精品解析：河南省许昌市部分学校2024-2025学年高三下学期4月期中联考数学试题

2025届高三数学模拟测试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把集合解出来化成最简形式，再利用补集和交集的定义即可得出答案. 【详解】由或，故集合或，所以， 易得集合，故. 故选：B. 2. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简命题，并求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】或，则， ，则或， 因此推出，而不能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性与已知关系，证明是周期函数，利用函数周期性与奇偶性结合已知条件，求函数值即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 则，故是以为周期的周期函数， 由，则. 故选：B. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数性质得，再利用对数函数性质得，最后即可比较大小关系. 【详解】，则，即， 因为， 则，则，则. 又因为， 所以. 故选：B. 5. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】运用基本不等式，通过已知条件进行变形，构造基本不等式求最值即可. 【详解】， 由于，则， 由于，当且仅当，时取等号. 则，当且仅当时取等号， 则的最小值为3. 故选：B. 6. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得，根据角的范围与函数值的大小比较得，从而得到，然后利用两角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得. 【详解】由， 得， 则，由为锐角，则， 又，， 故， 所以 ， 由二倍角余弦公式得，则. 又为锐角，所以， 故. 故选：C. 7. 已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的几何意义为两动点与的距离，A在曲线上，B在曲线上，为抛物线的焦点，的最小值就是，即求点到曲线上点的最小值，通过设点，由两点间距离公式，利用导数求最值. 【详解】的几何意义为两动点与的距离， A在曲线上，B在曲线上，抛物线开口向右， 焦点， 作出两曲线与的图象，如图所示， 可得 ，， 的最小值就是， 即求点到曲线上点的最小值. 取曲线上点，， 令，则， 函数单调递增，且， 则有在上为负，在上为正， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，则的最小值为， 即的最小值为， 所以实数m的最大值是. 故选：D. 【点睛】思路点睛：某些代数式的最值问题，用代数方法解决相当繁琐，如果所求代数式具有某种几何意义，根据代数问题的结构特征，联想几何背景，建立解析几何基本模型，然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系探求解法，能使我们在的问题简化，使解题变得更轻松，这对于开拓思路，提高和培养分析问题、解决问题的能力大有裨益. 8. 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案. 【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果， 因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件. 其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为. 同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为. 所以每一轮甲得分低于3分的概率为． 设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分. 则，. 事件可分三类情形： ①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为； ②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为； ③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为. 所以， 所以. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则位于第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用列举反例的方法，结合模长公式，可得答案；对于B，利用复数的几何意义求出，在利用复数的运算求出的值即可判断；对于C，利用复数模的计算公式进行计算即可；对于D，对复数进行化简，再利用复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由题意可知：，所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，故，位于第三象限，故D正确； 故选：BD. 10. 若随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由正态分布的性质逐项判断. 【详解】，A正确； 因为，所以，B错误； ，故C正确； ，， ，D错误． 故选：AC. 11. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱AE的中点，点N为平面EFGH内一动点，若平面BDG，下列结论正确的为（ ） A. 点N的轨迹为正方形EFGH的内切圆的一段圆弧 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置．总有 D. MN长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】把展开图折叠成正方体，利用正方体中的线面位置关系对选项进行逐一判断. 【详解】将展开图折叠成正方体，如图所示： 连接，，，则，. 取的中点，的中点，连接，，，则，， 所以，不在面内，面，则面， 同理有，不在面内，面，则面， 而相交且都在面内，故平面平面. 要使平面，则点在线段上，故点的轨迹为线段，故A错误； 当点与点重合时，，又，所以四点共面， 由图可知，点与点不重合时，与异面，所以B正确； 在正方体的结构特征，易证平面，又平面平面， 所以平面，又平面，所以，所以C正确； 当点为中点时，的长度最小，连接， 则，， 当点与点（或）重合时，的长度最大，此时， 所以长度的取值范围为：，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，，，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据题意列出方程组求解即可. 【详解】由题意可设， 则已经满足，， 还需保证，所以，解得. 故答案为：. 13. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 14. 已知函数，若存在，使得，且的最小值为1，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，求得，构造，结合其单调性即可求解. 【详解】当时，单调递增，当时，单调递增， 又可得，且 因为存在，使得，所以，即. 不妨设，则， 即，所以. 设函数，则. 所以在上单调递减，，解得. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，三个内角的对应边分别为，且． （1）若，求c； （2）设点M是边AB的中点，若，求的面积． 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得. （2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积． 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 整理得，而，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，，两式相加得， 即，解得，即， 则，， 所以的面积. 16. 已知函数． （1）若，求过原点且与相切的切线方程； （2）若关于的不等式对所有成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，设出切点横坐标，利用导数的几何意义列式求解即得. （2）构造函数，利用导数分类探讨函数的单调性，求出当时的值范围. 【小问1详解】 当时，，求导得，设切点横坐标是， 则切线方程是，而切线过原点，于是，解得， 所以切线方程是. 【小问2详解】 依题意，， ①若，则在时恒成立，函数在上单调递减， 则对所有，不满足题意； ②若，则，由，得； 由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， （ⅰ）若，则，即， 函数在上单调递减， 当时，，不满足题意； （ⅱ）若，则，即，函数在上单调递增， 则对所有，，符合题意， 所以的取值范围是． 17. 如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且． （1）求证：平面平面； （2）若为正三角形，且F为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为垂直底面于垂直底面于O，所以， 同理平面， 因为，且平面，平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定方法，证明面面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设圆锥的底面半径为2， 因为轴截面是正三角形，所以， 如图，设平面与底面圆周交于G， 因为为正三角形，且F为的中点， 所以，所以E为的中点， 所以为的中位线，所以， 如图，在底面圆周上取一点H，使得，以直线为x，y，z轴建立空间坐标系， 由已知得，，， 设的中点为M，则平面的法向量为， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以， ，令，则， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使. （1）求点的轨迹的方程； （2）求的外心的纵坐标的取值范围； （3）设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据重心坐标公式以及向量共线可得，即可根据垂直的坐标运算求解， （2）根据外心的性质得，与椭圆方程联立可得，即可根据椭圆的有界性求解， （3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据共线关系以及面积的表达，代入化简求解即可. 【小问1详解】 设，则的重心. ，，则， 为垂心，故 因为存在使，故，所以，， 而，由垂心定义得，即，整理得， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由外心的定义知点在轴上，则， 的中点，， 所以，整理得. 与的方程为联立，得. 因为，所以. 【小问3详解】 由对称性，不妨设点在第一象限，设，，直线：， 联立方程得， ，整理得； ，又，所以. 由条件知，，，所以三点共线且所在直线平行于轴， 由，知， 所以. 令，解得（舍去）. 又点在直线：上，所以， 即，所以.又，联立得，所以. 又，所以，即，所以. 所以，当点在第一、四象限时，；当点在第二、三象限时，. 故存在实数使. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数． （1）若，，求，，的值； （2）若为常数列，证明是等差数列； （3）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列． 【答案】（1），，； （2） 设（为常数），的通项公式为. ， 先考虑， 则时，， 所以. 当时，则，， 此时为常数，所以是等差数列； 当时，则，， 此时是常数列，也是等差数列； 综上所述：是等差数列； （3） 设数列和的公差分别为， 则， 所以， ①当时，取正整数，则当时，，因此， 此时，是等差数列； ②当时，对任意， 此时，是等差数列； ③当时，当时，有， 所以 ， 对任意正数，取正整数， 故当时，. 【解析】 【分析】（1）分别求得，，，，，，代入即可求得，，； （2）根据，，即可作差得，即可根据时，则，以及时，，此时为常数，所以是等差数列； （3）方由，分类讨论，，三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得，，，是等差数列； 【小问1详解】 已知，， ，，，，，， 当时，， 当时，,,， 当时，,,,， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三数学模拟测试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ）. A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 6. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则位于第三象限 10. 若随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱AE的中点，点N为平面EFGH内一动点，若平面BDG，下列结论正确的为（ ） A. 点N的轨迹为正方形EFGH的内切圆的一段圆弧 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置．总有 D. MN长度的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，，，则________ 13. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 14. 已知函数，若存在，使得，且的最小值为1，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，三个内角的对应边分别为，且． （1）若，求c； （2）设点M是边AB的中点，若，求的面积． 16. 已知函数． （1）若，求过原点且与相切的切线方程； （2）若关于的不等式对所有成立，求的取值范围． 17. 如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且． （1）求证：平面平面； （2）若为正三角形，且F为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使. （1）求点的轨迹的方程； （2）求的外心的纵坐标的取值范围； （3）设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数． （1）若，，求，，的值； （2）若为常数列，证明是等差数列； （3）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $