精品解析：贵州省印江中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省印江中学2023-2024学年高一上学期期末考试 高一 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 以方程的两根为三角形两边之长，第三边长为，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 3. 若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上恰有一个零点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若是偶函数且在上为增函数，又，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 9. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于直线对称 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是__________. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是________. 13. 函数，若关于的方程有个不同的根，则的取值范围为__________． 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知、均为正实数，. （1）若，求的最小值： （2）若，求的最小值. 15. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； （2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. （3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由. 17. 已知是奇函数. （1）求的值及的定义域； （2）判断的单调性并用定义法证明； （3）求不等式的解集. 18. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正，余弦函数有许多类似的性质. （1）已知，求； （2）类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求或）并证明； （3）已知，对任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省印江中学2023-2024学年高一上学期期末考试 高一 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域求出集合与，由、都是数集，是点集可得出、、的关系. 【详解】函数的定义域为，值域为， 由于集合、都是数集，是点集，因此，，故选A. 【点睛】本题考查集合相等，解题时要从集合相等的定义除法来理解，但要注意集合元素的类型要一致，考查计算能力，属于基础题. 2. 以方程的两根为三角形两边之长，第三边长为，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设三角形的三边为，令，由韦达定理结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式求解即可. 【详解】设三角形的三边为，则令， 由题意可知， 又因为所以， ， 所以. 故选：D. 3. 若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的概念，结合图像逐一分析，即可得到结果. 【详解】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 故选：B． 4. 若函数在上恰有一个零点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，结合二次函数的图象与性质，分，和，列出不等式，即可求解． 【详解】由函数在上恰有一个零点， 当时，，令，解得，符合题意， 当时，由，要使函数在上恰有一个零点， 则，即， 解得，即， 当时，在上只有一个零点，符合题意； 当时，要使函数在上恰有一个零点， 则或，即或， 解得或，即或， 时，在上只有一个零点，符合题意； 综上，实数的取值范围为或. 故选：C. 5. 已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 6. 若是偶函数且在上为增函数，又，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数为偶函数将所求不等式变形为，利用该函数在区间上的单调性可得出，解此不等式即可得解. 【详解】由于函数为偶函数，则， 且函数在上为增函数，由，可得， ，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题. 7. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合两角差的正切公式求得. 【详解】由 得， 故选：A. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是2，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值是1，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值是，故D正确， 故选:ABD. 9. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【详解】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数图象左右平移的规律可得A错误，B正确；根据可得选项C错误；根据可得选项D正确. 【详解】由题意可得，则A错误，B正确． 由得选项C错误. 由得选项D正确. 故选：BD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简，由即可得出的范围，根据在上只有一个最大值点和零点即可得出关于的不等式，解出的范围即可. 【详解】 ， 由，且，则， 且在区间上只有一个最大值点和一个零点， ，解得， 的取值范围为：. 故答案为：. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到函数满足，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 则函数满足，即，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 13. 函数，若关于的方程有个不同的根，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数性质，结合函数性质画出函数大致图象，解方程可得或，结合图象及条件列不等式可得结论. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递增， 又，当时，，且， 所以函数的值域为， 所以函数的大致图象如下： 方程可化为， 故或， 因为方程有个不同的根， 所以函数的图象与直线和直线的图象共有个不同的交点， 所以且， 所以的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知、均为正实数，. （1）若，求的最小值： （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【小问1详解】 当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 15. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； （2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】（1）， （2）当投资稳健型产品的资金为6万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元 【解析】 【分析】（1）设，，由函数和的图象分别过点和，分别将其代入即可； （2）设用投资风险型产品的资金为万元，用于投资稳健型产品的资金为万元，得年收益的解析式，化解即可. 【小问1详解】 由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以， . 【小问2详解】 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元， 年收益为万元， 则，， 有， 则当，即万元时，的最大值为， 所以当投资稳健型产品的资金为6万元， 风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元． 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. （3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）为上的减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）因为为上的奇函数，所以，代入可求； （2）由（1）可得，利用定义，任取，只要说明的符号即可判断； （3）由不等式恒成立，及是上的奇函数且是上的减函数，可得对恒成立．由题意可得，，结合二次函数的性质先求出的最大值，即可求的范围． 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以， ， ； （2）为上的减函数． 任取， ， ，，， ， ，所以为上的减函数． （3）若不等式恒成立， ，又为上的奇函数， 所以 又为上的减函数，所以对恒成立． 即对恒成立． ，， 设，其对称轴为， 时是增函数， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质（定义域内有时）的应用，灵活利用该性质可以简化基本运算，函数的单调性的应用是函数基本知识的应用，而函数的恒成立与函数的奇偶性、单调性的综合应用是解决抽象不等式（或恒成立）问题中最为常用的工具． 17. 已知是奇函数. （1）求的值及的定义域； （2）判断的单调性并用定义法证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1），函数的定义域为 （2） 函数在上单调递增； 证明： ，且， ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，即，所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得，可求得，进而根据，可求定义域； （2）函数在上单调递增，利用单调性的定义证明即可； （3）不等式可变形为，由（2）可得，求解即可. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以恒成立，所以， 即，所以，所以， 所以，因为，解得， 所以，由，等价于，解得， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，可得， 因为在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 18. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正，余弦函数有许多类似的性质. （1）已知，求； （2）类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求或）并证明； （3）已知，对任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式， 得双曲正弦函数（或双曲余弦函数； 证明如下：； ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据和的计算公式，结合指数运算法则求解即可. （2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数，证明即可． （3）设，则，时，，进而求的取值范围，化为，利用不等式的性质转化求解，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，设，则， 当时，，所以， 所以， 可化为， 由题意，只需，对任意恒成立即可， 即或，所以或恒成立； ，故在上的最小值是， 当且仅当即时取得最小值； 因为，所以由对勾函数性质知在上单调递减， 所以在上的最大值是7，当取得最大值； 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨论求相应二次函数的最值后求得参数范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $