8.4 整式的除法（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年六年级数学下册同步精品课堂（鲁教版2024）

8.4 整式的除法 题型一 单项式除以单项式 1．，括号内应填的代数式为（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．下列运算中结果正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 科学计数法 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 7．某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 8．如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A． B． C． D． 题型三 多项式除以单项式 9．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 10．如果，则M表示的式子为（   ） A． B． C． D． 11．已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 12．有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 整式的四则混合运算 13．计算： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 15．计算： (1)． (2) 16．计算 (1)； (2)． 题型五 整式的化简求值 17．已知，其中．比较A和B的值的大小． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．（1）计算： （2）计算： 20．先化简，再求值：，其中，． 题型六 整式的规律 21．数学老师在黑板上写了几个算式： 第一个：； 第二个：； 第三个：； 第四个：； …… (1)参照上述算式，请你直接写出第五个和第六个算式． (2)请你用含的代数式表示上述算式的规律（为正整数）． (3)请你证明（2）中的规律是正确的． 22．日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2014年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”，我们惊喜的发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2014年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律 (2)请同学们利用你学过的数学知识来解释这一规律． 23．观察下列等式： …… (1)根据以上规律，则______________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：________； (3)根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可） 24．观察下列等式： ①； ②； ③； ④； 根据等式的规律解决下列问题： (1)根据规律填空： 第5个等式为______， …… 第n个等式为______． (2)记．请你把这n个式子左右两边分别相加，用含n的式子表示S． 题型七 整式的实际问题 25．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 26．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 27．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是某年10月份的日历，请你仔细观察日历表，探究以下日历的有关问题． （1）若用阴影部分在表中随意框住4个数字，则所框出的四个数的和的最大值是________； （2）用阴影部分框出日历中的4个数字，已知四个数的和为88，求这四个数； （3）试求每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘的积的差，你发现有什么规律． 28．某景点的门票价格为：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（打8折）．设一个旅游团共有人，其中学生y人． （1）如果该旅游团的成人、学生都不足40人，请用代数式表示成人门票费、学生门票费； （2）用代数式表示该旅游团应付的门票费； （3）如果旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付门票费多少元？ 1．（1）计算：； （2）用乘法公式简便计算：． 2．计算 (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) 4．（古代数学文化）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中宋朝数学家杨辉的“杨辉三角”就是一例．如下图，这个三角形的构造法则为两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上述规律，写出的展开式； (2)利用上述规律计算：． 5．阅读与理解 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：材料中，由整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，主要运用的数学思想是______．（单选） A．数形结合思想        B．类比思想        C．分类讨论思想        D．公理化思想 (2)任务二：仿照例子的做法用竖式除法计算______． (3)任务三：若的商为整式，则______． 6．先化简，再求值：，其中． 7．定义一种新运算，规定，例．已知，分别求A，B． 8．[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 9．张老师在黑板上布置了一道题：计算：，求当和时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由． 10．已知，求代数式的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4 整式的除法 题型一 单项式除以单项式 1．，括号内应填的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查单项式与多项式的除法．根据被除数等于除数乘以商，然后利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：括号内应填的代数式为， 故选：C． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 4．下列运算中结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方．解题的关键在于正确的计算． 根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方等的运算规则求解即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合题意； B中，错误，故不符合题意； C中，正确，故符合题意； D中，错误，故不符合题意； 故选：C． 题型二 科学计数法 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 6．地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 【答案】B 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7． 故选：B 【点睛】本题考查整式的除法． 7．某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 【答案】C 【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7 ∴n=-7 故选：C 8．如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用各选项的数分别除以，根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即可. 【详解】A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意； B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意； C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意； D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键． 题型三 多项式除以单项式 9．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的除法，根据除法的运算规律，先用多项式的每一项除以，再根据单项式除以单项式的计算法则得到答案即可． 【详解】解： ， ． ∴选项C正确，符合题意． 故选项为：C 10．如果，则M表示的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的除法，根据，然后利用整式除法的法则计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D 11．已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘除法运算，熟练掌握整式的乘除法运算法则是解题的关键，计算过程中为使得计算简便应该先变形要求的整式． 先通过整式的除法求出，再变形要求的整式，最后代入具体值计算即得． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 12．有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则、多项式除单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式等知识点逐个计算得结论． 【详解】解：，故①运算错误； ，故②运算错误； ，故③运算正确； ，故④运算正确； ，故⑤运算错误； 综上所述，正确的有③④，一共2个． 故选：B． 题型四 整式的四则混合运算 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式运算的法则和平方差公式是正确解题的关键． （1）根据运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． （2）先计算单项式乘多项式、运用平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算． （1）本题考查了整式的乘除运算，根据整式乘除法的运算法则进行计算即可； （2）本题考查了整式的混合运算，根据整式乘除法的运算法则进行计算即可； （3）本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ． 15．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，最后计算多项式除以单项式即可； （2）先计算零指数幂，再根据积的乘方的逆运算法则和同底数幂乘法的逆运算法则把变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式运算，直接利用整式的混合运算法则计算得出答案． （1）利用整式的除法运算法则计算得出答案． （2）利用完全平方公式、平方差进行分解合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型五 整式的化简求值 17．已知，其中．比较A和B的值的大小． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式乘法公式，化简求值，先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值，最后比较大小即可． 【详解】解： ， 把代入， 得． ， 把代入， 得． 因为， 所以． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，先算括号里，再算除法，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 19．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据多项式除以单项式，平方差公式计算即可． （2）根据多项式乘多项式的法则即平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，多项式乘多项式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟记相关运算法则即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， ． 题型六 整式的规律 21．数学老师在黑板上写了几个算式： 第一个：； 第二个：； 第三个：； 第四个：； …… (1)参照上述算式，请你直接写出第五个和第六个算式． (2)请你用含的代数式表示上述算式的规律（为正整数）． (3)请你证明（2）中的规律是正确的． 【答案】(1)第五个：；第六个： (2) (3)见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子． （1）根据规律可以直接得到答案； （2）根据题目中的式子的变化规律可以用含的代数式表示上述算式的规律； （3）利用完全平方公式展开证明等式成立即可． 【详解】（1）解：第五个：；第六个：． （2）根据题意可得上述算式的规律为； （3）证明：等式左边等式右边． 正确． 22．日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2014年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”，我们惊喜的发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2014年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律 (2)请同学们利用你学过的数学知识来解释这一规律． 【答案】(1)图见解析，见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确发现数字之间的变化规律是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，验证规律即可； （2）找出四个数字的数量关系，设四个数分别为，，，．然后带入求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 ∵， ∴上述规律正确． （2）解：设方格圈上的四个数分别为，，， 23．观察下列等式： …… (1)根据以上规律，则______________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：________； (3)根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析题意，认真观察各式，等式右边的指数比左边的最高指数大，利用此规律填空； （2）根据发现的规律，将其写成关于含有的式子即可； （3）将原式变形为，问题就可根据规律解答了． 【详解】（1）解：由规律得：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键．观察所给出式子，找到规律，填空，利用规律进行计算，实际上是规律的反利用，即把式子化为符合规律的式子，进行简便运算． 24．观察下列等式： ①； ②； ③； ④； 根据等式的规律解决下列问题： (1)根据规律填空： 第5个等式为______， …… 第n个等式为______． (2)记．请你把这n个式子左右两边分别相加，用含n的式子表示S． 【答案】(1)2×5+1；2n+1 (2)S= 【分析】（1）根据已知等式可得第5个等式经及第n个等式； （2）把这n个式子左右两边分别相加，得 (n+1)2-12=（2×1+1）+（2×2+1）+（2×3+1）++（2n+1），再整理即可得到S=． 【详解】（1）解：根据已知等式可知： 第1个等式：22-12=2×1+1， 第2个等式：32-22=2×2+1， 第3个等式：42-32=2×3+1， 第4个等式：52-42=2×4+1， 第5个等式：62-52=2×5+1， ……， 第n个等式：(n+1)2-n2=2n+1； 故答案为：2×5+1；2n+1； （2）解：∵第1个等式：22-12=2×1+1， 第2个等式：32-22=2×2+1， 第3个等式：42-32=2×3+1， ……， 第n个等式：(n+1)2-n2=2n+1， 把这n个式子左右两边分别相加，得： (n+1)2-12=（2×1+1）+（2×2+1）+（2×3+1）++（2n+1）， 即n2+2n+1-1=2×(1+2+3+)+n， ∴1+2+3++n= ∴S=． 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，整式的混合运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 题型七 整式的实际问题 25．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 【答案】(1)①S阴影＝(a＋b)2−4ab；②S阴影=(a−b)2​；（a＋b）2−4ab＝（a−b）2 (2)S阴影＝a2−2ab＋b2 (3)见解析 【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形−4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积； （2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S阴影＝S正方形−4S基本图形； （3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1−S2，即可证明m与x无关． 【详解】（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2． ∵四个基本图形的面积为4ab， ∴S阴影＝(a＋b)2−4ab； ②∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF＝a−b， ∴S阴影＝EH2＝(a−b)2； ∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2． （2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b， ∴四边形EFGH是正方形， ∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab， 即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2． （3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b， m＝S1−S2 ＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b ＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2 ＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2 ＝3b2−ab ∴S与x无关． 【点睛】本题主要考查了利用有关代数式表示图形的面积．合理利用代数式把图形的面积表示出来是解题的关键． 26．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 27．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是某年10月份的日历，请你仔细观察日历表，探究以下日历的有关问题． （1）若用阴影部分在表中随意框住4个数字，则所框出的四个数的和的最大值是________； （2）用阴影部分框出日历中的4个数字，已知四个数的和为88，求这四个数； （3）试求每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘的积的差，你发现有什么规律． 【答案】（1）108；（2）18,19,25,26；（3）这四个数中最大数乘以最小数的积减去另两个数的乘积，差为7 【分析】（1）根据日历的特点得到这4个数字的关系，把对角2个数的和最大的值乘以2即可求解； （2）设最小的数是x，列方程求解即可； （3）设最小的数是x，则其他三个数分别为x+1，x+7，x+8，由题意得（x+1）（x+7）-x（x+8）=7，即可得到结论． 【详解】（1）由阴影部分框出的四个数可知：这4个数字的关系是对角线上的数字之和相等， ∴所框出的四个数的和的最大值是=108， 故答案为：108； （2）设最小的数是x，由题意得 x+x+1+x+7+x+8=88， 解得x=18， ∴x+1=19， x+7=25， x+8=26， ∴设四个数为18,19,25,26； （3）设最小的数是x，则其他三个数分别为x+1，x+7，x+8， 由题意得（x+1）（x+7）-x（x+8）=7 ∴这四个数中最大数乘以最小数的积减去另两个数的乘积，差为7． 【点睛】此题考查日历的数字运算，有理数的混合运算，一元一次方程的实际应用，整式的混合运算，正确理解阴影部分框出的四个数的关系是解题的关键． 28．某景点的门票价格为：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（打8折）．设一个旅游团共有人，其中学生y人． （1）如果该旅游团的成人、学生都不足40人，请用代数式表示成人门票费、学生门票费； （2）用代数式表示该旅游团应付的门票费； （3）如果旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付门票费多少元？ 【答案】（1）学生门票费为：10y元，成人门票费为：20（x-y）元；（2）（16x-8y）元；（3）848 【分析】（1）利用人数乘以票价即可得到门票费； （2）直接利用人数乘以票价乘以0.8得出答案即可； （3）将y=12，x=47+12=59代入（2）的结果中计算即可． 【详解】（1）根据题意得出： 学生门票费为：10y元， 成人门票费为：20（x-y）元； （2）[10y+20（x-y）]×0.8=（16x-8y）元； （3）当y=12，x=47+12=59时， 16x-8y=16×59-8×12=848（元）． 答：那么应付848元门票费． 【点睛】此题考查列代数式，代数式求值，整式的混合运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 1．（1）计算：； （2）用乘法公式简便计算：． 【答案】（1）；（2）159999 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握同底数幂乘法，同底数幂除法，积的乘方，平方差公式． （1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，单项式除单项式即可； （2）原式化为，利用平方差公式进行运算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式： （1）利用单项式乘以单项式，单项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）利用单项式乘以单项式，单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）把单项式分别乘以多项式的每一项，再计算即可； （2）先计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 4．（古代数学文化）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中宋朝数学家杨辉的“杨辉三角”就是一例．如下图，这个三角形的构造法则为两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上述规律，写出的展开式； (2)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查整式的混合运算，读懂题意，理解系数、字母以及字母的指数排列的规律，利用规律解决问题． （1）根据规律能得出，，，，的值，即可推出的值； （2）根据规律得出原式，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴； （2）解： ． 5．阅读与理解 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：材料中，由整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，主要运用的数学思想是______．（单选） A．数形结合思想        B．类比思想        C．分类讨论思想        D．公理化思想 (2)任务二：仿照例子的做法用竖式除法计算______． (3)任务三：若的商为整式，则______． 【答案】(1)B (2) (3)2 【分析】本题考查了多项式的除法，解题的关键是掌握多项式除多项式的运算规则． （1）找到两种除法之间的共同点，是类比思想， （2）根据多项式除以多项式的竖式除法，即可求解， （3）多项式除以多项式的竖式除法，根据余数为0，即可求解， 【详解】（1）解：根据整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想， 故选：B， （2）解： 故答案为：； （3）解： ∵商为整式，余数为0， ∴， ， 故答案为：2． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式化简求值，非负数的性质，绝对值的非负性，熟练掌握整混合运算法则是解题的关键． 先根据整理式混合运算法则化简，再根据非负数性质求出a、b值，然后代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为， 所以， 所以， 所以原式 ． 7．定义一种新运算，规定，例．已知，分别求A，B． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据题目中的新运算，计算即可，正确理解题目中给出的新运算是解题关键． 【详解】解： ， ，． 8．[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 【答案】(1) (2)①130；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． （1）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可； （2）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据，得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①． 因为， 所以， 即， 所以， 所以． ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以，解得． 9．张老师在黑板上布置了一道题：计算：，求当和时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由． 【答案】小亮的说法正确，理由见解析 【分析】先根据完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再分别求出当时，当时原式的值即可得到结论． 本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是：熟练掌握整式的化简求值 【详解】解：小亮说法正确，理由如下：． ， 当时，原式 时，原式， ∴当和时的值相同， ∴小亮说法正确． 10．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用乘法公式去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，由得，然后将代入化简以后的式子中计算即可． 本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式及整式的加减计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$