8.1 幂的乘除（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年六年级数学下册同步精品课堂（鲁教版2024）

8.1 幂的乘除 题型一 同底数幂的乘法的逆应用 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．可以写成（   ） A． B． C． D． 题型二 幂的乘方和逆应用 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．32 题型三 积的乘方和逆运算 9．下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 10．若，则n的值为（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 11．计算的结果为（    ） A．2 B． C．1 D． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型四 同底数幂的乘法和逆应用 13．若，则的值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 14．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 15．已知，，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D． 16．已知，，，则的值是（   ） A．212 B．54 C．31 D．27 题型五 幂的混合运算 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 19．计算 20．计算 (1) (2) 题型六 零指数幂和负数指数幂 21．的值是（    ） A． B． C． D． 22．计算的结果正确的是（   ） A． B．2026 C． D． 23．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 24．已知，，，那么，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型七 科学计数法 25．蚕丝是人类最早利用的动物纤维之一，其截面可以近似地看成圆，一根桑蚕丝的截面直径约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 26．纳米科学与技术，简称为纳米技术，是研究结构尺寸在1至100纳米范围内材料的性质和应用．纳米技术的发展带动了与纳米相关的很多新兴学科．有纳米医学、纳米化学、纳米电子学、纳米材料学、纳米生物学等．全世界的科学家都知道纳米技术对科技发展的重要性，所以世界各国都不惜重金发展纳米技术，力图抢占纳米科技领域的战略高地．单个细菌用肉眼是根本看不到的，用显微镜测直径大约是五微米．假设一根头发的直径是毫米，把它轴向平均剖成万根，每根的厚度大约就是纳米．也就是说，纳米就是毫米．用科学记数法可表示为：（    ） A． B． C． D． 27．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 28．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 题型八 整数指数幂的运算 29．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1)； (2)； (3)． 30．计算： (1)； (2)． 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．计算： (1)； (2)． 1．（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 2．观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 3．回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 4．分别求出下列式子的值 (1)已知：，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 5．（1）已知，求的值； （2）已知，求t的值． 6．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 7．（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）已知，，，求的值． 8．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 9．若（且是正整数），则．请你利用上面的结论，回答下列问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 10．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 幂的乘除 题型一 同底数幂的乘法的逆应用 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．将原式变形为，得到，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：C． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同时数幂相乘底数不变幂相加进行求解判断即可． 【详解】解：A．，选项错误； B．，选项错误； C．，选项错误； D．，选项正确． 故选D． 3．下列算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、合并同类项；熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：①，错误； ②和不是同类项，不能合并，错误； ③，错误； ④，错误； ⑤，正确． 所以正确的有1个． 故选A． 4．可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则即可得解，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 题型二 幂的乘方和逆应用 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘法则、幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）． 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，正确； D．，错误． 故选C． 8．若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．32 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法，灵活运用运算法则是解答的关键．根据幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则逆运算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 题型三 积的乘方和逆运算 9．下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，根据运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 10．若，则n的值为（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方和积的乘方法则化简后得，从而，进而可求出n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11．计算的结果为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方运算及积的乘方逆运算．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解题的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用积的乘方化成计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：A． 题型四 同底数幂的乘法和逆应用 13．若，则的值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法运算等知识，掌握相关运算并灵活应用是解题关键． 根据幂的乘方，同底数幂的除法运算将原式变形得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 故选：B ． 14．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法，积的乘方等运算性质，对各个选项逐一计算，即可得到答案． 【详解】A．，错误； B．，错误； C．，错误； D．，正确． 故选：D． 15．已知，，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：当时， ， 故选：C． 16．已知，，，则的值是（   ） A．212 B．54 C．31 D．27 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，熟知同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法是正确解决本题的关键． 逆用幂的运算，把变形成，再代入计算即可． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：B． 题型五 幂的混合运算 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则并正确进行符号运算是解题的关键． （1）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （4）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （5）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； ； （3）原式； （4）原式； （5）原式（n为正整数）． ． 19．计算 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先算幂的乘方，再进行幂的乘法运算，最后合并同类项即可，解题的关键是熟悉幂的运算法则． 【详解】解：， ， ， 20．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项运算法则求解即可； （2）将看成整体，利用同底数幂的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 题型六 零指数幂和负数指数幂 21．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了零指数幂，根据即可求解，熟记是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 22．计算的结果正确的是（   ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 23．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂乘法运算、零指数幂及负指数幂运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，且缺少条件，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、正确，故本选项符合题意， 故选：D． 24．已知，，，那么，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，0次幂和负整数指数幂的运算及数的大小比较，熟练在掌握运算性质是解此题的关键． 利用有理数的乘方，0指数幂和负整数指数幂的运算性质分别求出a、b、c的值，再比较即可． 【详解】∵，，， ∵， ∴． 故选：B． 题型七 科学计数法 25．蚕丝是人类最早利用的动物纤维之一，其截面可以近似地看成圆，一根桑蚕丝的截面直径约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．本题考查了科学记数法的知识点． 【详解】解：， 故选：B． 26．纳米科学与技术，简称为纳米技术，是研究结构尺寸在1至100纳米范围内材料的性质和应用．纳米技术的发展带动了与纳米相关的很多新兴学科．有纳米医学、纳米化学、纳米电子学、纳米材料学、纳米生物学等．全世界的科学家都知道纳米技术对科技发展的重要性，所以世界各国都不惜重金发展纳米技术，力图抢占纳米科技领域的战略高地．单个细菌用肉眼是根本看不到的，用显微镜测直径大约是五微米．假设一根头发的直径是毫米，把它轴向平均剖成万根，每根的厚度大约就是纳米．也就是说，纳米就是毫米．用科学记数法可表示为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：， 故选：C． 27．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：． 故选：C． 28．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 题型八 整数指数幂的运算 29．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，涉及单项式乘法，除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据单项式的乘法进行计算即可； （2）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答； （3）先根据积的乘方的性质与单项式的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、积的乘方的逆运用，解题关键是熟练掌握整式的相关运算法则． （1）根据正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则即可求解； （2）根据积的乘方的逆运用即可求解． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ， ． 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先按照积的乘方运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （2）先按照积的乘方，同底数幂的运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （3）先按照积的乘方，再计算同底数幂的除法，再化为张整数指数幂的形式即可； （4）先按照积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算，再化为科学记数法的形式即可； 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ； 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和积的乘方法则及有理数的乘法法则计算即可； （2）利用幂的乘方和积的乘方法则及有理数的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查科学记数法，幂的乘方和积的乘方及有理数的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 1．（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）14；（2）12 【分析】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法的逆用，因式分解的应用， （1）先将代数式因式分解，再将，代入求解即可； （2）直接逆用同底数幂乘法运算求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（1）原式， 当，时， 原式； （2）原式 ， 当，时， 原式． 2．观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 3．回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键． 4．分别求出下列式子的值 (1)已知：，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 【答案】(1)①50；② (2) 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则． （1）①先将变形为，再代入求值即可；②先将变形为，再代入求值即可； （2）由变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2） 5．（1）已知，求的值； （2）已知，求t的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及积的乘方，关键是能准确运用幂的乘方、同底数幂的乘法及积的乘方对代数式进行变形求解． （1）将变形为，再整体代入求解； （2）将变形为，再求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 所以． （2）因为， 所以当时，， 所以， 解得． 6．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 7．（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方， （1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可； （2）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：∵，，、为正整数， （2）∵， ； 8．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 9．若（且是正整数），则．请你利用上面的结论，回答下列问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算， （1）根据同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算即可求解； （2）根据幂的乘方及其逆运算即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 解得． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 10．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$