精品解析：湖北省武汉市第四十九中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二下学期数学三月考试题 一､单选题（40分，每题只有一个正确选项） 1. 若数列为等比数列，且，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列求导运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前n项和为，若=1，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题6分，共18分，少选得部分分，错选多选得0分） 9. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 10. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 将正奇数依次按第一个括号内1个数，第二个括号内2个数，第三个括号内3个数，第四个括号内4个数，..，第n个括号内有个数，进行排列：，则（ ） A. 第个括号内第一个数为 B. 第个括号内最后一个数为 C. 第个括号内所有数的和为 D. 若前个括号内数的总和不大于2025，则的最大值为9 三､填空题（15分） 12. 已知等差数列的前项和为，，，则__________. 13. 函数的单调增区间是______. 14. 若函数在上有极大值，则实数的取值范围是______. 四､解答题（满分77分） 15. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列落入区间的所有项的和. 16. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 17. 数列各项均为正数，其前项和为，且满足 （1）求证：是等差数列，求及； （2）设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 18. 已知函数. （1）若，求函数在的切线方程； （2）讨论的单调性. 19. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期数学三月考试题 一､单选题（40分，每题只有一个正确选项） 1. 若数列为等比数列，且，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到，即可求出，再根据计算可得； 【详解】解：设等比数列的公比为，因为、，所以，所以； 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导并利用赋值法求得，求得函数解析式，代入计算即可. 【详解】易知， 令可得，解得， 所以，因此. 故选：A 3. 下列求导运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数求导法则对选项ABC逐一判断即可知AB错误，C正确，再结合除法运算法则可得D错误. 【详解】对于A，易知，即A错误； 对于B，，即B错误； 对于C，，可得C正确； 对于D，，即D错误. 故选：C 4. 已知数列的前n项和为，若=1，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，故可求的值. 【详解】因为，所以，而，所以， 故，故为等比数列且首项为1，公比为4， 故， 故选：C. 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，又，， 因此的取值范围是. 故选：A 6. 直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，，得到，用导数法求解. 【详解】解：设，，，，则， ， ， 令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 时，函数的最小值为1， 故选：B 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，可知数列为常数列，即可求得的值. 【详解】因为，所以，即， 所以，故数列为常数列，故， 因此，. 故选：C. 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意构造函数，则函数在区间上为增函数，转化为对任意的恒成立，参变分离，令，则，利用导数求解的最大值即可得解. 【详解】函数的定义域为，当时，恒成立， 即，构造函数，则， 所以，函数在区间上为增函数， 则对任意的恒成立，所以， 令，其中，则. 因为，所以函数在上单调递减； 又，所以. 因此，实数的取值范围是. 故选：D 二､多选题（每小题6分，共18分，少选得部分分，错选多选得0分） 9. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象判断出的符号，由此确定正确答案. 【详解】根据函数的图象可知， 在区间，单调递增； 在区间，单调递减. 所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增， 是的极小值点， 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 10. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围，结合选项即可判断． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意． 故选：CD. 11. 将正奇数依次按第一个括号内1个数，第二个括号内2个数，第三个括号内3个数，第四个括号内4个数，..，第n个括号内有个数，进行排列：，则（ ） A. 第个括号内第一个数为 B. 第个括号内最后一个数为 C. 第个括号内所有数的和为 D. 若前个括号内数的总和不大于2025，则的最大值为9 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析数阵的排列规律，结合等差数列和的和，逐项判断即可. 【详解】正奇数从小到大为等差数列， 第个括号内第一个数对应依次为：，则. 对A，第行第一个数为A对； 对B，第行最后一个数为第行第一个数减2，即，B错； 对C，第行所有数的和为首项为，公差为2的等差数列的前项和， 即对； 对D，由C可知前行总和， 则有当时，，当时，， 故数阵前行总和不大于2025时的最大值为对. 故选：ACD 三､填空题（15分） 12. 已知等差数列的前项和为，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，，， 故. 故答案为：. 13. 函数的单调增区间是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据函数导数求解函数的单调增区间； 【详解】函数的定义域为 因为， 令，则， 所以的单调增区间为，. 故答案为：，. 14. 若函数在上有极大值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，设，利用对勾函数性质求出单调性和最值，根据极大值的概念结合对勾函数的性质可得实数的取值范围． 【详解】由题意， 因为函数在上有极大值， 所以在内有解，且该解两侧导函数符号由正变负， 所以在内有解，记， 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增；且， 所以，此时在有解，在解左侧满足，右侧， 满足极大值条件，所以. 故答案为： 四､解答题（满分77分） 15. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列落入区间的所有项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）解不等式，求出正整数的可能取值，利用分组求和法结合等比数列的求和公式可求得结果. 【小问1详解】 因为，则，且， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 令，即，因为，所以，， 满足条件的数列的各项之和为 ， 所以数列落入区间的所有项的和为. 16. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，的极小值为 . 【解析】 【分析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值； （2）由（1）的结果知于是可用导函数求的单调区间； 【详解】（1）对求导得， 由在点处切线垂直于直线， 知解得； （2）由（1）知， 则 令，解得或. 因不在的定义域内，故舍去. 当时，故在内为减函数； 当时，故在内为增函数； 由此知函数在时取得极小值. 17. 数列各项均为正数，其前项和为，且满足 （1）求证：是等差数列，求及； （2）设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 【答案】（1）证明如下，， ，当时，， 整理得，，又， 数列为首项和公差都是的等差数列. ，又，， 时，， 又适合此式， 数列的通项公式为. （2），正整数的最大值为 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可知是等差数列，确定该数列的首项和公差，结合可求得的表达式，再由可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，利用数列的单调性求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 随着逐渐增大，逐渐增大， ，依题意有，，即，解得， 故所求最大正整数的值为. 18. 已知函数. （1）若，求函数在的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【解析】 【分析】（1）当时，求出、，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间. 【小问1详解】 当时，，所以，则，， 故当，函数在的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，其中， 当时，，由得；由得. 当时，令， 令得，， 当时，由得；由得. 当，即时，由得； 由得. 当，即时，对任意的恒成立； 当，即时，由得， 由得. 综上，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 19. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）由得，即， 又，所以是以是为首项，为公比的等比数列. 所以，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）对递推关系两边取倒数得，再利用构造等比数列，即可得答案； （2）求出，再利用错位相减求和，根据数据的单调性，可求得参数的取值范围； 【详解】（1）略 （2），所以，. 两式相减得，所以， 所以. 令，易知单调递增， 若为偶数，则，所以； 若为奇数，则，所以，所以. 综上所述. 【点睛】利用构造等比数列可求解形如递推关系的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $