精品解析：河北省承德市高新区第一中学2024--2025学年高一下学期期中考试数学试卷

河北承德市高新区第一中学 2024-2025学年第二学期期中考试高一数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得， 再将图象向右平移个长度单位，得. 故选：A 2. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 3. 在中，已知，判断的形状（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理得，再利用正弦的差角公式化简整理得，进而推断，答案可得. 【详解】解：根据正弦定理由，得，即， 所以，所以， 所以为等腰三角形. 故选：D. 4. 如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意，为线段的中点， 则 ． 故选：D． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案 【详解】由，得，即， 则， 故 ． 故选：A. 6. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体法，结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析，得到 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 【详解】因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是. 故选：C. 7. 已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解. 【详解】因为，即，所以， 又因为，所以，所以， 函数的图象向右平移个单位得到， 的图象关于直线对称，，， 即，，令，得. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得，又三点共线，可得，则，利用向量的线性运算可得，进而表示出，计算即可. 【详解】在中，因为，所以，， 所以， 即， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而， 所以， 又，，， 则 . 故选：C. 二､多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则是的中点 B. 已知，，是平面内任意三点，则 C. 若，，，是同一平面上的四个点，若，则，，三点共线 D. 若，则为的外心 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 在中，若，则是的中点，故A正确； 由三角形法则可知，，故B正确； 由可得，， 所以，则，，三点共线，故C正确； 若，则，由平面向量的平行四边形法则可知， 当为中点时，有，所以， 所以为的重心，故D错误. 故选：ABC. 10. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C为钝角 B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可得A正确；由余弦定理结合A的结果可得B正确；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得C正确；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可得D正确； 【详解】对于A，∵， ∴，即， ∴，又，∴一定为钝角，故选项A正确； 对于B，由余弦定理知，，化简得，故选项B正确； 对于C，∵， ∴，故选项C正确； 对于D，∵， ∴， ∵为钝角，则，， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 11. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ） A. 点P第一次达到最高点，需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项. 【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确； 点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确； 令，解得：，，当时，（s），B选项正确； ，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误； 故答案为：ABD 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. ______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】注意所求式中角的关系，对进行拆角为，利用和角公式化简即得. 【详解】由 故答案为： 13. 函数的零点个数为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】化简函数，所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，分析函数和的单调性，结合图象，通过一些特殊值可知和只有两个交点，即函数的零点的个数为2. 【详解】因为， 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数， 而，， 且，所以和在只有一个交点位于内， 同理可得和在也只有一个交点位于内， 画出图象如图所示，由图象知，函数的零点的个数为2. 故答案为：2. 14. 已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于________；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及数量关系得到为的中点，求出；再建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，，表达出，求出最小值. 【详解】过点作⊥于点， 因为，故，故为的中点， 故， 以中点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以， 解得， 故，， 设，， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：1， 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是同一平面内的两个向量，其中 且 （1）若 求的坐标； （2）若 求与的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出方程组，求解即可； （2）对模平方，再根据数量积的定义式求解即可. 【小问1详解】 设，因为且，所以， 解得或， 所以或. 【小问2详解】 由题， 因为，所以， 即， 所以，即， 所以. 又，所以. 16. 已知向量，． （1）若，，求的值； （2）设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）． 【答案】（1） （2），， 将的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像． 【解析】 【分析】（1）由，利用向量模的坐标运算，求得，倍角公式求的值； （2）由向量积的坐标运算求出解析式，由降幂公式和辅助角公式化简，整体代入法求对称中心，取其中一个对称中心平移到原点，可知得到一个奇函数的图像的平移变换. 【小问1详解】 由，可得， 整理得，即， 因为，所以，所以， 则． 【小问2详解】 ， 令，，解得，． 所以图像的对称中心坐标是，， 令，可得的图像的一个对称中心坐标是， 所以将的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像． 17. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为 （2）单调增区间为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果； （2）利用整体代入法即可求出函数单调区间； （3）根据求得，进而根据函数的图象与性质即可求出结果. 【小问1详解】 最小正周期，令， 所以，所以对称轴方程为； 【小问2详解】 令， 所以，所以的单调增区间为； 【小问3详解】 当时， 所以，所以， 当，即时取得最大值， 当，即时取得最小值， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD； （3）若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【小问1详解】 因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 【小问3详解】 由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 19. 用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. （1）求的最小值； （2）证明：为定值，并求出该定值； （3）设的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明如下： 设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形的周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，求出到的距离为定值1，即可求解； 【小问1详解】 设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为． 又的最小值为， 所以的最小值为 【点睛】关键点点睛：由，推证到的距离的定值为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德市高新区第一中学 2024-2025学年第二学期期中考试高一数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，判断的形状（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则是的中点 B. 已知，，是平面内任意三点，则 C. 若，，，是同一平面上的四个点，若，则，，三点共线 D. 若，则为的外心 10. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C为钝角 B. C. D. 的最小值为 11. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ） A. 点P第一次达到最高点，需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. ______． 13. 函数的零点个数为__________. 14. 已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于________；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是同一平面内的两个向量，其中 且 （1）若 求的坐标； （2）若 求与的夹角. 16. 已知向量，． （1）若，，求的值； （2）设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）． 17. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD； （3）若的外接圆的半径为，求的取值范围． 19. 用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. （1）求的最小值； （2）证明：为定值，并求出该定值； （3）设的面积为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $