8.2 整式的乘法（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年六年级数学下册同步精品课堂（鲁教版2024）

8.2 整式的乘法 题型一 单项式乘单项式 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，是解题的关键． （1）先根据积的乘方和幂的乘方计算括号，再计算单项式乘以单项式即可求解； （2）根据积的乘方和幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂相乘等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 4．市环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，请求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由． 【答案】有，正方体贮水池的棱长为分米 【分析】本题考查了单项式的乘法，积的乘方和幂的乘方，根据单项式的乘法，可得长方体的体积，根据积的乘方等于乘方的积，可得正方体的体积，可得答案． 【详解】解：有， ∵废水的体积为立方分米， 又∵， ∴正方体贮水池的棱长为分米． 题型二 利用单项式乘方求字母或代数式的值 5．若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．若，求的值． 【答案】 【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 【详解】解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 7．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 8．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，-16． 【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简． 题型三 单项式乘多项式 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】；24 【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及求解，原式第一项利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式 10．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式， 根据单项式乘以多项式等于用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加即可． 【详解】解：原式． 11．化简求值：，其中，． 【答案】，110 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式以及代数求值， 首先计算单项式乘以多项式，合并同类项化简原式，再将x，y代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 12．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先计算单项式乘多项式，再合并同类项，得到，把代入计算即可； （2）先计算幂的乘方和零指数幂，再计算同底数幂的乘法，再合并同类项得到，把代入计算即可. 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解：原式 ． 当时， 原式． 题型四 单项式乘多项式的应用 13．（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 【答案】（1）至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元；（2）至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 【分析】此题考查了整式运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 则把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元； （2）根据题意得：， 则在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 14．今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积；（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 【答案】(1)长方形绿地的面积为平方米 (2)器材场地比绿地的面积大平方米 【分析】本题考查了整数的乘除和加减的运用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式并计算即可； （2）根据器材场地减去绿地的面积列式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：平方米， 答：长方形绿地的面积为平方米； （2）解：器材场地的面积： ， ， ， ， ， 平方米． 答：器材场地比绿地的面积大平方米． 15．如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 【答案】(1)水渠的横断面积为平方米． (2)水渠可以蓄水立方米． 【分析】本题主要考查代数式的运用，整式的混合运算，掌握代数式表示数或数量关系的方法，整式的运算法则是解题的关键． （1）根据几何图形面积的计算公式代入计算即可； （2）根据体积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：平方米， ∴水渠的横断面的面积为平方米； （2）解：立方米， ∴水渠可以蓄水立方米． 16．如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（休息区面积大于泳池）．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式运算的实际应用： （1）用长方形的面积公式进行计算即可； （2）用大长方形的面积减去泳池的面积，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 答：长方形游泳池面积为； （2）解：； 答：休息区面积为． 题型五 利用单项式乘多项式求字母 17．若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 18．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 19．若的展开式中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为0，即可得出答案． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ， 解得：． 【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 20．已知，求，的值． 【答案】a=2，b=1 【分析】根据整式的乘法展开，分别得到a，b的关系式，故可求解． 【详解】∵ ∴5a=10，-3a=-6，ab=2 ∴a=2，b=1． 【点睛】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． 题型六 多项式乘多项式 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则求解即可； （2）根据多项式乘多项式法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．化简： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再去括号、合并同类项计算即可． 【详解】解： ． 23．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，同底数幂的乘法和幂的乘方逆用； （1）先根据单项式乘多项式，多项式乘多项式分别计算，再合并同类项即可； （2）根据，代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵， ∴． 24．学习多项式时，同学们研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为 ； (2)已知多项式有一个零点为3，求多项式B的另一个零点． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了新定义——多项式的零点．熟练掌握新定义，多项式的乘法法则，是解题的关键． （1）根据题意求出或时x的值即可得到答案； （2）先把代入中，求出c的值，再根据求出a、b的值，最后根据零点的定义求解即可． 【详解】（1）解：当时， 当时，， ∴多项式的零点为或， 故答案为：或． （2）解：∵多项式有一个零点为3， ∴当时，， 代入得， 解得， 即 ， 即， ， 当时， ∴多项式B的另一个零点为． 题型七 不含某项求字母的值 25．已知，，且的值与无关，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值．根据整式的混合运算顺序和法则化简，根据其值与x无关得出，即可得出答案． 【详解】解：因为 ， 因为， 所以 ． 由题意，得， 解得． 26．（1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的运算，整式混合运算中无关项的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算的逆运算求解即可； （2）根据多项式乘以多项，再根据不含某项，让该项的系数为0，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴原式； （2）多项式与的积不含项和项， ∴ ， ∴， 解得，． 27．已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则展开合并同类项后，不含项，且常数项是，据此进行解答即可； （2）按照多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 不含项，常数项是， ，， ，； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 28．已知的展开式中不含的一次项，常数项是．求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先算出，再结合的展开式中不含的一次项，常数项是，得且，进行计算，即可作答． 【详解】解：原式 ， ∵展开式中不含的一次项，常数项是， 则且， 解得：． 题型八 多项式运算的化简求值 29．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 30．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 31．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则是正确解决本题的关键． 利用多项式乘多项式法则将原式展开，再去括号合并即可化简，最后将a、b值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 32．随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【答案】(1) (2)完成硬化共需要28000元． 【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． （1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）由图得，阴影面积为： ； （2）当时， 阴影面积为：（平方米），（元， 答：完成种植园共需要28000元． 题型九 图形面积问题 33．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形土地，计划将阴影部分的区域进行绿化，中间修建一座雕像，则绿化面积是多少平方米？ 【答案】绿化面积是平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式加减的应用，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．根据绿化面积等于长方形土地的面积减去中间正方形雕像的面积列出式子，再计算多项式乘以多项式、整式的加减法即可得． 【详解】解：由图可知，绿化面积为 （平方米）， 答：绿化面积是平方米． 34．如图1，小明用一个长为、宽为的长方形纸板，做一个有底无盖的盒子．他的方法是，把这个长方形的四个角各截掉一个边长为的小正方形，如图2，然后沿虚线折起来，便成为一个无盖的纸盒． (1)若将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示小明至少需要准备多大面积的彩纸； (2)当时，求所需彩纸的面积． 【答案】(1) (2)所需彩纸的面积为 【分析】本题考查了整式的运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据图形表示出彩纸的面积即可； （2）把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当时， 所以，所需彩纸的面积为． 35．如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【答案】(1)（平方米） (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； （2）根据题意求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ，， ， （平方米）， 绿化面积的值为． 36．某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． (1)请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） (2)当时，求出该绿地的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)352平方米 【分析】本题主要考查此题考查了多项式乘多项式的应用，代数式求值等知识． （1）将水平与垂直的小路平移到右边及下边，表示出剩下部分的长与宽，利用长方形的面积公式列出关系式． （2）将代入（1）式计算即可． 【详解】（1）解：依据题意得该绿地的总面积为： （平方米）， 该绿地的总面积为平方米 （2）解：当时， 该绿地的总面积为：（平方米） 题型十 规律问题 37．已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题． （1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②中，把按升幂进行排列，把化为，然后套用规律进行解答，需要处理好符号； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 38．计算下列两个数的积（这两个数的十位数字相同，个位数字的和等于10）， ，，，， （1）你发现结果有何规律？ 用你发现结果的规律计算：______，______； （2）请用所学知识解释这个规律． 【答案】625；3021；1216；7224；5609；（1）十位数乘以十位数加一作为结果的百位，两个个位相乘作为结果的个位和十位；4221；9025；（2）见解析 【分析】本题考查了数字类规律，由题意得出十位上数字乘以十位上数字加一的积作为千位和百位数字，两个个位上的数字相乘的结果作为十位和个位的数字，由此进行计算即可得出答案，根据题意得出规律是解此题的关键． 根据有理数乘法运算法则和乘方运算法则求出结果即可； （1）根据结果找出数字规律；利用找出的规律进行计算即可； （2）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为，则另一个数为，按照（1）的规律进行验证即可． 【详解】解：，，，，， （1）根据计算的数字结果可得规律：十位数乘以十位数加一作为结果的百位，两个个位相乘作为结果的个位和十位． ； ； （2）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为，则另一个数为， ， 前一项就是十位数乘以十位数加一，后一项就是两个个位数字相乘． 39．观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的方法即可求解； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解； （3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示， ①． ②． 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 40．观察以下等式： …… (1)按以上等式的规律，填空： ①________． ②________． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式． （1）①读懂题意，按照题中的规律填空；②按照题中的规律填空； （2）利用多项式乘以多项式计算； （3）根据规律化简式子． 【详解】（1）解：① ②， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 1．如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项： （）根据进行计算即可； （）把代入求值即可． 【详解】（1） ； （2）解：当时， ． 2．如图，将梯形分成四个三角形：三角形、三角形、三角形、三角形，其中边的长是的2倍，三角形的面积为15，三角形的面积为18，求三角形与三角形的面积之和． 【答案】39 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和代数式的求值． 先设则，的高为a，b，根据题意可知，进而得出梯形的面积，再整体代入求出梯形的面积，然后根据面积的差得出答案． 【详解】解：设则，的高为a，b，根据题意得， 即． 梯形的面积， 所以和的面积之和为． 3．阅读材料 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位． 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为 ； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为 ，上述规律可以表示为 （用含，的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 【答案】(1)2021 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查多项式乘以多项式，列代数式： （1）根据题干给定的方法，进行计算即可； （2）根据两个两位数的特点，表示出另一个两位数，根据计算方法，写出规律即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，证明即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）∵两个两位数的十位上的数相同，个位上的数的和为10， ∴另一个两位数的十位数字为：，个位上的数字为， ∴另一个两位数表示为：； ∴； （3）证明： ， ． 4．计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 5．如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 【答案】(1) (2)81 【分析】本题主要考查整式乘除的应用，熟练掌握整式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据题意表示出面积，再进行化简即可； （2）代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴草坪总面积为平方米． （2）解：当，时，原式， ∴草坪总面积为81平方米． 6．阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了整式的乘法，有理数的乘方等知识点， (1)根据探索材料找到规律直接写出答案； (2)把代入(1)中的等式进行求值即可；把代入(1)中式子计算即可； 熟练掌握相应的运算法则，找到规律是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵① ② ③ ④ ， ∴ 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， 故答案为： 把代入中得， ， ． 7．发现与探索：你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值： ①；②； ③；… （1）由此我们可以得到：______． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般要根据所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，难度一般． （1）根据所给式子从而总结出规律是；， （2）将写成的形式进行计算即可； （3）设， 则， 得出，继而得出，继而得解； 【详解】（1）根据规律可得：， 故答案为：； （2）， ； （3）设， ， ， 解得：， 即 8．日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________． 2025年1月 (1)完成上面的填空． (2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律． (3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】(1)14；14；14 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给算式进行计算即可； （2）选择两个类似的长方形框试一试即可； （3）表示出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角-左上角×右下角”写出规律；利用多项式乘多项式法则，证明结论． 【详解】（1）解：， 不难发现，结果都是14， 故答案为：14；14；14； （2）解：如图： ， ， 结果都是14；符合规律； （3）解：①设左上角的数字为n，则右上角的数字为， 左下角的数字为，右下角的数字为． 发现的规律是． 证明： ； ②设左上角的数字为n，则右上角的数字为， 左下角的数字为，右下角的数字为． 发现的规律是． 证明： ． 9．（1）如图，用一方框在月历表中任意框出四个数，将其中最小的数记为a，则其他三个数分别用含a的代数式表示为_________；（按从小到大顺序填写） （2）若将框出的四个数按照的方式进行计算，当方框在月历表中平移时，所框出的四个数运算结果会随方框位置移动而变化吗？为什么？    【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据另3个数与最小的数相隔1，7，8可得相应的代数式； （2）把（1）得到的四个代数式，根据xy﹣mz计算可得定值为﹣7． 【详解】解：（1）由图中可知，将其中最小的数记为a，则其他三个数分别用含a的代数式表示为：，，； 故答案为：，，； （2）当方框在月历表中平移时，所框出的四个数运算结果是定值，理由如下： 由题意得： ， ∴所框出的四个数运算结果是定值． 【点睛】本题考查数字的变化规律；判断出第1至第7列各列数之和中的最大值与最小值是解决本题的易错点；判断出第2列与第3列相邻2列数之差的计算方法是解决本题的关键． 10．已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)0.5； (2) 【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可； （2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式化简后，不含有项和常数项．， ∴，， ∴，； （2）∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 整式的乘法 题型一 单项式乘单项式 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．先化简，再求值：，其中， 4．市环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，请求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由． 题型二 利用单项式乘方求字母或代数式的值 5．若，则求的值． 6．若，求的值． 7．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 8．先化简，再求值：，其中，． 题型三 单项式乘多项式 9．先化简，再求值：，其中． 10．计算：． 11．化简求值：，其中，． 12．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 题型四 单项式乘多项式的应用 13．（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 14．今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积；（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 15．如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 16．如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（休息区面积大于泳池）．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； 题型五 利用单项式乘多项式求字母 17．若恒成立，求的值． 18．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 19．若的展开式中不含项，求a的值． 20．已知，求，的值． 题型六 多项式乘多项式 21．计算： (1)； (2)． 22．化简： 23．（1）计算：； （2）已知，求的值． 24．学习多项式时，同学们研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为 ； (2)已知多项式有一个零点为3，求多项式B的另一个零点． 题型七 不含某项求字母的值 25．已知，，且的值与无关，求的值． 26．（1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 27．已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 28．已知的展开式中不含的一次项，常数项是．求的值． 题型八 多项式运算的化简求值 29．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 30．先化简，再求值：，其中． 31．先化简，再求值：，其中，． 32．随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 题型九 图形面积问题 33．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形土地，计划将阴影部分的区域进行绿化，中间修建一座雕像，则绿化面积是多少平方米？ 34．如图1，小明用一个长为、宽为的长方形纸板，做一个有底无盖的盒子．他的方法是，把这个长方形的四个角各截掉一个边长为的小正方形，如图2，然后沿虚线折起来，便成为一个无盖的纸盒． (1)若将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示小明至少需要准备多大面积的彩纸； (2)当时，求所需彩纸的面积． 35．如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 36．某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． (1)请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） (2)当时，求出该绿地的总面积． 题型十 规律问题 37．已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 38．计算下列两个数的积（这两个数的十位数字相同，个位数字的和等于10）， ，，，， （1）你发现结果有何规律？ 用你发现结果的规律计算：______，______； （2）请用所学知识解释这个规律． 39．观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 40．观察以下等式： …… (1)按以上等式的规律，填空： ①________． ②________． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简：． 1．如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 2．如图，将梯形分成四个三角形：三角形、三角形、三角形、三角形，其中边的长是的2倍，三角形的面积为15，三角形的面积为18，求三角形与三角形的面积之和． 3．阅读材料 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位． 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为 ； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为 ，上述规律可以表示为 （用含，的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 4．计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 5．如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 6．阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 7．发现与探索：你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值： ①；②； ③；… （1）由此我们可以得到：______． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （2）； （3）． 8．日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________． 2025年1月 (1)完成上面的填空． (2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律． (3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 9．（1）如图，用一方框在月历表中任意框出四个数，将其中最小的数记为a，则其他三个数分别用含a的代数式表示为_________；（按从小到大顺序填写） （2）若将框出的四个数按照的方式进行计算，当方框在月历表中平移时，所框出的四个数运算结果会随方框位置移动而变化吗？为什么？    10．已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值． (2)求的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$