精品解析：北京市人大附中石景山学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

人大附中石景山学校2024-2025学年第二学期高一数学期中练习 命题人：王纯 审题人：王纯 （考试时间120分钟 满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，. 若，则实数（ ） A. B. 9 C. 1 D. 4. 若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 要得到函数的图象，只需将函数（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（ ） A. B. C. D. 8. 若是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题2分，共20分） 11. 化简_______． 12. 向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数_____________． 13. 已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则______，______（答案用含，的式子表示）． 14. 已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________． 15. 水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时，经过秒后，水车旋转到点. 给出下列结论： ①在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒； ②当时，点距水面的最大距离为米； ③当秒时，； 其中所有正确结论的序号是_____________. 三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分） 16. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调递增区间和在上的值域. 19. 如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，． （1）当时，用向量表示，； （2）证明：为定值． 20. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离是，再从如下的条件Ⅰ、条件Ⅱ、条件Ⅲ中选择两个作为一组已知条件． （1）确定的解析式； （2）求单调增区间； （3）若图象的对称轴只有一个落在区间上，求a的取值范围． 条件Ⅰ：的最小值为； 条件Ⅱ：图象的一个对称中心为； 条件Ⅲ：的图象经过点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中石景山学校2024-2025学年第二学期高一数学期中练习 命题人：王纯 审题人：王纯 （考试时间120分钟 满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果. 【详解】因为，所以与角终边相同的角是， 故选：D. 3. 已知向量，. 若，则实数（ ） A. B. 9 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，即. 故选：A. 4. 若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由扇形面积及弧长公式可得答案. 【详解】设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为，弧长为. 由题可得：. 故选：A 5. 要得到函数的图象，只需将函数（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】解：， 将函数的图象上所有的点向左平移个单位，即可得到函数的图象． 故选：A． 6. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知中函数的部分图象，求出满足条件的值，可得答案． 【详解】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故， ，故，解得， 故. 将代入可得：， 则，解得. ∵，∴， ​​​​​​​∴. ​故选:B. 7. 在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，根据平面向量的运算法则，可得 . 故选：B． 8. 若是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9. 若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将平移变换后的函数图象求出来，再由奇函数列出等式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位后得到， 因为平移后的函数是奇函数， 所以， 解得，因为， 所以当时，. 故选：D. 10. 古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项. 【详解】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段. 二、填空题（共5小题，每小题2分，共20分） 11. 化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 12. 向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数_____________． 【答案】2 【解析】 【详解】由图可知，，因为向量与共线， 所以根据共线向量基本定理可设， 即， ，实数. 13. 已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则______，______（答案用含，的式子表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于，在中运用向量加法法则计算即可；对于，先利用共线定理确定与关系即可根据几何图形边的关系即可求解. 【详解】由题； 设， 因为, 因为三点共线， 所以， 所以. 故答案为：；. 14. 已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 因为在区间上单调递减，且， 所以有， 因此的一个取值可以为， 故答案为： 15. 水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时，经过秒后，水车旋转到点. 给出下列结论： ①在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒； ②当时，点距水面的最大距离为米； ③当秒时，； 其中所有正确结论的序号是_____________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】设经过秒后，点的高度为，根据题意求出，得，由可得，①正确；由，得②错误；根据秒时，，为正三角形，可得③正确. 【详解】设经过秒后，点的高度为， 则，解得，， 因为水轮每分钟转动1圈，所以， 所以， 由，得，因为，所以， 所以. 对于①，由，得， 得，，得，， 又因为，所以，， 所以在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒. 故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，当秒时，，又， 所以为正三角形，所以米，故③正确. 故答案为：①③. 三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分） 16. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得. （2）利用诱导公式化简，再弦化切即可求得结果. 【小问1详解】 因为的横坐标为，且圆为单位圆，所以的纵坐标为， 由三角函数定义， 【小问2详解】 17. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 【答案】（1） 证明：由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象上的点先向右平移个单位长度，再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求的单调递增区间和在上的值域. 【答案】（1） （2）单调递增区间是，值域为. 【解析】 【分析】（1）根据最值可得，，由周期可得，代入点即可得； （2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数性质求单调区间和值域. 【小问1详解】 观察函数图象可知：，解得，， 因为，且函数的最小正周期，解得， 可得， 又因为， 即，则，解得 又因为，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 将的图象上的点先向右平移个单位长度，可得， 再将横坐标变成原来的（纵坐标保持不变），可得， 令，解得， 所以的单调递增区间是. 因为，所以， 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值； 所以在上的值域为. 19. 如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，． （1）当时，用向量表示，； （2）证明：为定值． 【答案】（1），； （2） 由（1）知，所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 由已知，，所以， 所以， 因为，不共线， 所以，即，消去整理可得， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由是的中线和向量加法的平行四边形法则得到，再由表示出； （2）由得到，又由、、三点共线，得到，从而表示出，因为，不共线，所以系数相等，得到的关系. 【小问1详解】 因为点是的中点，所以是的中线， 所以， 当时，； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：两直线交点在向量中的应用 本题中，点为直线和的交点， 所以、、三点共线，；、、三点共线，. 20. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离是，再从如下的条件Ⅰ、条件Ⅱ、条件Ⅲ中选择两个作为一组已知条件． （1）确定的解析式； （2）求单调增区间； （3）若图象的对称轴只有一个落在区间上，求a的取值范围． 条件Ⅰ：的最小值为； 条件Ⅱ：图象的一个对称中心为； 条件Ⅲ：的图象经过点． 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的最小正周期，求得的值，选择Ⅰ、Ⅱ，求出值，由条件Ⅱ得关于的等式结合的取值范围，求得的值，即可得函数的解析式；选择Ⅰ、Ⅲ，求出值，由已知条件得，由的范围，得的值，即可得函数的解析式；选择Ⅱ、Ⅲ，由条件Ⅱ得出关于的等式结合的取值范围，求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出值，即可得函数的解析式. （2）利用正弦函数单调性列出不等式，求解得单调增区间. （3）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由函数图象上相邻两条对称轴间的距离为，得其最小正周期， 解得，此时， 选条件Ⅰ、Ⅱ；由，得， 由图象的一个对称中心为，得， 而，则，，所以. 选条件Ⅰ、Ⅲ：由，得， 由函数的图象过点，得，即， 由，得，则，解得， 所以. 选条件Ⅱ、Ⅲ：由图象的一个对称中心为，得， 而，则，，因此， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，解得， 所以单调增区间是. 【小问3详解】 由（1）知，，当时，， 由图象的对称轴只有一条落在区间上，得，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $