8.3 乘法公式 培优作业 2025--2026学年鲁教版六年级数学下册

**基本信息** 本练习围绕平方差公式和完全平方公式分4课时设计，采用“夯基础+练能力”分层模式，通过基础应用到综合拓展的递进路径，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|公式直接应用、基础计算|以选择、填空、直接计算题为主，如平方差公式判断、完全平方公式配方，强化运算能力| |练能力|公式逆用、实际应用、规律探究|含材料阅读（如杨辉三角）、几何面积验证、规律猜想题，培养推理意识与创新意识|

第八章 整式的乘除 3 乘法公式 第1课时平方差公式 夯基础 1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是 ( ) A. B.(-a-b)(a-b) C. D.(m-n)(-m+n) 2.已知a+b=3,a-b=5,则代数式 的值是 ( ) A.16 B.15 C.14 D.2 3.若 则a-b的值为 ( ) A.0 B.1 C.3 D.5 4.计算(a-b)(a+b) 的结果是 ( ) A. B. C. D. 5.若(x+y+1)(x+y-1)=8,则x+y的值为 ( ) A.3 B.±3 C.-3 D.±5 6.若k为任意整数，则 的值能被 整除.(填符合条件的最大整数) 7.计算(2x+y)(y-2x)= . 8.若 ,则n= . 9.计算: (1)(a-1)(a+1); (2)(ab+3)(ab-3); (3)(3a-b)(-3a-b); 10.计算: (1)(a+2b)(a-2b)-(3a-2b)(3a+2b); (2)(x-3y)(x+3y)+(5y+2x)(2x-5y); (3)(2a+1)(2a-1)-(2a-3)(3a+1); (5)(5x+3y)(3y-5x)-(4x-y)(4y+x); 11.发现：比任意一个奇数大5的数与此奇数的平方差能被5整除. 验证： (2)设奇数为2n+1,试说明:比2n+1大5的数与2n+1的平方差能被5整除； 延伸： (3)请利用整数k 说明“比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数为5”. 练能力 12.若 则A 的值是( ) A.0 B.1 C. D. 13.计算: 的结果是 ( ) A. B. C. D. 14.阅读材料后解决问题.小明遇到下面一个问题：计算 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (3)化简: 15.你会求(a-1) 的值吗?这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到 a+1)= ; (2)利用上面的结论，求 的值； (3)计算: 第2课时平方差公式的应用 夯基础 1.运用整式乘法公式计算993×1007,下列变形正确的是( ) A.(990+3)×(1000+7) B.(1000-7)×(1000+7) C.(990+3)×(990+17) D.(1000-7)×(990+17) 2.如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是( ) A.10 B.8 C.6 D.4 3.计算 2 025 的结果是 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.如图，阴影部分是边长为a 的大正方形中减去一个边长为b 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 5.我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式.如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是( ) A. B. C. D. 6.计算 7.计算: 8.如图,小正方形 ABCD 和大正方形CEFG 相邻,B,C,G 三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上.连接AE，DG，EG，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 9.如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式 . 10.简便计算: (3)102×98; 11.植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验.其中长方形花坛每排种植(2a-b)株,种植了(2a+b)排,正方形花坛每排种植a 株，种植了a 排(a>b>0). (1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株? (2)当a=4，b=2时，这两块花坛一共种植了多少株? 12.从边长为a 的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2). (1)上述操作可以验证的乘法公式是 ; (2)并利用所得公式计算： 2026; (3)运用以上规律计算： 练能力 13.【探究】如图1,从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形. (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积:图1 ,图2 ; (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a,b 表示); 【应用】(3)请应用这个公式完成下列各题：①已知2m-n=3,2m+n=4,则 的值为 ； ②计算： 【拓展】(4)计算 的结果为 . 第3课时 完全平方公式 夯基础 1.若 可以配成一个完全平方公式，则m 的值为 ( ) A.-8 B.±8 C.16 D.±16 2.将大正方形和小正方形按如图所示位置放置，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b,若a+b=7,ab=10,则图中阴影部分的面积为 ( ) A.8 B.12 C. D. 3.已知 则 的值是 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16 4.若a+b=3,ab=-4,则 5.小红将展开后得到 小芳将( 展开后得到 若两人计算过程均无误，则 的值为 . 6.已知 则 的值为 . 7.若 可以配成一个完全平方公式，则m 的值为 . 8.计算: 9.如图 1 是一个长为2m、宽为2n的长方形.沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图 2形状拼成一个正方形. (1)观察图 2，直接写出代数式(m+n)², m n 之间的关系: ; (2)利用(1)的结论和公式变形，解决下面问题：已知x+y=7,xy=6,则x-y值为 ; (3)两个正方形 ABCD,AEFG 如图 3 摆放，边长分别为x，y，若 2，求图中阴影部分的面积是多少? 练能力 10.【背景】对于两数和(差)的完全平方公式 b²中的三个代数式： 和 ab,若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值.由此解决下列问题： 【应用】 (1)若 求a-b的值; 【迁移】 (2)如图,在长方形 ABCD 中,AB=14,BC=10,点 E,F 分别是边AD,AB 上的点,且DE=BF=a,分别以AE,AF 为边在长方形ABCD 外侧作正方形AEMN 和正方形APQF，若长方形 AFGE 的面积为60，求图中两个正方形的面积之和. 11.很多代数原理都能用几何模型来解释.如果用 □来表示边长为a 的正方形，其面积为a².用□来表示长和宽分别为a 和b 的长方形，其面积为 ab.□来表示边长为b的正方形，其面积为b².(a大于b) (1)如图1，在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图 2).阴影部分面积解释了学过的公式： ; (2)请用几何模型解释： (在空白图中将几何模型画出来)； (3)图 3 是一个长为 2a,宽为 2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形.可解释等式： ； (4)若a-b=5, ab=3,求 的值. 第4课时完全平方公式的应用 夯基础 1.下列关于96²的计算方法正确的是( ) A. B. C. D. 2.运用完全平方公式计算(x-3y+2z)²,下列变形不正确的是 ( ) A.[(x-3y)+2z]² B.[(x+2z)-3y]² C.[x-(3y+2z)]² D.[x+(2z-3y)]² 3.算式99903²+2×99903×77707+77707²值的十位数字是 ( ) A.0 B.3 C.5 D.7 4.为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，下列变形正确的是 ( ) A.[x-(2y+1)]² B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y+1)]² 5.如果 的结果中不含x的一次项，则a，b满足 ( ) A. a=b B. a=0或b=0 C. a=-b D.以上均不对 6.简便计算: 7.小红在计算 时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案.你知道答案是多少吗?请将答案填在横线上 . 8. .(用完全平方公式计算) 9.如果 是完全平方公式，则k= . 10.利用完全平方公式进行简便运算： 11.利用完全平方公式计算： (2)99.9²; 12.运用完全平方公式计算. (2)(a-b+2c)(a+b-2c); (3)(2a+3b-1)(1-2a-3b); (4)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5); (5)(m-2n)(m+2n)+(m-n)²; 13.有下列等式： …… (1)根据你发现的规律，写出第11个等式：11×12×13×14+1= = ; (2)根据你发现的规律,猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1分解因式的结果,并证明. 练能力 14.在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》(1261年)一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪(1050年左右)也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.此图揭示了(a+b)”(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律： 1 1 1 ……(a+b)¹=a+b 1 2 1 1 3 3 1 1 4 ( ) ( ) 1 ……(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²……第14题图 (1)补充完整(a+b)⁴ 的展开式, (2)(a+b)⁷的展开式中共有 项,所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算： (4)今天是星期五，过了8⁶天后是星期几?(直接写答案) 15.观察下列各式: (1)可以发现一个速算法则，请填写： ①末位数字是5 的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的 ，再在末尾接着写上 ； ②设一个两位数的十位数字是x，个位数字是5，用含x 的代数式表示上述速算法则: = ; (2)请你继续深入研究，回答下列问题： ①发现末位数字是5 的三位数的平方也有类似的速算法则，请直接写出： ; ②设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是5，用含a，b的代数式表示上述速算法则，并用所学的数学知识说明这个速算法则成立的理由. 第 1 课时 平方差公式 1. D 2. B 3. B 4. B 5. B 9.解: 10.解:(1)原式 (2)原式: (3)原式-6a+9a+3=4 (4)原式 (5)原式 (6)原式 81y⁴. 11.解:(1)(8+3)×(8-3);11; (2)因为( =(2n+6+2n+1)(2n+6-2n-1) =5(4n+7), 因为 n为整数,所以5(4n+7)是5的倍数,即比2n+1大5的数与2n+1的平方差能被 5 整除; (3)设任意的整数为k，则比 k 大 5 的数为k+5, 因为 k)=10k+25=10k+20+5=10(k+2)+5. 因为k 为整数， 所以10(k+2)+5被 10除余5, 即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数为5. 12. D 解析: 13. B 解析:原式 14.解:(1)原式 (2)原式 (3)当m=n时,原式 当m≠n,即:m-n≠0|时， 原式 15.解: (2)原式: (3)由(1)的结论可知, 所以 第 2 课时 平方差公式的应用 1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6.250 7.199 8.18 10.解:(1)原式 (2)原式: (3)原式=(100+2)×(100-2)=10 000-4=9 996; 11.解:(1)由题意得 答：长方形花坛比正方形花坛多种植 b²)株; (2)由题意得( 当a=4,b=2时,原式 4=76(株), 答：这两块花坛一共种植了76株. 12.解: =1; 1)+1 13.解: 4=12, 故答案为：12； 1) 故答案为 第 3 课时 完全平方公式 1. D 2. C 解析： 3. B 解析:因为( 所以[ 所以 2(x-6)+1=30, 即 那么 4.17 5.0 6.79 7.4 8.解:( 4n²; 9.解: (2)因为:x+y=7, xy=6, 所以 所以x-y=±5, 故答案为：±5； (3)因为 所以 即4=34-2xy, 所以xy=15, 又因为 所以 因为x>y>0,所以x+y=8, 所以 10.解:(1)因为 所以( 25, 则a-b=±5; (2)因为AB=14,BC=10,DE=BF=a, 所以 AE=10-a,AF=14-a, 因为长方形 AFGE 的面积为60， 所以AE·AF=(10-a)(14-a)=60, 所以 日 2×60=16+120=136. 11.解: (2)画出边长为(a+3b)的正方形，如图， 故答案为： (4)由(3),得( 所以 因为a-b=5, ab=3, 所以 第 4 课时 完全平方公式的应用 1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6.900 7. 解析：原式 9.-1或2 10.(1)100;1;10 201 (2)10;0.2;96.04 11.解:(1)原式 (2)原式: 0.01=9 980.01; (3)原式 12.解: (3)(2a+3b-1)(1-2a-3b)=-(2a+ (4)(2x+y-x+5)(2x-y+z+5)= 13.解:( (2)猜想:n(n+1)(n+2)(n+3)+1= 证明:n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 即n(n +1)(n +2)(n + 3) + 1 = 14.解： (2)8,2⁷; (3)由题意可知 所以可取a=2,b=1, 即原式 (4)今天是星期五，过了86天后是星期六，理由：因为 为各项的系数)， 因为 e×71都能被7 整除， 所以8⁶除以7余1， 所以如果今天是星期五，过了8⁶ 天后是星期六. 15.解:(1)①乘积,25; (2)①87 025; b+1)+25, 证明： =100(10a+b)(10a+b+1)+25. 学科网（北京）股份有限公司 $