精品解析：2025年河南省驻马店市驿城区部分初中联考一模数学试题

2025年河南省驻马店市驿城区部分初中联考一模数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A B. C. D. 5. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作，是中国 传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，且，，．将绕点O逆时针旋转，得到四边形，使点C的对应点落的延长线上，与交于点E，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 生物学研究表明，当光合作用与呼吸作用强度的差越大时，植物体内积累的有机物越多，产量也就越高．为了解某经济作物的产量与种植密度的关系，研究人员通过实验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变 B. 种植密度越大，该经济作物的产量越高 C. 种植密度为d时，该经济作物的产量最高 D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的的值_____． 12. 若点在第二象限，则x的取值范围是______． 13. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是______． 14. 小青和小云研究某一年阳历6月份日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小青：这个月有5个星期日； 小云：这个月所有星期五的日期之和不为70． 请根据小青和小云两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期四是______号（填日期）． 15. 如图，在中，，，，在直线左侧找到一点D，使四边形满足一组对边平行且有一组对角互余，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 B 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________，___________；（填“”或“”） （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； （3）你认小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）． 18. 如图，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点C在（2）中所作角平分线上，且，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 19. 如图1，桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．线段代表固定支架，与地面垂直，点、点分别代表重物和水桶（重物和水桶的大小忽略不计），线段是无弹力、固定长度的麻绳，，始终与地面垂直．． （1）如图2，当水桶C的位置低于地面时，，求这个桔槔支架的高度； （2）如图3，向上提水桶C，当时，求此时水桶C到地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，） 20. 如图，中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 22. 如图1，抛物线图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 23. 定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． （2）在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省驻马店市驿城区部分初中联考一模数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数比较大小的方法解答即可；正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】∵， ∴各数中最大的是2； 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，属于应知应会题目，熟练掌握比较有理数大小的方法是关键． 2. 中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三视图．熟练掌握三视图是解题的关键． 根据立体图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该茶杯的主视图和左视图相同． 故A选项符合题意． 故选：A． 3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：100亿， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据合并同类项，同底数幂乘法，同底数幂的除法运算，积的乘方运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，掌握基础的运算法则是解本题的关键． 5. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作，是中国 传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键． 【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为，，，，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即和《大学》（即的可能结果有2种可能， （抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）， 故选：B． 6. 将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，利用直尺的对边平行可得，根据，求得，再根据三角形的外角性质即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．求出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，是解题关键找准等量关系，“提速前后所用时间相同”，列出方程． 【详解】解：设提速后平均速度为，则提速前列车的平均速度为：， 根据题意得：， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，且，，．将绕点O逆时针旋转，得到四边形，使点C的对应点落的延长线上，与交于点E，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握是解答本题的关键． 过点作于点，过点作轴于点，根据题意可求，再利用勾股定理可求，易证，求得，易证，求得，即可求解． 详解】解：设交轴于点，过点作于点，过点作轴于点， ， 由四边形是平行四边形，， 可得，，， ， 由旋转得，，， 在和中， ， ， ， 在直角中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：B． 10. 生物学研究表明，当光合作用与呼吸作用强度的差越大时，植物体内积累的有机物越多，产量也就越高．为了解某经济作物的产量与种植密度的关系，研究人员通过实验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变 B. 种植密度越大，该经济作物的产量越高 C. 种植密度为d时，该经济作物的产量最高 D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象，根据经济作物的种植密度与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系解答此题即可 【详解】解：A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后变小，故原选项说法错误，不符合题意； B. 种植密度为时，该经济作物的产量最高，故原选项说法错误，不符合题意； C. 种植密度为时，光合作用强度和呼吸作用的强度差最大，植物体内积累的有机物最多，该经济作物的产量最高，故原选项说法错误，不符合题意； D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量,说法正确，符合题意， 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的的值_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的有意义的条件．二次根式被开方数大于等于零时，二次根式有意义，据此解答． 【详解】解：要使若在实数范围内有意义， 则， 即， 则写出一个满足条件的的值为5． 故答案为：5（答案不唯一）． 12. 若点在第二象限，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查象限内的坐标特征，以及求一元一次不等式组的解集，根据第二象限内横坐标小于零，纵坐标大于零，建立一元一次不等式组求解，即可解题． 【详解】解：点在第二象限， ， 解①得：， 解②得：， 则x的取值范围是， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出，，再根据旋转的性质得到，，，则，接着在中计算出，从而得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：，， ，，， 将绕点逆时针旋转后得到， ，，， ， 在中， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，则 或（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了旋转的性质． 14. 小青和小云研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小青：这个月有5个星期日； 小云：这个月所有星期五的日期之和不为70． 请根据小青和小云两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期四是______号（填日期）． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查推理与论证，根据题意可知6月有30天，若要包含5个星期日，第一个星期日必须在1日或2日，再分两种情况，讨论星期五的日期之和是否为70，可确定6月1日是星期日，进而确定每星期三的号数． 【详解】解：由小青的条件可知，6月有30天， 若要包含5个星期日，第一个星期日必须在1日或2日， 当6月1日是星期六时，则2日为星期日，后续星期日为9日、16日、23日、30日（共5个）， 结合小云的条件，可知星期五的日期为7日、14日、21日、28日，和为 ，与条件矛盾，不符合题意； 当6月1日是星期日时，后续星期日为8日、15日、22日、29 日（共5个）， 结合小云的条件，则星期五的日期为6日、13日、20日、27 日， 和为，符合条件，符合题意； 当6月1日是星期日时，星期四的日期分别为5号、12号、19号、26号， 第三个星期四是19号， 故答案为：19． 15. 如图，在中，，，，在直线左侧找到一点D，使四边形满足一组对边平行且有一组对角互余，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．分两种情况讨论如下：①当，时，过点作，交的延长线于，先求出，，则，进而得，证明四边形为矩形得，，则，然后在中，利用勾股定理即可求出的长；②当，时，过点作，交的延长线于，同理，，证明为等边三角形得，，进而得，，则，然后在中，利用勾股定理即可求出的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论如下： ①当，时，过点作，交的延长线于，如图1所示： 在中，，，， ， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 即， ， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ②当，时，过点作，交的延长线于，如图2所示： 同理：，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）8；（2） 【解析】 【分析】此题考查了立方根和负整数指数幂，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算立方根和负整数指数幂，然后计算加减； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 B 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________，___________；（填“”或“”） （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； （3）你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）． 【答案】（1） （2）我认为小罗应该选择A，理由见解析 （3）还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数，方差． （1）根据平均数的定义求出，根据众数的定义求出，根据中位数的定义求出，根据方差的定义比较和即可； （2）根据统计量意义判断，并说明理由即可； （3）根据题意结合人工智能产品的特点回答即可． 【小问1详解】 解：A人工智能产品语言交互能力得分的平均数为：， ∴； B人工智能产品语言交互能力得分的10个数据中，6分最多， ∴； A人工智能产品数据分析能力得分的10个数据由小到大排列的第5个数据为7分，第6个数据为8分， ∴； 从折线统计图明显可以看出A人工智能产品数据分析能力得分波动大于B人工智能产品数据分析能力得分， ∴； 故答案为：7.7；6；7.5；； 【小问2详解】 解：我认为小罗应该选择A． 理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是A的中位数和众数均高于B；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于B．（理由合理即可） 【小问3详解】 解：还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面．（答案不唯一） 18. 如图，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点C在（2）中所作的角平分线上，且，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为； （2）见解析 （3）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据尺规作图－角平分线的作法即可作出图形； （3）求得的长，得到，由角平分线的定义和平行线的性质求得，得到，根据对边平行且相等的四边形判断是平行四边形，据此即可得到四边形是菱形． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，射线即为所求作， ； 【小问3详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，由， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了坐标与图形，尺规作角平分线、等腰三角形的等角对等边、平行四边形的判定、菱形的判定，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图1，桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．线段代表固定支架，与地面垂直，点、点分别代表重物和水桶（重物和水桶的大小忽略不计），线段是无弹力、固定长度的麻绳，，始终与地面垂直．． （1）如图2，当水桶C的位置低于地面时，，求这个桔槔支架的高度； （2）如图3，向上提水桶C，当时，求此时水桶C到地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，） 【答案】（1）这个桔槔支架的高度为 （2）此时水桶到地面的距离大约为 【解析】 【分析】（1）过点作交的延长线于点，交于点，与地面的交点为，根据直角三角形的性质求出，求出，证明四边形为矩形，得出，最后求出结果即可； （2）过点作于点，延长交延长线于点，过作于点，解直角三角形得出，证明，得出，求出，得出，证明四边形为矩形，得出，得出答案即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作交的延长线于点，交于点，与地面的交点为， ∵都与地面垂直，则， ， ， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ． 答：这个桔槔支架的高度为； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点，延长交延长线于点，过作于点， 则， 在中，， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ， ． 答：此时水桶到地面的距离大约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形应用，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，数形结合，作出辅助线． 20. 如图，中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，然后根据等边对等角得到，即可得到，证明结论即可； （2）过点作于点，则四边形为矩形，然后在中根据勾股定理求出长即可解题． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 为的切线，为半径， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ． ， 四边形为矩形． ． ， 在中，． ， ． 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元 （2）购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元 【解析】 【分析】（1）设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； （2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质得购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【小问1详解】 解：设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得， 甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍， ， 解得， 设所需费用元， ， ， 随的增大而增大， 时，最小，最小值为元， 此时， 答：购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式． 22. 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为，此时 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，熟知以上性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：把，，代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为， 【小问2详解】 解：在二次函数中，令，得， 解得：， ， 设直线的解析式为，将代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，， 轴， ， ， ， 当时，最大值为，此时． 23. 定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． （2）在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形、正方形； （2）①的最小值是4；②；③或． 【解析】 【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案； （2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解； ②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解； ③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角， ∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”； ∵菱形、正方形的对角线平分一组对角， ∴菱形、正方形一定是“可折四边形”； 故答案为：菱形、正方形． 【小问2详解】 解：①当，时，与最小， ∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $