8.3 乘法公式（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年六年级数学下册同步精品课堂（鲁教版2024）

8.3 乘法公式 题型一 运用平方差公式进行运算 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D． 3．若，则m等于（   ） A． B． C．6 D．8 4．为了运用平方差公式计算，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 运用平方差公式进行数字运算 5．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 6．将变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．用简便方法计算，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果是（   ） A．900.16 B．899 C．900 D．899.84 题型三 判断能否用平方差公式 9．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 10．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 11．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A．B． C． D． 12．下面各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 题型四 运用平方差公式进行计算 13．由计算下题：． 14．小迪同学在计算时，把4写成后，得．受此启发，在求的值时，先乘得 ． 阅读上面的材料，解答下列问题: (1)计算:； (2)借用上面的方法，逆用平方差公式计算:． 15．（运算能力）小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)计算：； (2)计算：． 16．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值． ①； ②； ③； … 由此我们可以得到：____________． 请你先将上面的横线填写完整，再利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）； （2）． 题型五 平方差公式与几何图形 17．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 18．【探究】 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）； 【应用】请应用这个公式解决下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 19．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 20．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 题型六 运用完全平方公式进行运算 21．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 22．若，则下列等式：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 24．设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 题型七 运用完全平方公式进行求值 25．已知，则的值为（    ） A．49 B． C．7 D． 26．若，则A，B各等于（   ） A． B． C． D． 27．已知，则的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 28．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型八 运用完全平方公式变形求值 29．若，，则（ ） A．11 B．12 C． D． 30．已知，则的值为（   ） A．25 B．24 C．23 D．22 31．已知，则的值是（    ） A．4 B．18 C．12 D．16 32．若，则（　　） A．9 B．5 C．11 D．13 题型九 完全平方公式在几何图形中的应用 33．如图，两个正方形的边长分别为a，b，且满足．求图中阴影部分的面积． 34．数学活动课上．老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片依次记三类，拼成了一个如图2所示的正方形．    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：______； 方法2：______． (2)请直接写出三个代数式：之间的一个等量关系______． (3)根据（2）题中的等量关系．解决如下问题： ①已知．求的值 ②已知．求． 35．数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．          【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：________________． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片________张，乙种纸片________张，丙种纸片________张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 36．数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片1张、种纸片1张和种纸片2张拼成如图②所示的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要种卡片_______张，种卡片_______张，种卡片_______张； (3)两个正方形，按图③所示的方式摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分的面积和． 题型十 完全平方式中求字母系数 37．若是完全平方式，且，则（　　） A． B．或 C．27或 D．或 38．若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 39．若，则m的值为（   ） A．4 B．1 C． D． 40．如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A． B． C．或 D．或 1．代数式的末尾数字是 ． 2．由，反过来可以得到．计算： ． 3．从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）． （1）图①中阴影部分的面积为 ； （2）图②的面积可以表示为 ； （3）这验证了平方差公式： ． 4．若满足，则 ． 5．两个不相等的实数满足，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 6．若，，则的值是 ． 7．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：． 请你结合以上知识，解答下列问题： (1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式________． (2)写出图3所示的长方形所表示的数学等式_______． (3)根据（2）得到的结论，解决下面的问题：若，求的值． 8．【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 【跟踪训练】请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若x满足，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积为15，分别以为边作正方形．求阴影部分的面积． 9．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下： ∴当时，数式的最小值是4，此时 小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ； (2)求代数式的最小值，并求此时x的值； (3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 乘法公式 题型一 运用平方差公式进行运算 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．由题意得，将代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：B ． 2．若，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式将写成，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．若，则m等于（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握平方差公式、积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键．根据平方差公式以及积的乘方与幂的乘方计算即可解决此题． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：． 4．为了运用平方差公式计算，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．将看作整体，利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 题型二 运用平方差公式进行数字运算 5．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，掌握平方差公式的计算是解题的关键． 根据题意，运用平方差公式将等于左边因式分解后计算得，再与等式右边比较，即可求解． 【详解】解：等式左边 ， ∴， ∴， 故选：B ． 6．将变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据因式分解的定义对式子进行分解，再根据平方差公式变形即可． 【详解】解： 故选：A． 7．用简便方法计算，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．根据平方差公式变形即可． 【详解】解： ； 故选：D． 8．计算的结果是（   ） A．900.16 B．899 C．900 D．899.84 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解：； 故选D． 题型三 判断能否用平方差公式 9．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵，能用平方差公式进行计算， ∴选项A符合题意； ∵，不能用平方差公式进行计算， ∴选项B不符合题意； ∵，不能用平方差公式进行计算， ∴选项C不符合题意； ∵中与的系数不同，不存在相同的项，不能用平方差公式计算， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 10．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，能用平方差公式的式子特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、没有完全相同的项，也没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 11．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式：，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，由此判断即可． 【详解】解：A、两个因式中，没有两项完全相同，也没有两项互为相反数，故不能用平方差公式计算； B、两个因式中，和是相反数，和是相同项，故可以用平方差公式计算； C、两个因式中，各项符号完全相反，故不能用平方差公式计算； D、两个因式中，各项符号完全相反，故不能用平方差公式计算； 故选：B 12．下面各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、能用平方差公式计算，故符合题意； B、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 题型四 运用平方差公式进行计算 35．由计算下题：． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，利用平方差公式将原式变形为，计算即可得解，熟练掌握平方差公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 36．小迪同学在计算时，把4写成后，得．受此启发，在求的值时，先乘得 ． 阅读上面的材料，解答下列问题: (1)计算:； (2)借用上面的方法，逆用平方差公式计算:． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平方差公式，熟练应用平方差公式，并能根据题意构造出平方差公式是解题的关键． （1）根据题意将原式乘以，然后连续运用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式将原式化简，得到，再约分进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（运算能力）小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）将原式的相乘部分乘以，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的； （2）将原式的相乘部分乘以，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值． ①； ②； ③； … 由此我们可以得到：____________． 请你先将上面的横线填写完整，再利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）； （2）． 【答案】；（1）；（2） 【分析】本题考查了数字类规律的探索、多项式乘多项式等：根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（1）利用得出的规律计算即可；（2）利用规律计算即可． 【详解】解：从已知的例子中，我们可以看到一个规律：乘以一个从到的多项式，结果等于 因此， （1）由结论，得原式； （2）原式． 题型五 平方差公式与几何图形 39．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)4 (3)1 (4) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （2）把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （3）先将化成，再应用所得的公式，即可计算得到结果； （4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果． 【详解】（1）解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：， 图1的阴影部分为面积为：， 图2中长方形的长为：，长方形的宽为：， 图2长方形的面积为：， ， 故选：B． （2）解：， ， 又， ， 故答案为：4． （3）解： ． （4）解： ． 40．【探究】 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）； 【应用】请应用这个公式解决下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了平方差公式，根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）利用（1）中的公式计算即可． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两个图中阴影部分的面积相等得， 即可以得到乘法公式； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴； （3） ． 41．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)①3；② 【分析】3本题考查了平法差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于． （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解。 【详解】（1） （2）经分析，拼接后的长方形长为、宽为． ∴ （3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （4）①解：①∵，， ∴ ∴， ② 故答案为：①3；②． 42．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景和应用，代数式求值，有理数的混合运算以及数式规律问题，利用平方差公式将代数式进行变形是解题关键． （1）分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）①利用平方差公式，整体代入即可求出答案；②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，根据规律可得答案． 【详解】（1）解：根据两图形面积可得：， 故选：B； （2）解：①， ， 又， ； ． 题型六 运用完全平方公式进行运算 13．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．根据完全平方公式，把各选项中等式左侧展开，再与等式右侧相比较即可选出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 14．若，则下列等式：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是完全平方公式与平方根公式的变形，理解并掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式与平方差公式的含义变形即可判断． 【详解】解：∵， ∴，故①正确；②错误； ，故③正确； ，故④错误； 故选：B 15．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握完全平方公式、平方差公式和同底数幂的乘法公式以及合并同类项法则是解题的关键． 分别按照完全平方公式、平方差公式和同底数幂的乘法公式以及合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，故不符合题意； B、，原说法正确，故符合题意； C、，原说法错误，故不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原说法错误，故不符合题意， 故选：B． 16．设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用；，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 题型七 运用完全平方公式进行求值 17．已知，则的值为（    ） A．49 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 18．若，则A，B各等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将已知等式中间第一项利用完全平方公式化简，右边第一项也利用完全平方公式展开，计算出A与B的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 19．已知，则的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，根据，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 20．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 题型八 运用完全平方公式变形求值 21．若，，则（ ） A．11 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．把原式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 22．已知，则的值为（   ） A．25 B．24 C．23 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 设，根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 即， 故选：C ． 23．已知，则的值是（    ） A．4 B．18 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了换元法，完全平方公式以及平方差公式，先整理得，再令，则，，解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 令， ∴， 则， 即， ∴， ∴， 则， 故选：B． 24．若，则（　　） A．9 B．5 C．11 D．13 【答案】B 【分析】 此题考查完全平方公式，根据完全平方公式得出，再结合已知，即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 题型九 完全平方公式在几何图形中的应用 43．如图，两个正方形的边长分别为a，b，且满足．求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形的面积，先求解，再利用割补法计算即可. 【详解】解：如图所示，∵， ∴． ∵， ∴， 即， 则两个正方形的面积之和为76， ∴ ． 44．数学活动课上．老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片依次记三类，拼成了一个如图2所示的正方形．    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：______； 方法2：______． (2)请直接写出三个代数式：之间的一个等量关系______． (3)根据（2）题中的等量关系．解决如下问题： ①已知．求的值 ②已知．求． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）利用阴影部分直接求和和总面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果； （2）由图2中阴影部分的面积表示可得：； （3）①由可得，然后整体代入计算即可； ②设，，可得，从而利用及的值可求得此题结果． 【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：①由（2）题结论可得， 当时， ； ②设，，则，， ∴ ， ∴． 45．数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．          【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：________________． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片________张，乙种纸片________张，丙种纸片________张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察发现：；操作探究：1，2，3；拓展延伸：10 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景和变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 观察发现：根据图（2）的面积边长为的正方形的面积一个边长为的正方形的面积一个边长为的正方形面积个长为，宽为的长方形面积，列出算式即可； 操作探究：利用多项式乘多项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； 拓展延伸：先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】观察发现： 解：观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：， 正确的等式为：， 故答案为：； 操作探究： 解： ， 需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张， 故答案为：1，2，3； 拓展延伸： 解：，，， ， ， ， ， ， 整理得， ， 或（不合题意，舍去）， 阴影部分的面积 ． 46．数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片1张、种纸片1张和种纸片2张拼成如图②所示的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要种卡片_______张，种卡片_______张，种卡片_______张； (3)两个正方形，按图③所示的方式摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查完全平方公式及其几何应用，多项式与多项式的乘法，代数式求值，开平方，用不同方法表示图形面积得到等量关系是解答的关键． （1）用两种方法求得正方形的面积，进而得到三者的关系式； （2）利用整式的乘法计算，即可解题； （3）由题意和图形知，则．结合，得出，所以，求出的值，再利用阴影部分的面积和即可求解． 【详解】（1）解：由图②得大正方形的边长为， 则其面积为， 大正方形中四个小长方形（或小正方形）的面积分别为，，，， 利用大正方形的面积可得， 故答案为：； （2）解：由， 又每张种卡片面积为，每张种卡片面积为，每张种卡片面积为， 可知需要种卡片张，种卡片张，种卡片张， 故答案为：，，； （3）解：由正方形得，， 则，， 则， 因为， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以阴影部分的面积和． 题型十 完全平方式中求字母系数 25．若是完全平方式，且，则（　　） A． B．或 C．27或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方式，负整数幂，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．根据平方项确定出，求出的值，再求出的值，代入计算即可． 【详解】解：因为是完全平方式， 所以或， 解得或． 因为， 所以， 所以或． 故选：D． 26．若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方公式的特征判断即可得到的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 或， 故选：D． 27．若，则m的值为（   ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式应用，理解并掌握完全平方公式是解答本题的关键； 根据题意将展开整理后，然后一一对应相等即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B； 28．如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了求完全平方式子中字母系数，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式推出，得到，运算求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 解得：或； 故选：C． 29．代数式的末尾数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的计算，利用平方差公式得到式子结果为，再根据末尾数字规律求解即可． 【详解】解： …… ， ∵的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是， ∴末尾数字按，，，的顺序依次出现， ∵， ∴的末尾数字是， 故答案为：． 30．由，反过来可以得到．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，逆用平方差公式进行简算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 31．从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）． （1）图①中阴影部分的面积为 ； （2）图②的面积可以表示为 ； （3）这验证了平方差公式： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的证明，图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为； （2）图②的面积可以表示为； （3）这验证了平方差公式：． 32．若满足，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可得出答案，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 得：， 故答案为：． 33．两个不相等的实数满足，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 8或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将两边平方，再用代入得到方程，解方程即得答案； （2）先用完全平方公式计算的值，再开平方，即得答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； 故答案为：； （2）由（1）知， ， ， 8或． 故答案为：8或． 34．若，，则的值是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式和整体代入的方法解答即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或， 故答案为：4或． 47．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：． 请你结合以上知识，解答下列问题： (1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式________． (2)写出图3所示的长方形所表示的数学等式_______． (3)根据（2）得到的结论，解决下面的问题：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)24 【分析】本题考查多项式乘多项式和完全平方公式的几何背景．解决本题的关键是能结合图形得出多项式乘多项式的结果，并利用整体思想求解． （1）根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （2）根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （3）根据图3对应的结论进行求解． 【详解】（1）解：拼成的大矩形面积之和， 各个小图形面积之和， ∴图2所表示的数学等式是． 故答案为：； （2）图3中大正方形的面积， 各个小图形面积之和， ； （3）． ， 即， ． 48．【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 【跟踪训练】请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若x满足，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积为15，分别以为边作正方形．求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，利用完全平方公式变形计算： （1）设，仿照题干给出的解题方法进行求解即可； （2）设，仿照题干给出的解题方法进行求解即可； （3）根据题意，得到：，进而得到，根据，设，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 所以． （2）设，则，． 因为， 所以， 所以， 所以． （3）根据题意，得， 所以， ． 设，则（． 因为， 所以（负值已舍去）， 所以 ． 49．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下： ∴当时，数式的最小值是4，此时 小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ； (2)求代数式的最小值，并求此时x的值； (3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)4 (2)最小值为2，此时 (3) 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特点解答即可； （2）根据题目提供的方法配方成完全平方公式，然后根据偶次方的非负性即可得答案． （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式，根据偶次方的非负性几何多项式的最小值为2，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：4； （2） 当时，代数式有最小值是2， 此时； （3） 依题意得， ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$