精品解析：山东省济南第三中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题

2024—2025学年第二学期期中质量检测 高一年级数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题 1. 复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的乘除运算求复数，进而求模长. 【详解】由题设，则，所以. 故选：D 2. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 设与的夹角为， 所以， 所以. 故选：D 3. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法可知原四边形且，，利用勾股定理可求得，由此可求得平行四边形周长. 【详解】由斜二测画法可知原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D. 4. 已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2， 设圆台的高为，可得， 所以圆台的体积为. 故选：B. 5. 在中，为边上一点，满足，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分解向量得，进一步结合向量的数量积公式即可求解. 【详解】 由题意，因为， 所以， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合数量积的运算律计算即可. 【详解】因,所以, 所以, 又因为,所以, 则在上的投影向量为. 故选：A. 7. 的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，设的中点为，则，将两边平方，结合数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． 设的中点为，则， 所以， 又， 所以，又， 所以，解得或（舍去）. 故选：C 8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用线面垂直的判定推理证得平面即可确定点的轨迹得解. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，而平面， 因此平面，因为，则平面， 而点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为. 故选：B 二、多选题 9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 10. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则 D. 若，且，则内切圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，以及锐角三角形的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； 对于B中，由为锐角三角形，可得，即， 所以所以B错误； 对于C中，由正弦定理得，所以C正确. 对于D中，若，则，，可得， 所以，则， 设的内切圆半径为r，则，解得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角平面角的正切值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可知异面直线与所成角为（或其补角），由长度关系可知A正确；由线面角定义可知所求角为，由长度关系知B错误；由二面角平面角定义可知所求角为，通过可知C正确；利用割补法可求得，由棱锥体积公式可构造方程求得点面距离，知D正确. 【详解】对于A，连接， ，，四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）， ，为等边三角形，， 即异面直线与所成角为，A正确； 对于B，连接， 平面，即为直线与平面所成角， ，，，， ，即直线与平面所成角不是，B错误； 对于C，连接，交于点，连接， 四边形为正方形，，为中点， ，， 二面角的平面角为， 平面，平面，， 又，，， ， 即二面角的正切值为，C正确； 对于D，连接， ，， ， 又，， 设点到平面的距离为，则，解得：， 即点到平面的距离为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 设中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则__________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】利用余弦定理直接计算即可. 【详解】因为，，，所以由余弦定理可得 ， 化为 ，解得 或 . 故答案为：或 . 13. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可. 【详解】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于，分别是棱，的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，进而， 又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角. 设，则，，. 从而，， ，， 故， 故异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交于点，过点作交于点，即可求出、、、、、，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积与体积. 【详解】因为，所以，设圆的半径为， 又，解得（负值舍去）， 过点作交于点，过点作交于点， 则，， 所以，同理可得，， 将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥， 其中球缺的高，圆锥的高，底面半径， 则其中一个球冠的表面积，球的表面积， 圆锥侧面积， 所以几何体的表面积， 又其中一个球缺的体积， 圆锥的体积，球的体积， 所以几何体的体积. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积、体积要合理转化. 四、解答题 15. 已知复数，在复平面内对应点分别为，，其中． （1）若m＝1，求； （2）若是关于x的方程的一个复数根，求m的值及． 【答案】（1） （2）m＝－1， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，求解； （2）（方法一）由题意，将代入方程，利用复数相等求解；（方法二）由题意得到方程的两根为，求解；（方法三）先求得方程的根再对应求解. 【小问1详解】 解：由题意得， 因为m＝1，所以， 则， 所以． 【小问2详解】 （方法一）由题设得， 即，则 解得m＝－1．故． （方法二）由题设得方程的两根为，， 则，得m＝－1，故． （方法三）由， 得，即，所以m＝－1， 故． 16. 如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使． （1）若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点F到平面的距离． 【答案】（1）存在， （2）最大值为3，此时点F到平面的距离为 【解析】 【分析】（1）取，可得，过点作交于点，连接，则有，结合已知条件可证四边形为平行四边形即可证明结论； （2）利用有最大值，求出BE的长度，在中，由余弦定理得的值，进一步求出的值，求出，设点到平面的距离为，利用等体积法求出即点到平面的距离． 【小问1详解】 上存在一点P，使得平面，此时， 理由如下：当时，， 如图，过点P作交于点M，连接， 则， ∵，∴，∴，又，，∴， 故四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面， ∴平面. 综上，存在点P，使得平面，. 【小问2详解】 设，则， 故， ∴当时，有最大值，且最大值为3， ∴此时，，，， ∴，， 在中，由余弦定理得，， ， 设F到平面的距离为h， ，． 综上，三棱锥的最大值为3，此时点F到平面的距离为. 17. 如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. （1）当时，用，表示，； （2）若，求实数的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可. （2）将问题转化为，利用向量垂直关系求解即可； （3）由于，则，结合二次函数的最值问题求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 若，则， 因为，，， 则， 所以. 【小问3详解】 ）由题可得： ， ， ∵，当时，的最大值为， 当时，最小值为， 所以. 18. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的大小； （2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可求得，由此可得； （2）利用余弦定理可求得，利用面积桥可构造方程求得，由此可得. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ， ，，，又，. 【小问2详解】 由余弦定理得：，解得：（舍）或， ，，； ， ， ，. 19. 如图，在三棱台中，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）当点到平面距离最大时，求三棱台的体积．（注：，其中是高，分别是上下底面面积．） 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理可得，即可根据等腰三角形的性质得，由线面垂直的判定即可求证， （2）根据可知平面平面，作，连接，则即为直线与平面所成角．即可利用三角形的边角关系求解长度得解. （3）当平面时，到平面距离最大，进而根据三角形的边角关系求解长度，即可由体积公式求解. 小问1详解】 证明：在中，由正定理可得， 由于为锐角，故，故，所以 由所以． 又，所以， 所以， 取中点，连接，则，平面， 故平面平面， 由三棱台的性质可知，所以． 【小问2详解】 由三棱台的性质可知，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角． 由平面，平面，可知平面平面，且两平面的交线为， 作，连接，则即为直线与平面所成角． 在中，， 余弦定理可得， 故， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取中点，连接，平面， 故平面，平面，所以平面平面， 故平面时，到平面距离最大． 可以算得 ，平面， 故平面 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期中质量检测 高一年级数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题 1. 复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（ ） A B. 1 C. 2 D. 2. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 4. 已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，为边上一点，满足，则（ ） A. B. 6 C. D. 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题 9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 10. 在中，角所对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则 D. 若，且，则内切圆半径为 11. 如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角平面角正切值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题 12. 设中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则__________． 13. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______. 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________. 四、解答题 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，其中． （1）若m＝1，求； （2）若是关于x的方程的一个复数根，求m的值及． 16. 如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使． （1）若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点F到平面的距离． 17. 如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. （1）当时，用，表示，； （2）若，求实数的值； （3）求的取值范围. 18. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的大小； （2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求的面积． 19. 如图，三棱台中，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）当点到平面距离最大时，求三棱台的体积．（注：，其中是高，分别是上下底面面积．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$