精品解析：湖北省十堰市六县市一中教联体2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2025年十堰市六县市区一中教联体4月联考 高二数学试卷 命题学校：郧西一中 命题教师：张华 审题教师：胡祥兵 考试时间：4月29日 上午8:00-10:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 2. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数的性质求出的值. 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或. 故选：A. 3. 下列求导错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则即可求出． 【详解】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则可知，A，B，D求导正确，，C错误． 故选：C． 4. 在等差数列中，若其前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质及可求a5，代入等差数列的求和公式9a5可求 【详解】由等差数列的性质可得 ∴a5＝5 45 故选：C． 点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m+n＝p+q，则am+an＝ap+aq）的应用，等差数列的求和公式的应用，属于基础试题 5. 的展开式中，含项的系数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的通项公式，然后整理出项的系数，根据系数相等可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为，令，可得； 所以含项的系数为，即，解得. 故选：C. 6. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则 （ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题中条件可求得的值，进而可求得，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由于，，成等差数列，则，即， 因为，整理得，即， ，解得， 因此，. 故选：A . 7. 若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用导数求得函数的单调区间和极值，画出函数的图象，结合图象，得到实数的取值范围. 【详解】当时，，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，；当时，， 函数的图象，如图所示， 要使得函数与的图象有4个交点，则， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 已知函数.当时，，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数，需对导函数再次求导分析的正负，对进行分类讨论即可得出答案. 详解】由题设得，， 设，， 则， 当即时，，故在上为增函数， 故，即，所以在上为增函数，故； 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上单调递减， 所以，即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍去； 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍去， 综上，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是的极小值点 C. 在区间上减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数 的极值的定义即可求解. 【详解】根据图象知当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：BC. 10. 现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有6种 B. 所有的放法共有21种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种 D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种 【答案】AD 【解析】 【分析】根据排列组合知识，结合每个选项的具体情况，即可求得答案. 【详解】对于A，没有空盒子即相当于3个编号为1，2，3的小球分别放入3个编号为1，2，3的盒子中的全排列， 故方法共有种，A正确； 对于B，所有的放法，即每个球都有3种放法，故共有（种）放法，B错误； 对于C，恰有1个盒子不放球，即有2个球放入一个盒子中，另一个球放入另一个盒子中， 那么先3个盒子选一个作为空盒，在把3个球选出2个绑在一起，在排列， 共有（种）放法，C错误； 对于D，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子，则只有以下2种情况： 即1号球放入2号盒子，2号球放入3号盒子，3号球放入1号盒子； 1号球放入3号盒子，3号球放入2号盒子，2号球放入1号盒子，D正确， 故选：AD 11. 设正整数，其中，记．则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 【详解】对于A选项，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，取，，， 而，则，即，B选项错误； 对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． 【答案】-8 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组： ，由可得：，代入①可得， 由等比数列的通项公式可得. 【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 13. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 【答案】 【解析】 【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算. 【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种， 然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种， 因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位， 利用插空法排列甲，排法有种， 所以不同的排列方法有种. 故答案为： 14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到 ，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为． （1）求正整数和实数的值； （2）求的展开式中项的系数． 【答案】（1） （2）560 【解析】 【分析】（1）根据所有项的二项式系数之和即可求得n；利用赋值法结合各项系数之和即可求出a的值； （2）利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得； 各项系数之和为，即令， 则， 故； 【小问2详解】 由（1）可知即， 其通项公式为， 令， 故展开式中项的系数为. 16. 已知数列满足． （1）求； （2）求的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式求出指定项. （2）利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 所以. 【小问2详解】 ，， 当时，， 两式相减得，则，而满足上式， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以. 17. （1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围； （2）已知函数.讨论的单调性. 【答案】（1）； （2）当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导后利用分离参数法即可求出的取值范围； （2）对函数求导，分类讨论不同情况时的导函数情况，即可得出的单调性. 【详解】（1）由题意，， 在中，， 函数在区间 内是减函数, ∴当 时, 恒成立, 即当 时, 恒 成立, 故当 时, 恒成立， 设， 根据对勾函数的单调性知，在上单调递减， 在上单调递增，且，，则， ∴当 时, ，解得：. ∴的取值范围是. （2）由题意， 在中， 当时, 则 , 在 上单调递减. 当时, 由，解得 . 当 时, ； 当 时, . ∴ 在 上单调递减, 在 上单调递增， 综上，当时，函数单调递减， 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. 18. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论； （2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. 【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号. 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）证明：.（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程； （2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值； （3）依题意，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 ， ， 在处的切线为. 【小问2详解】 ， ，则，所以， 在上单调递减， 时，， 因为对任意恒成立，所以， 则，的最大值为. 小问3详解】 设， ， 在上单调递增， ， ，使， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， . 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年十堰市六县市区一中教联体4月联考 高二数学试卷 命题学校：郧西一中 命题教师：张华 审题教师：胡祥兵 考试时间：4月29日 上午8:00-10:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 2或4 3. 下列求导错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，若其前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中，含项的系数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则 （ ） A 4 B. 2 C. D. 7. 若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数.当时，，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 10. 现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有6种 B. 所有放法共有21种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种 D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号盒子的方法有2种 11. 设正整数，其中，记．则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． 13. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为． （1）求正整数和实数的值； （2）求的展开式中项的系数． 16. 已知数列满足． （1）求； （2）求的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 17. （1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围； （2）已知函数.讨论的单调性. 18. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）证明：.（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$