精品解析：四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

合江中学高2024级高一下期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设复数，则z的共轭复数为（ ）． A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法，结合共轭复数的定义，可得答案. 【详解】， 则复数的共轭复数. 故选：B. 2. 若向量，则 A. B. 5 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由求得坐标，再利用求模公式求解. 【详解】因为向量， 所以， 故选：B. 3. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 30°. B. 60°. C. 90°. D. 30°或150°. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得到结果或 （ 舍掉，小边对小角）. 【详解】由正弦定理得：， 所以或， 因为，所以，所以. 故选：A. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（） A. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移. B. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移. C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移. D. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可. 【详解】为了得到函数的图象，先把函数图像的纵坐标不变， 横坐标缩短到原来的倍到函数y＝3sin2x的图象， 再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y＝3sin（2x+）的图象. 故选B． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题． 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解． 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 6. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则， 解得， 故选：D. 7. 已知函数，则结论正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间内有2个零点 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】A、B应用代入法判断对称轴和对称中心；C、D根据给定区间求的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【详解】A：，故不是对称中心，错误； B：，故不是对称轴，错误； C：在，则，故，可得，所以为在内的唯一零点，错误； D：在，则，故递增，正确. 故选：D 8. 如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（ ） A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min 【答案】B 【解析】 【分析】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，周期，求出函数解析式，令，解不等式继而可求解. 【详解】 如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴， 与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离底面的高度为， 由题意得，，周期， 所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，解得， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故选：. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，，则 B. 若复数，则复数z的虚部等于 C. 若复数为纯虚数，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】A虚数无法比大小；B利用复数的除法运算得出复数；C利用纯虚数的定义列方程；D利用计算. 【详解】虚数无法比大小，但模可以比大小，故A错误； ，则复数z的虚部等于，故B错误； 复数z为纯虚数，则且，得，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角形的基本性质及正弦定理，二倍角公式，正弦函数的单调性，逐项分析得出结果即可． 【详解】对于A，根据正弦定理，由可得，大边对大角，所以.故A正确； 对于B，根据正弦定理，由可得，即， 则或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故B错误； 对于C，，则或，即或， 所以是直角三角形或钝角三角形，故C错误； 对于D，若为锐角三角形，则，即， 因为函数在上单调递增，所以，即，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 对于任意的均为偶函数 B. 当时，的最小正周期为 C. 当时， D. 当时，上有12个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用偶函数定义判断A，根据正弦函数及余弦函数的周期判断B，取特殊值计算判断C，根据周期内零点个数结合周期判断D. 【详解】A项：的定义域为，， 即证明，A选项正确； B项：，因为函数的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，B选项正确； C项：取，，C选项错误； D项：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知的最小正为周期， 在每个周期内存在2个零点， 因为区间的长度为，又 所以6个周期内为12个零点，D选项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 13. 复数满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 已知锐角△ABC中，内角所对应的边分别为，且满足：，则角A的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理及正弦定理化简得到，得到，或，再结合锐角三角形讨论即可. 【详解】由， 可得：， 由正弦定理可得：， 再由余弦定理：， 再结合正弦定理可得：， 所以， 即， 即， 因为是锐角三角形，, 所以，或， 当时，又, 所以，即， 所以，此时为直角，舍去， 当时， 可得：，即， 同时：，即， 综上角A的取值范围是， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. （1）求； （2）求； （3）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】（1）1 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义计算即可； （2）根据向量数量积的运算律，直接平方计算即可； （3）根据投影向量的计算公式即可得到答案. 小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 在方向上的投影向量为. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理即可； （2）化简为，得出，再利用面积公式即可. 【小问1详解】 因，则， 由余弦定理得，， 因，则. 【小问2详解】 由得，， 因，则，即， 故. 17. 如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 （1）求函数的解析式； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由二倍角的正余弦公式化简函数表达式，再结合正弦函数图象的性质求解出即可； （2）由特殊角的正弦值求出，再由三角函数的定义求出的正余弦，然后结合余弦展开式计算即可. 小问1详解】 ， 由图象可得， 又最高点，最低点， 联立解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为，解得， 由角的终边与单位圆交于点，可得， 所以. 18. 成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． （1）若米，求的长； （2）绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）记，由正弦定理得，可得由辅助角公式可得答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得 ， 所以米； 【小问2详解】 因为，所以，记， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 其中， 所以当时，的最大值为米. 即游客所走路程的最大值为米. 19. 定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. （1）若，求的“特征向量”的坐标； （2）设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； （3）设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及两角差的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的“特征向量”的定义即可求解； （2）将题意转化为关于x的方程在上有两个不同的实根，求出的值域，即可得出答案； （3）通过换元法结合同角三角函数的基本关系可得（），再根据二次函数的性质分，和求出，使得，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由题意可得： ， 则的“特征向量”. 【小问2详解】 由题意可得，其中（）. 因为关于x的方程在上有两个不同的实根， 所以关于x的方程在上有两个不同的实根. 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以，即. 【小问3详解】 由题意可得. 设， 则，所以（）. 当，即时，在上单调递增， 则，解得， 因为，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 因为，所以. 综上，a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合江中学高2024级高一下期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设复数，则z的共轭复数为（ ）． A. B. C. 1 D. 2. 若向量，则 A. B. 5 C. 20 D. 25 3. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 30°. B. 60°. C. 90°. D. 30°或150°. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（） A. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移. B. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移. C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移. D. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移. 5. 已知，且，则（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则结论正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间内有2个零点 D. 在区间上单调递增 8. 如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（ ） A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，下列说法正确是（ ） A. 若复数，，则 B. 若复数，则复数z的虚部等于 C. 若复数为纯虚数，则 D. 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则等腰三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 已知函数，则（ ） A. 对于任意的均为偶函数 B. 当时，的最小正周期为 C. 当时， D. 当时，在上有12个零点 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数______． 13. 复数满足，则的最大值为________. 14. 已知锐角△ABC中，内角所对应的边分别为，且满足：，则角A的取值范围是____________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. （1）求； （2）求； （3）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． 17. 如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 （1）求函数的解析式； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求的值． 18. 成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． （1）若米，求长； （2）绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 19. 定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. （1）若，求的“特征向量”的坐标； （2）设向量“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； （3）设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$