精品解析：上海市上海大学附属嘉定高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上大嘉高2024学年第二学期期中考试 高二年级数学学科试卷 试卷满分150分，答题时间：120分钟 一．填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. ________. 2. 直线x+y+1=0的倾斜角为_______． 3. 准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______. 4. 已知事件与事件独立，且，，则=________. 5. 有一组数据如下：，这组数据的第75百分位数为______． 6. 已知数列是等比数列，其前n项和为，若，则公比=______． 7. 若二项式展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________. 8. 有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有______种． 9. 若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为______． 10. 已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 11. 如图，圆锥型容器内盛有水，水深，水面直径放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为________． 12. 正方体的棱长为2，点是棱上一点，且，则符合要求的点的个数为_________. 二．选择题（本大题共4题，第题每题4分，第夏每题5分，共18分） 13. 跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定不改变的是（    ） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差 14. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 15. 圆与圆的位置关系不可能为（    ） A. 相切 B. 相交 C. 内含 D. 外离 16. 若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共5题，共分） 17. 已知直线，． （1）若，求的值； （2）若，求与间的距离． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若平面，且，求点到平面的距离. 19. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 20. 某公司的业务部有100人，技术部有50人，后勤部有150人，采用分层抽样的方式，对这三个部门进行公司福利满意度问卷调查，其中业务部的问卷数据如下： （满分10分） 6.2 6.5 7.3 7.4 7.5 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 8.1 8.2 8.3 8.5 8.8 9.1 9.1 9.2 9.3 （1）请根据上述数据绘制茎叶图并计算其极差、标准差、平均值（结果保留两位有效数字） （2）若技术部抽样数据的均值为6.5，方差为0.32，后勤部抽样数据的均值为9.1，方差为1.25，求整体抽样数据的均值和方差（结果保留两位有效数字） （3）结合调查情况，分析公司福利情况并提出一些建议. 21. 已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，离心率为，点是椭圆上不同的三个点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为，且（），求证：直线过定点． （3）若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上大嘉高2024学年第二学期期中考试 高二年级数学学科试卷 试卷满分150分，答题时间：120分钟 一．填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比求和公式即可求解. 【详解】， 故. 故答案为： 2. 直线x+y+1=0的倾斜角为_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由直线方程可知直线的斜率为，根据直线斜率与倾斜角的关系可知，所以，因为，所以． 考点：直线的斜率与倾斜角． 3. 准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据准线方程即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 4. 已知事件与事件独立，且，，则=________. 【答案】0.12 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式即可求解. 【详解】由于事件与事件独立，故, 故答案为：0.12 5. 有一组数据如下：，这组数据的第75百分位数为______． 【答案】34 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排列为： 由于，故这组数据的第75百分位数为第6个数和第7个数的平均数，即， 故答案为：34 6. 已知数列是等比数列，其前n项和为，若，则公比=______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由可知公比不为1， 当时，,符合题意； 当时，，故， 故答案为：或 7. 若二项式展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________. 【答案】15 【解析】 【详解】二项式展开式中各项系数的和为64，令，得的通项为，令，常数项为，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 8. 有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有______种． 【答案】 【解析】 【分析】先确定丙站在正中间，然后分甲乙都在丙的左手边和甲乙都在丙的右手边计数，最后利用分类加法计数原理求排法总数. 【详解】由题知，当丙站在正中间，其左右各有4个位置， 若甲乙两位同学站在一起且都在丙的左手边，则从剩下6个人中选2个人，连同甲乙一起站在丙的左手边，其余4个位置的人站法按全排列站在丙的右手侧， 有种， 同理，当甲乙两个人站在丙的右手侧时，有种 由分类加法计数原理知，共有种排法. 故答案为： 9. 若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离等于半径即可求解圆的半径得解. 【详解】设圆的方程为， 的渐近线方程为， 故，解得， 故圆的方程为， 故答案为： 10. 已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 【答案】或， 【解析】 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 11. 如图，圆锥型容器内盛有水，水深，水面直径放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，以及球的体积公式，结合相似即可求解.. 【详解】作出相关图形，显然，因此，故 因此放球前， 球与边相切于点，故，则，所以，， 所以放球后，而，而， ，解得，. 故答案为： 12. 正方体的棱长为2，点是棱上一点，且，则符合要求的点的个数为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，分类讨论求解方程的根即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，解得，故此时， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，解得，此时存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，，此时存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 综上可得：符合条件的有3个， 故答案为：3 二．选择题（本大题共4题，第题每题4分，第夏每题5分，共18分） 13. 跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定不改变的是（    ） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、极差的定义，分析可得答案． 【详解】对于A：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，中位数一定不变，故A正确； 对于B，平均数可能变大、变小或不变，B错误； 对于C：当首、末两端的数字去掉后，极差可能会变小，C错误； 对于D：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故D错误. 故选：A 14. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系逐项判断. 【详解】对于A，若，，则，可以平行、相交或异面，故A错误； 对于B， 如图，满足，，但是，故B错误； 对于C，由，则可沿某个平面平移至平面内， 又，则垂直于平面内任意直线，易得，故C正确； 对于D，若，由于不一定相交，故平行或相交都有可能，故D错误. 故选：C 15. 圆与圆的位置关系不可能为（    ） A. 相切 B. 相交 C. 内含 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 16. 若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出曲线的图形，即可根据相切求解斜率，结合图形即可求解. 【详解】当时，，此时曲线为开口向右的抛物线， 由于曲线关于轴对称，因此可作出曲线图象如下： 直线恒过定点, 当直线与相切时，则， 故，解得或， 结合图形可知此时，故， 同理直线与相切时，， 故当与直线没有公共点，则或， 故选：B 三．解答题（本大题共5题，共分） 17. 已知直线，． （1）若，求的值； （2）若，求与间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据给定条件直接列式计算即可得解. (2)由两直线平行求出m值，再借助平行线间距离公式计算即得. 【小问1详解】 因为，则有，解得， 所以的值为. 【小问2详解】 当或重合时，，或， 当时，，此时两直线重合，不符合题意， 当时，，，即，此时两直线平行，满足条件， 于是得， 所以与间的距离为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若平面，且，求点到平面的距离. 【答案】（1） 取线段、的中点分别为、，连接, 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得线线平行，进而可证明四边形为平行四边形，即可根据线面平行的判定求解， （2）利用等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 由得 19. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】（1） （2）最小值； 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 20. 某公司的业务部有100人，技术部有50人，后勤部有150人，采用分层抽样的方式，对这三个部门进行公司福利满意度问卷调查，其中业务部的问卷数据如下： （满分10分） 6.2 6.5 7.3 7.4 7.5 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 8.1 8.2 8.3 8.5 8.8 9.1 9.1 9.2 9.3 （1）请根据上述数据绘制茎叶图并计算其极差、标准差、平均值（结果保留两位有效数字） （2）若技术部抽样数据的均值为6.5，方差为0.32，后勤部抽样数据的均值为9.1，方差为1.25，求整体抽样数据的均值和方差（结果保留两位有效数字） （3）结合调查情况，分析公司福利情况并提出一些建议. 【答案】（1）极差为3.1，平均数为8，标准差为0.83 （2）平均数为8.3，方差为1.8 （3）公司福利可向技术部门有所倾斜. 【解析】 【小问1详解】 茎叶图如图所示： 极差为， 平均值为 方差为： 故标准差为： 【小问2详解】 整体抽样数据的均值， 整体抽样数据的方差 【小问3详解】 公司三个部门对满意度存在较大的差异，技术部门的满意度较低，方差较小， 后勤部门的满意度较高，但方差较大，根据这些情况，公司福利可向技术部门有所倾斜. 21. 已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，离心率为，点是椭圆上不同的三个点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为，且（），求证：直线过定点． （3）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 设， 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由得，， ； 当斜率存在时，设方程为， 由得，， 则， 则 ， 所以直线方程为， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点． （3） 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，由椭圆上顶点为得出，再根据离心率为，即可求解； （2）分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线方程为，联立方程组，结合（）得出直线过定点横坐标为；当斜率存在时，设方程为，联立方程组，由韦达定理及已知得出，代入直线方程即可证明； （3）设，分类讨论，当直线的斜率不存在时得出面积表达式，当直线斜率存在，设直线方程为，由表示出点坐标，代入椭圆方程得，再根据椭圆弦长公式和点到直线距离公式即可计算面积． 【小问1详解】 设椭圆方程为， 由题可知，，又离心率为， 所以， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ①当直线斜率不存在，此时点关于轴对称， 又点是椭圆上不同的三个点，所以点必在长轴顶点处， 不妨设，且， 由得，，即， 将代入，得，则， 点到的距离为，则； ②当直线斜率存在，如图： 由（2）知，,，， 进而，. 由得，， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 代入韦达定理得，， 线段， 点到直线的距离 ， 所以 ， 综上所述，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $