精品解析：宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

银川一中2024/2025学年度（下）高二期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集定义可得答案. 【详解】集合，，由集合的并集定义可得. 故选：D. 2. 探究学习小组收集了早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月售卖包子的个数（单位：万个）与月份的经验回归方程为，已知五月份的售卖量为2万个，则时的残差为（ ） A. B. 0.2 C. D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据回归直线计算，再根据残差公式计算即可. 【详解】令，得，则所求残差为． 故选：D. 3. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及超几何分布求解即得. 【详解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布， 则，，， 所以. 故选：C. 4. 2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛半决赛中，中国队与日本队鏖战7小时，双方打满五局，最终中国队逆转战胜了日本队进入决赛.这项比赛是五局三胜制，已知中国队每局获胜的概率为 ，则中国队打满5局且最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件同时发生的概率乘法公式即可解决. 【详解】中国队打满5局且最终获胜，则前四局中中国队恰好赢了2场且第五局中国队获胜. 因为每场比赛相互独立，所以中国队打满5局且最终获胜的概率为. 故选：C 5. 甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件及相互独立事件的概率公式求出两人有资格挑战第二关的概率，再利用条件概率公式计算得解. 【详解】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为，两人有资格挑战第二关的事件为， 则，，， 所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率. 故选：D 6. 已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得A错误，D正确；由方差的性质可得B错误；由正态分布期望的表示可得C错误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由正态分布密度曲线可知，故C错误； 对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确． 故选：D． 7. 2025年春节档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《哪吒之魔童闹海》，《唐探1900》，《蛟龙行动》，《封神2》，《熊出没》，《射雕英雄传》这6部，小明和小华两位同学准备从这6部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《哪吒之魔童闹海》，则两位同学不同的选择方案种数为（ ） A. 36 B. 60 C. 100 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法和分类加法计数原理及排列数和组合数的计算即可求解. 【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《哪吒之魔童闹海》中选择一部， 小华从剩余的4部中选择两部，此时共有种方案， 若两人所选影片中，《哪吒之魔童闹海》相同， 则两人从剩余5部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《哪吒之魔童闹海》相同， 相同的影片为5部中1部，有种选择， 再给小华从剩余4部中选择一部，有种选择， 故共有种方案， 综上，共有70种方案. 故选：D． 8. 已知函数，若在区间上有最大值，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论取绝对值，得出函数的解析式，然后分别求导，判断在每个分段区间上的单调性即可得出答案. 【详解】当时，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以在处取得极大值， 若在区间上有最大值，只需即可，解得； 当时，， ，显然此时，单调递减，不存在有最大值的开区间； 当时，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以在处取得极小值， 此时也不存在最大值的开区间， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列的叙述正确的有（   ） A. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B. 关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越差 C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元线性回归的相关系数和决定系数的定义即可判断AB，根据独立性检验中随机变量的值的意义即可判断CD. 【详解】对于A，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故A正确； 对于B，关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越好，故B错误. 对于C，关于独立性检验，随机变量的值越大，可判断“两个分类变量有关系”的把握性越大，故C正确； 对于D，因的观测值满足，则零假设成立，即在犯错概率不超过的情形下，可认为“两个分类变量无关”，故D正确. 故选：ACD 10. 对于二项式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中各项的二项式系数之和为512 B. 展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 C. 二项式系数最大的项是第5和第6项 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由二项式系数的性质，即可判断ABC，分别令与，然后两式相减，即可判断D. 【详解】对于A，二项式系数之和为，故A正确； 对于B，因为第3项二项式系数为，第8项的二项式系数为， ，故B正确； 对于C，由于为奇数，中间两项即第5项与第6项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，令可得①， 令可得②， 两式相减可得， 所以，故D错误； 故选：ABC 11. 传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ） A. 7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840 B. 7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720 C. 7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D. 7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法 【答案】AD 【解析】 【分析】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数； B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数； C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数； D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数. 【详解】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有种方法， 随后排列剩下4人，有种方法，则共有种方法，故A正确； B选项，将小明，小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列， 有种方法，则共有种方法，故B错误； C选项，先排剩下5人，有种方法，再将小明小红排进5人产生的6个空隙中， 有种方法，则共有种方法，故C错误； D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，则有种方法， 随后安排训练，有种方法，则共有种方法，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则__________，__________. 【答案】 ①. 3 ②. 18.9 【解析】 【分析】先根据二项分布的性质求出和，再根据期望和方差的性质可求得结果. 【详解】因为，所以，， 所以，. 故答案为：；. 13. 某公司为了解用电量y（单位：千瓦时）与气温x（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如下表格，由表中数据可得回归方程，则实数_____. x 10 13 18 y 62 38 34 m 【答案】24 【解析】 【分析】求出样本中心点的坐标，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可得出实数的值. 【详解】由题意，， ， 所以样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：24. 14. 给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有_________种 【答案】72 【解析】 【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论. 【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是15，34，2，此时的涂法有种， 若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是1，5，34，2或15，3，4，2，此时的涂法有种， 所以总的涂色方法有. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． （1）求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； （2）求乙罐中取出红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件，由条件概率的公式求得对应概率； （2）设事件，由全概率的公式求得对应概率. 【小问1详解】 设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件， ∴由题意得， ∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为. 【小问2详解】 设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件， 由题意可知事件两两互质， ∴. ∴乙罐中取出红球的概率. 16. 某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查.现从机器内随机选取了40组（各20组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表： 米数组别 0～20 21～50 51～80 81～100 A 1 2 3 8 6 B 0 3 7 8 2 米数超过被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”. （1）利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过的概率； （2）根据题意完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为“评定类型”与“组别”有关？ 优质 备选 总计 A B 总计 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）列联表完成如下， 优质 备选 总计 A 14 6 20 B 10 10 20 总计 24 16 40 没有【解析】 【分析】（1）先得出样本米数超过的频率，根据样本估计总体即可； （2）由题设条件可完成列联表，利用独立性检验思想判断“评定类型”与“组别”是否有关. 【小问1详解】 由题可得，样本米数超过的频率为， 根据样本估计总体的思想，估计工厂中米数超过的概率为. 【小问2详解】 根据题意，列联表完成如下， 优质 备选 总计 A 14 6 20 B 10 10 20 总计 24 16 40 零假设：“评定类型”与“组别”无关， 则， 所以零假设成立，即“评定类型”与“组别”无关， 所以没有充分证据认为“评定类型”与“组别”有关. 17. 某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； （2）已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【答案】（1）分布列如下： 0 1 2 （2）【解析】 【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有0，1，2分三种情况解决． （2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得100分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可． 【小问1详解】 设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，X的取值有， ， ， ， 分布列如下： 0 1 2 【小问2详解】 依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为，， 乙已得100分，甲若想获胜情况有： 甲得200分：其概率为； ②甲得100分，乙再得分，其概率为； ③甲得0分，乙再得分，其概率为； 故乙先得100分后甲获胜的概率为. 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若有极值，求实数的取值范围； （3）设，若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）时，可求得，配方发现其恒正，故在上单调递增，又，利用单调性即可求出的解集； （2）若有极值，则在上有变号零点，转化为二次函数在上有变号零点，发现二次函数的对称轴为，所以只需，由此可解得实数的取值范围； （3）由题干条件可得，设，利用导数找到的最小值，则，得到关于的不等式，构造新函数找到其零点范围，由此可求得的最大值. 【小问1详解】 当时，因为， 所以， 所以在上单调递增，又， 所以当时，；当时，， 故的解集为. 【小问2详解】 因为有极值， 所以在上有变号零点， 即在上有变号零点， 因为的对称轴为，所以只需， 所以. 【小问3详解】 由，得， 设， 则， 令，得（舍去），或， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 因为，所以，即， 令， 因为与在上都单调递减， 所以在上单调递减， 又， 所以在存在唯一的零点， 当时，， 所以由可得， 又，所以的最大值为2. 19. 某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在APP上推出了A和B两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券．下图是该商品日销售量y（单位：千件）与日访问量x（单位：万人次）的散点图： （1）求出y关于x的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； （2）A款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有n次挑战机会，第n次无论成功与否都结束游戏．设X为游戏结束时，进行挑战的次数，X的数学期望为，证明：； （3）B款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的m值． 参考数据：，． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1），千件 （2）X可取值为， ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 … n P … 故① 因为② 由①②得 ， 所以； （3）当时，Y只能取n，故m只能取n，有； 当时， 当时，取得最大值的整数或， 当时，取得最大值的整数， 其中为不超过的最大整数． 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法可求线性回归方程，从而可求预测值； （2）先求出的分布列，再利用错位相减法求出期望后可得不等式成立； （3）就和分类讨论，对于后者，结合超几何分布可得，利用不等式组可得取何值时概率最大. 【小问1详解】 由题意可得：，， ，， 所以回归方程，时，， 所以日访问量12万人时销售千件商品； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，Y只能取n，故m只能取n，有； 当时，整数m满足，其中t是0和中的较大者． 两次抽球包含的基本事件总数为， 事件“”所包含的基本事件数为， 此时， 当时，令， 整理得到：， 解得， 因为，所以， 当时，显然， 当时，， 所以， 故当时，取得最大值的整数或， 当时，取得最大值的整数， 其中为不超过的最大整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2024/2025学年度（下）高二期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 探究学习小组收集了早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月售卖包子的个数（单位：万个）与月份的经验回归方程为，已知五月份的售卖量为2万个，则时的残差为（ ） A. B. 0.2 C. D. 0.1 3. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛半决赛中，中国队与日本队鏖战7小时，双方打满五局，最终中国队逆转战胜了日本队进入决赛.这项比赛是五局三胜制，已知中国队每局获胜的概率为 ，则中国队打满5局且最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 7. 2025年春节档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《哪吒之魔童闹海》，《唐探1900》，《蛟龙行动》，《封神2》，《熊出没》，《射雕英雄传》这6部，小明和小华两位同学准备从这6部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《哪吒之魔童闹海》，则两位同学不同的选择方案种数为（ ） A. 36 B. 60 C. 100 D. 70 8. 已知函数，若在区间上有最大值，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列的叙述正确的有（   ） A. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B. 关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越差 C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 10. 对于二项式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中各项的二项式系数之和为512 B. 展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 C. 二项式系数最大的项是第5和第6项 D. 若，则 11. 传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ） A. 7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840 B. 7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720 C. 7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D. 7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则__________，__________. 13. 某公司为了解用电量y（单位：千瓦时）与气温x（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如下表格，由表中数据可得回归方程，则实数_____. x 10 13 18 y 62 38 34 m 14. 给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有_________种 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． （1）求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； （2）求乙罐中取出红球的概率． 16. 某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查.现从机器内随机选取了40组（各20组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表： 米数组别 0～20 21～50 51～80 81～100 A 1 2 3 8 6 B 0 3 7 8 2 米数超过被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”. （1）利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过的概率； （2）根据题意完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为“评定类型”与“组别”有关？ 优质 备选 总计 A B 总计 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； （2）已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若有极值，求实数的取值范围； （3）设，若，求的最大值. 19. 某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在APP上推出了A和B两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券．下图是该商品日销售量y（单位：千件）与日访问量x（单位：万人次）的散点图： （1）求出y关于x的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； （2）A款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有n次挑战机会，第n次无论成功与否都结束游戏．设X为游戏结束时，进行挑战的次数，X的数学期望为，证明：； （3）B款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的m值． 参考数据：，． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $