精品解析：天津市滨海新区塘沽渤海石油第一中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

渤油一中2023－2024学年度第二学期高一年级 数学学科期中考试试卷 试卷说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考100分钟． 2．请把试卷上的所有答案按照题号填写在指定答题纸上，考试结束后上交答题纸． 第Ⅰ卷（选择题共14题，每题5分，共70分） 一、选择题（共14小题，每题5分，共70分） 1. 已知是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个长方体长、宽、高分别是4，4，3，则它的体积为（ ）. A. 48 B. 40 C. 80 D. 16 3. 棱台的上、下底面面积分别为、，高为3，则棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（　　） A. 12 B. C. D. 7. 如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 在中，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 10. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为，那么这个球体的体积为（ ） A. B. C. D. 11. 若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，，与之间的夹角为，则=（ ） A. 1 B. C. D. 13. 已知，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 14. 设、是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ） A. B. C. D. 第二卷（共75分） 二、填空题（共8小题，每题5分，共40分） 15. 若是虚数单位，则______． 16. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为______． 17. 下列命题中错误的序号是______． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱． ②用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫棱锥 ④圆柱的母线与它的轴可以不平行 ⑤一个多面体至少有3个面 ⑥底面是正方形的四棱柱是正方体 18. 已知向量，，若，则实数的值为______；已知向量，，若，则实数的值为______． 19. 设，为不重合的平面，，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为______． ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则； ④若，，，则； 20. 如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则_________． 21. 已知，，与的夹角为，求的值______；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围______． 22. 已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为______． 三、解答题（共4小题，每题10分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 取何实数时，复数． （1）是实数？ （2）是虚数？ （3）是纯虚数？ 24. 已知的内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 25. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，． （1）求和的值； （2）求三角形BC边的中线长； （3）求的值． 26. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渤油一中2023－2024学年度第二学期高一年级 数学学科期中考试试卷 试卷说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考100分钟． 2．请把试卷上的所有答案按照题号填写在指定答题纸上，考试结束后上交答题纸． 第Ⅰ卷（选择题共14题，每题5分，共70分） 一、选择题（共14小题，每题5分，共70分） 1. 已知是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可求解. 【详解】因为， 所以共轭复数为. 故选：C. 2. 如果一个长方体长、宽、高分别是4，4，3，则它的体积为（ ）. A. 48 B. 40 C. 80 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】将长、宽、高代入长方体体积公式即可求得结果. 【详解】根据长方体体积公式可得. 故选：A 3. 棱台的上、下底面面积分别为、，高为3，则棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入棱台的体积公式计算即可. 【详解】设棱台的上、下底面面积分别为，则，所以. 故选：A. 4. 若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式即可. 【详解】设该圆锥的侧面展开图面积为,底面半径为，母线长为， 则， 故选：B. 5. 已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得. 【详解】由题意设底面半径为，母线为， 圆柱的侧面积为. 故选：C. 6. 已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（　　） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式及四面体表面积的意义计算即得. 【详解】棱长为2，各面均为等边三角形的四面体， 其表面积为：. 故选：C 7. 如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】在直观图中，，而，因此是等腰直角三角形， 利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由等腰斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：D 8. 在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得. 故选：A 9. 在中，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦边角关系得，设（），应用余弦定理确定的符号，结合为最大内角，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 设（），则，， 由余弦定理得，则为锐角， 又为最大内角，故为锐角三角形. 故选：C 10. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为，那么这个球体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体特征求出外接球半径，结合球体的体积公式求解答案. 【详解】长方体的体对角线长，即外接球的直径长为， 所以外接球半径为， 所以这个球体的体积. 故选：D 11. 若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为. 故选：B 12. 已知，，与之间的夹角为，则=（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：B 13. 已知，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 14. 设、是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得、可以作为平面内的一组基底，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为、是两个不共线向量，所以、可以作为平面内的一组基底， 又向量与向量共线，所以， 即，所以，解得. 故选：B 第二卷（共75分） 二、填空题（共8小题，每题5分，共40分） 15. 若是虚数单位，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用的整数次幂的周期性求解即得. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为：0 16. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据球体表面积与体积公式，确定比例关系， 【详解】设两球的半径分别为，， ∵球体表面积公式，， ∴， ∵球体体积公式， ∴. 故答案为： 17. 下列命题中错误的序号是______． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱． ②用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫棱锥 ④圆柱的母线与它的轴可以不平行 ⑤一个多面体至少有3个面 ⑥底面是正方形的四棱柱是正方体 【答案】①②③④⑤⑥ 【解析】 【分析】利用棱柱、棱锥、圆柱的结构特征逐一判断各个命题即得. 【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，①错误； 对于②，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，②错误； 对于③，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，③错误； 对于④，圆柱的母线与它的轴平行，④错误； 对于⑤，一个多面体至少有4个面，⑤错误； 对于⑥，底面是正方形，且侧棱长与底面边长相等的直四棱柱是正方体，⑥错误， 所以错误命题的序号是①②③④⑤⑥. 故答案为：①②③④⑤⑥. 18. 已知向量，，若，则实数的值为______；已知向量，，若，则实数的值为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示分别列式求解. 【详解】由向量，，，得，所以； 由向量，，，得，所以. 故答案为：； 19. 设，为不重合的平面，，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为______． ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则； ④若，，，则； 【答案】① 【解析】 【分析】利用平行公理判断①；利用线面、面面位置关系判断②③④. 【详解】对于①，若，则，①正确； 对于②，由，得与平行或相交或者是异面直线，②错误； 对于③，由，得或，③错误； 对于④，由，得或与是异面直线，④错误， 所以正确命题的序号为①. 故答案为：① 20. 如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：所以，则； 考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理； 21. 已知，，与的夹角为，求的值______；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算性质求解；再利用向量夹角公式及共线向量定理列式求解. 【详解】依题意，， ； 由向量与的夹角是锐角， 得，且与不共线， 即，且， 整理得，且，解得且 所以实数的取值范围为. 故答案为：； 22. 已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三棱柱的体积公式求出棱长，再利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，由体积为， 得，解得：，设点到平面的距离为， 由，得等腰底边上的高为， 则，取的中点，连接，则， 由平面，面，得，而， 平面，因此平面，在中，， 由，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 故答案为： 三、解答题（共4小题，每题10分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 取何实数时，复数． （1）是实数？ （2）是虚数？ （3）是纯虚数？ 【答案】（1）或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）对于复数（），当时，为实数，构造方程计算； （2）对于复数（），当时，为虚数，构造方程计算； （3）对于复数（），当且时，为纯虚数，构造方程计算. 【小问1详解】 当复数为实数时，其虚部等于零，即. 可得或，即或. 所以，当或时，复数为实数. 【小问2详解】 当复数为虚数时，其虚部不等于零，即，得且，即且. 所以，当且时，复数为虚数. 【小问3详解】 当复数为纯虚数时，其实部等于零且虚部不等于零，即. 解方程，可得或，即或. 结合，即，可得且. 综合以上两个条件，舍去，所以. 所以，当时，复数为纯虚数. 24. 已知的内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的周长. 【小问1详解】 解：由， 利用正弦定理可得，化为， 所以，，，. 【小问2详解】 解：，且，所以，， 由余弦定理可得， 所以，，解得， 因此，周长为. 25. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，． （1）求和的值； （2）求三角形BC边的中线长； （3）求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）确定锐角，求得，由余弦定理求得，再由正弦定理得； （2）在中由余弦定理求得中线， （3）确定是锐角，求得，由二倍角公式求得，然后由两角和的正弦公式求值． 【详解】（1）在中，因为，故由，可得． 由已知及余弦定理，有，所以. 由正弦定理,得. 所以，的值为，的值为. （2）设BC边的中点为D，在中， 由余弦定理得:， （3）由（1）及，得，所以， ． 故． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算． 26. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的判定进行证明. 【小问1详解】 显然平面，于是. 【小问2详解】 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【小问3详解】 为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $