以函数的图像在处的切线方程为，即. 所以，函数的图像在处的切线方程为 【小问2详解】 解：当时，，定义域为， 所以，， 所以，时，在上恒成立，故在上单调递增， 当时，令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意，将问题转化为证明，进而令，再构造函数证明成立即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中质量调查 高二年级数学试卷 命题人：高二数学组 审核人：高二数学组 学科组长：郭军霞 满分150分 时长：100分钟 一､单选题 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有（ ）把握喜欢篮球与性别有关. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 4. 安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 7. 若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（ ） A. B. C. D. 9. 如果函数在区间上连续，在区间内可导，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 记，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 二､填空题 13. 已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是__________. 14. 若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是__________． 15. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为_________ 16. 已知随机变量服从正态分布，若，则____________. 17. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______；______． 18. 若，则__________，______． 19. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__________；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为__________. 20. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 三､解答题 21. 假定某同学每次投篮命中的概率为， （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数的概率分布及数学期望． 22. 如图所示，在三棱柱中，平面，，，D是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点. （1）求证平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 23. 已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 24. 已知函数． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，已知函数有两个相异零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $