2025年上海市静安区中考数学二模同考点练习试卷

2025年上海市静安区中考数学二模试卷 同考点练习卷 同考点练习在保持核心考点不变的条件下替换题目，在多样化的题目情境中反复巩固核心知识点。 题号 一 二 三 总分 得分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是  (    ) A. B. C. D. 2.下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图在数轴上对应的点可能是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4.下列判断错误的是(    ) A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C. 四个内角都相等的四边形是矩形 D. 两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 5.随机抽取甲、乙两位同学一周内每天完成书面家庭作业的时间，并绘制了如图折线统计图下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是(    ) A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 6.如图，已知线段的长为，圆的半径为，点是线段上一点，以为圆心、为半径作圆，将圆绕点旋转得到圆，点是点的对应点，如果圆与圆相切，那么符合条件的点的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.已知，，为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为，则的值为______． 8.已知，则 ______ 9.要使式子有意义，则的取值范围是          ． 10.在实数范围内分解因式：___________________． 11.方程的解为____________ 12.我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有____人． 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点作轴的垂线与射线交于点若，则的值为           ． 14.周老师根据班级学生某次练习中某道题满分分的答题情况，绘制了如下统计图这道题该班学生得分的众数和中位数分别是______分，______分 15.如图，点是的重心，联结，如果，那么 ______． 16.如图是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为________参考数据： 17.甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，的卡片，乙中有三张标有数字，，的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现从甲中任取一张卡片，将其数字记为，从乙中任取一张卡片，将其数字记为则，能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为          ． 18.如图，矩形中，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为          ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分解不等式组：． 20.本小题分先化简，再求值：，其中． 21.本小题分如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． 求证：四边形是矩形 连接，交于点，当，时，直接写出的长． 22.本小题分红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲种灯笼与用元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多元经市场调查发现，乙种灯笼每对售价元时，每天可售出对，售价每提高元，则每天少售出对，物价部门规定其销售单价不高于每对元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． 求甲、乙两种灯笼每对的进价； 当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 23.本小题分已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、． 求证：； 当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形． 24.本小题分在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点，连接，，抛物线的顶点为． 求抛物线的解析式； 若点是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交轴于点，交于点，连接，如图所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点，使得，若存在求出点坐标；若不存在，请说明理由； 如图，连接，点为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点的坐标． 25.本小题分感知定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数； 如图，在钝角三角形中，，，，的面积为，求证：是“类直角三角形”． 如图，在中，，，，在边上是否存在点，使得是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市静安区中考数学二模试卷 同考点练习卷 同考点练习在保持核心考点不变的条件下替换题目，在多样化的题目情境中反复巩固核心知识点。 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：单项式：，，，，，， 第个单项式为， 故选：． 2.下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 3.如图在数轴上对应的点可能是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A  【解析】解：由， 得， 故应选：． 由，即可得，从而得答案 本题主要考查了数轴，解题关键是正确判断． 4.下列判断错误的是(    ) A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C. 四个内角都相等的四边形是矩形 D. 两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D  【解析】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 选项A不符合题意； B、 一条对角线平分内角， ， ▱， ， ， ， 四边形是菱形， 选项B不符合题意； C、四个内角都相等的四边形是矩形， 选项C不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形， 选项D符合题意； 故选：． 5.随机抽取甲、乙两位同学一周内每天完成书面家庭作业的时间，并绘制了如图折线统计图下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是(    ) A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】A  【解析】解：由图可得， ， ， 故平均数不能反映出这两组数据之间差异，故选项B不符合题意； 甲和和乙的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项C和不符合题意； 由图象可得，甲的数据波动大，不稳定，乙数据波动小，比较稳定，能反映出这两组数据之间差异，故选项A符合题意； 故选：． 6.如图，已知线段的长为，圆的半径为，点是线段上一点，以为圆心、为半径作圆，将圆绕点旋转得到圆，点是点的对应点，如果圆与圆相切，那么符合条件的点的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】 解；如图所示，当圆与圆相切外切和内切时，分别有个和个点符合题意， 故选：． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.已知，，为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为，则的值为______． 【答案】  【解析】解：，，为互不相等的三个有理数，且， 的最小值为， ， ， ， 故答案为：． 8.已知，则 ______ 【答案】  【解析】解：由题意可得： ， ，， 原式． 故答案为：． 9.要使式子有意义，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 10.在实数范围内分解因式：___________________． 【答案】  【解析】解：   11.方程的解为____________ 【答案】  【解析】 解：把方程两边平方得， 整理得， 解得：或，经检验，是原方程的解．故本题答案为：． 12.我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有____人． 【答案】  【解析】解：设有牧童人， 根据题意：， 解得，答：牧童有人． 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点作轴的垂线与射线交于点若，则的值为           ． 【答案】  【解析】解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点，    点，，， 点，，， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点，， 点，是函数图象上的两点， ， 解得， 故答案为：． 14.周老师根据班级学生某次练习中某道题满分分的答题情况，绘制了如下统计图这道题该班学生得分的众数和中位数分别是______分，______分 【答案】    【解析】解：出现次数最多的得分为分，有人，所以众数为分， 总人数为人，处于中间位置的数为和， 所以中位数为分． 故答案为：，． 15.如图，点是的重心，联结，如果，那么 ______． 【答案】  【解析】解：延长交于点， 则点为的中点． ， ， ， ． 点是的重心， ． 故答案为：． 16.如图是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为________参考数据： 【答案】  【解析】解：过点作，过点作，如图， 中，， 中，， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故答案为． 17.甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，的卡片，乙中有三张标有数字，，的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现从甲中任取一张卡片，将其数字记为，从乙中任取一张卡片，将其数字记为则，能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为          ． 【答案】  【解析】 解：画树状图如下： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 由图可知，共有种等可能的结果，其中能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的结果有种， 能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为， 故答案为：． 18.如图，矩形中，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为          ． 【答案】或  【解析】 解：作平分交于点，作于点， 由题意知， ， 是以为圆心，长为半径的圆弧与的交点， 易知有两种情况，，，， 第一种情况：如图， 在中，， ， ， 作，垂足为． 在中，易求得， ，设，则，， 在中，， 即，解得， 即， 第二种情况：如图， 作，垂足为， 同理求得． 综上所述，的长为或． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 解不等式组：． 【答案】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 此不等式组的解集为：．  20.本小题分 先化简，再求值：，其中． 【答案】解： ， 当时， 原式．  21.本小题分 如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． 求证：四边形是矩形 连接，交于点，当，时，直接写出的长． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形． 又菱形， ， ． 四边形是矩形； 解：如图， 中，， ， ，， ，， ， ， ∽， ：：：， ， ．  22.本小题分 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲种灯笼与用元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多元经市场调查发现，乙种灯笼每对售价元时，每天可售出对，售价每提高元，则每天少售出对，物价部门规定其销售单价不高于每对元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． 求甲、乙两种灯笼每对的进价； 当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】甲种灯笼每对的单价为元，乙种灯笼每对的单价为元；   当乙种灯笼每对的销售单价为元时，一天获得利润最大，最大利润是元．  【解析】解：设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲种灯笼每对的单价为元，乙种灯笼每对的单价为元； 设该商店一天通过乙种灯笼获得利润元，乙种灯笼每对的销售单价为元， 则 ， 函数有最大值，该二次函数图象的对称轴为：， 时，随的增大而增大， 物价部门规定其销售单价不高于每对元， ， 当时，元． 答：当乙种灯笼每对的销售单价为元时，一天获得利润最大，最大利润是元． 23.本小题分 已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、． 求证：； 当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形． 【答案】证明：过点作于点，于点，如图， ，，， ，． ， ， 即：． 在和中， ， ≌． ； 连接，如图， ，， ， ． ， ∽， ． ， ， ， ． ， ． ，，， ， ， ． ， ， 四边形为梯形， ， 四边形为等腰梯形．  24.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点，连接，，抛物线的顶点为． 求抛物线的解析式； 若点是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交轴于点，交于点，连接，如图所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点，使得，若存在求出点坐标；若不存在，请说明理由； 如图，连接，点为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点的坐标． 【答案】【详解】解：把点，代入抛物线得： 解得： 抛物线的解析式为：； 解：不存在，理由如下： 连接，过点作轴，交于点，交轴于点，如图所示： 把代入得：， ， 设直线的解析式为：，把代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 设点的坐标为，则， ，， ， 轴， ， ，即， ，， ， ， 当时，的最大值为， ， 不存在这样的点，使得； 解：连接，在上取点，如图所示： ， ， ，， ， ， 即， 为直角三角形，， 设，则， 根据勾股定理得：， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 过点作，取，连接，过点作轴于点，以的中点为圆心，的长为半径画圆，与抛物线的对称轴交于点，连接，，，如图所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ，即， ， ， 设，则， 解得：或， 或． 25.本小题分 感知定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数； 如图，在钝角三角形中，，，，的面积为，求证：是“类直角三角形”． 如图，在中，，，，在边上是否存在点，使得是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】解：和． 有一个内角为， 另外两个内角和为， 设两个内角与 即 两个内角与满足， 解得，， 故答案为：和； 证明：如图，过点作，交的延长线于点． ，， ． 在中， ， ， ， ，， ， 又， ∽， ， ， ， 是“类直角三角形”． 存在，理由：由易得，当时，为“类直角三角形”． 由，，，得． 设，则， 解得，即，也即当时，为“类直角三角形” ， ， 由定义知，当时，可满足为“类直角三角形”，则为的角平分线， 过点作交于点， 设，则，， 则，即， 解得，即， 综上，当或时，是“类直角三角形”．  第6页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$