小升初复习专题讲义：圆柱与圆锥（五大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

小升初复习专题：圆柱与圆锥 题型预览 考点一、圆柱的基本特征 考点二、圆柱的侧面积、表面积 考点三、圆柱的体积（容积） 考点四、圆锥的基本特征 考点五、圆锥的体积（容积） 考点梳理 考点一、圆柱 1.基本特征： （1）由长方形以一条边为轴旋转一周形成。 （2）两底面：两个完全相同的圆形；侧面：曲面；高：两底面之间的垂直距离（有无数条）。 2.表面积公式： （1）侧面积：底面周长 × 高 → （2）表面积：侧面积 + 两底面积 → （3）实际应用：无盖圆柱（只算一个底面积）、水管（只算侧面积）等。 3.体积公式： （1）体积：底面积 × 高 → （2）关键点：单位统一（如米、分米、厘米的换算）。 考点二、圆锥 1.基本特征： （1）由直角三角形以一条直角边为轴旋转一周形成。 （2）底面：一个圆形；侧面：曲面；高：顶点到底面圆心的距离（仅一条）。 2.体积公式： （1）体积：等底等高的圆柱体积的 → （2）重要结论： ①等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍。 ②等体积等底时，圆锥高是圆柱的3倍。 考点三、常见题型与解题技巧 1.计算类： 例1：求圆柱形油桶的用料（表面积）和容积（体积）。 例2：圆锥形沙堆的体积与质量换算（如每立方米沙重1.5吨）。 2.关系类： （1）圆柱削成最大圆锥：体积减少，削去部分与剩余圆锥体积比2:1。 （2）熔铸问题：体积不变（如长方体铁块熔铸成圆锥）。 3.组合图形： （1）圆柱与圆锥叠加：分别计算体积再相加。 （2）空心管问题：大圆柱体积减去小圆柱体积。 考点四、易错点提醒 1.公式混淆：圆锥体积漏乘，圆柱侧面积误加两底。 2.单位陷阱：计算时需统一单位（如高是5分米，半径是10厘米需转换）。 3.实际应用：水桶、烟囱等生活问题注意是否需要算全表面积。 4.口诀速记：圆柱表侧两底加，圆锥体积三分一；等底等高三倍差，熔铸变形体积同。 例题讲解 例题：一、圆柱的基本特征 【例题1】面动成体。如图，长方形的长为6cm，宽为5cm。按照图中的方式快速旋转可以得到（　　）。 A．一个底面直径是6cm、高为5cm的圆柱 B．一个底面半径是6cm、高为5cm的圆柱 C．一个底面周长是6cm、高为5cm的圆柱 D．一个底面直径是6cm、高为5cm的圆锥 【答案】A 【详解】【解答】解：可以得到一个底面直径是6cm、高为5cm的圆柱。 故答案为：A。 【分析】因为旋转轴在中间，所以长方形的长就是圆柱的底面直径，长方形的宽就是圆柱的高。 【例题2】某种生日蛋糕的包装盒是一个圆柱形。为了携带方便，包装时还会捆上丝带(如图，单位：厘米)，打结处正好在上底面圆心处，打结用去丝带25厘米。捆扎这个蛋糕盒至少用去　 　厘米的丝带。 【答案】545 【详解】【解答】解：（50+15)×8 +25 =545(厘米)。 故答案为：545 【分析】观察图中丝带的捆法，丝带的长是由8条直径、8条高和打结处的长度组成. 例题：二、圆柱的侧面积、表面积 【例题1】一个圆柱形纸筒，它的高是3.14dm，底面直径是1dm，沿着高剪开，这个圆柱形纸筒的侧面展开是（　　）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．三角形 【答案】A 【详解】【解答】解：3.14×1=3.14（dm） 故答案为：A。 【分析】圆柱体的侧面展开图形状由圆柱的底面周长和高决定。当圆柱的底面周长等于圆柱的高时，圆柱的侧面展开图是正方形，否则是长方形。故只需根据圆柱的底面周长=πd，计算出圆柱的底面周长，然后与高进行比较，即可得出答案。 【例题2】用铁皮制作一个长为10dm、管口直径为2dm的圆柱形通风管，至少需要（　　）dm2的铁皮。 A．62.8 B．6.28 C．31.4 D．3.14 【答案】A 【详解】【解答】解：3.14×2×10 =6.28×10 =62.8（dm2） 故答案为：A。 【分析】求需要多少平方分米的铁皮，即求圆柱形通风管的侧面积，已知圆柱的侧面积=πdh，代入数值计算即可得出答案。 【例题3】求圆柱的表面积。 【答案】解：3.14×3×2×10＋3.14×32×2 =188.4＋56.52 =244.92（平方分米） 【详解】【分析】圆柱的表面积=底面积×2＋侧面积；其中，圆柱的侧面积=底面周长×高；底面周长=π×半径×2；底面积=π×半径2。 【例题4】养殖场要建一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，沿着这个蓄水池的周围及底面抹水泥。如果每平方米用水泥2千克，买400千克水泥够吗？ 【答案】解：25.12÷3.14÷2=4（米） 3.14×4×4+25.12×4=150.72（平方米） 150.72×2=301.44（千克） 301.44<400。 答：买400千克水泥够了。 【详解】【分析】根据底面周长求出底面半径，再求出圆柱水池的表面积（只有一个底面），最后求出所用的水泥，和400千克比较即可。 例题：三、圆柱的体积（容积） 【例题1】如图，把一个高为10 cm的圆柱的底面平均分成16 等份，把圆柱切开然后拼成一个近似的长方体，表面积增加了60 cm2，圆柱的体积是(　　)cm3。 A．282.6 B．600 C．113.04 D．28.26 【答案】A 【详解】【解答】解：60÷2÷10=3（cm） 3.14×32×10 =3.14×90 =282.6（cm3） 故答案为：A。 【分析】当圆柱底面被平均分成16份后，沿竖直方向切开并拼成近似长方体时，新增的两个长方形面积之和为60cm2。每个长方形的长等于圆柱高（10cm），宽等于圆柱底面半径（r）。根据长方形的面积=长×宽，计算得出圆柱的底面半径r=60÷2÷10=3（cm），然后根据圆柱的体积公式：V=πr2h，代入数据计算即可得出答案。 【例题2】如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是　 　平方厘米，体积是　 　立方厘米。 【答案】251.2；502.4 【详解】【解答】解：25.12×10=251.2（平方厘米） 25.12÷3.14÷2 =8÷2 =4（厘米） 3.14×42×10 =50.24×10 =502.4（立方厘米） 故答案为：251.2；502.4。 【分析】看图可知圆柱的底面周长是25.12厘米，高是10厘米；圆柱的侧面积=底面周长×高；底面周长÷圆周率÷2=底面半径，圆周率×半径的平方×高=圆柱的体积。 【例题3】一个圆柱体和一个长方体等底等高，它们的体积一定相等。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：一个圆柱体和一个长方体等底等高，它们的体积一定相等。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】圆柱和长方体的体积都可以用底面积乘高来计算，所以等底等高的圆柱体和长方体的体积是相等的。 【例题4】把一个高20厘米的圆柱体，沿着它的底面直径切成两个半圆柱，表面积之和比原来增加160平方厘米，原圆柱体的体积是　 　立方厘米。 【答案】251.2 【详解】【解答】解：r=160÷2÷20÷2 =80÷40 =2（厘米） V=3.14×22×20 =3.14×80 =251.2（立方厘米） 故答案为：251.2。 【分析】将一个圆柱体沿着它的底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了两个长为圆柱体高，宽为圆柱底面直径的长方形的面积，故而得出圆柱的底面直径=增加的表面积÷2÷20，即4厘米，再除以2即可得到圆柱的底面半径为2厘米，然后根据圆柱的体积公式：V=πr2h，代入数据计算即可得到该圆柱体的体积。 【例题5】一个圆柱形的水池，从里面量得底面周长为6.28 m，深是1.5m。这个水池能蓄水多少吨？(1m3的水重1t) 【答案】解：6.28÷3.14÷2 =2÷2 =1(m) 3.14×12×1. 5=4.71(m3) 4.71×1=4.71(t) 答：这个水池能蓄水4.71t。 【详解】【分析】 求这个水池能蓄水多少吨即求水池的体积，因为水的重量和水池的体积有直接的关系。题目中给出的信息是水池的底面周长和深度，故通过周长来找到水池底面的半径，进而求出水池底面的面积。然后，通过底面积和深度的乘积，计算出水池的体积。最后，利用每立方米水的重量，计算出水池能蓄水的总重量。 例题：四、圆锥的基本特征 【例题1】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，就得到一个（　　）。 A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．正方体 【答案】C 【详解】【解答】解：以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，就得到一个圆锥 故答案为：C。 【分析】圆锥的立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 例题：五、圆锥的体积（容积） 【例题1】一个圆锥的体积是12立方厘米，底面积是4平方厘米，高是（　　）厘米。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】【解答】解：12×3÷4， =36÷4， =9（厘米）； 答：这个圆锥的高是9厘米。 【分析】根据题意，根据圆锥的体积公式= ×底面积×高，用圆锥的体积乘3再除以底面积即可得到这个圆锥的高，列式解答即可得到答案。 故选：C 【例题2】两个体积相等且等底的圆锥和圆柱，圆锥的高一定是圆柱的高的(　　)。 A．3倍 B． C． D．2倍 【答案】A 【详解】【解答】解：πr2h1=πr2h2 h1=h2 3h1=h2 故答案为：A。 【分析】已知圆柱的体积公式：V=πr2h，圆锥的体积公式：V=πr2h，根据题干信息，假设圆柱的高是h1，圆锥的高是h2，由体积相等得到πr2h1=πr2h2，进而根据等式的性质进行化简，即可得到高的关系。 【例题3】圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么它们一定等底等高。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：一个圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么它们的底面积和高的乘积必须相等。但是，这并不意味着它们必须有相同的底和高。 故答案为：错误。 【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高÷3。通过比较这两个公式，我们可以得出，如果一个圆柱的体积是某个圆锥体积的3倍，那么它们的底面积和高的乘积必须相等。但是，这并不意味着它们必须有相同的底和高，因为底面积和高的乘积相等并不意味着底面积和高本身也相等。 【例题4】一个圆锥形零件的底面周长是25.12分米，高是6分米，这个零件的体积是　 　立方分米。 【答案】100.48 【详解】【解答】解：25.12÷2÷3.14 =12.56÷3.14 =4（分米） 3.14×42×6× =3.14×16×6× =50.24×6× =301.44× =100.48（立方分米） 故答案为：100.48。 【分析】已知圆锥的底面周长，可以求出圆锥的底面半径，C÷2÷π=r，要求圆锥的体积，应用公式：V=πr2h，据此列式解答。 【例题5】计算如图组合图形的体积。（单位：m） 【答案】解：3.14×（8÷2）2×5+3.14×（8÷2）2×3× =3.14×80+3.14×16 =251.2+50.24 =301.44（m3） 【详解】【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×，由此用圆柱的体积加上圆锥的体积即可求出总体积。 考点练习 考点一、圆柱的基本特征 1．在下图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（ ）。 A． B． C． D． 2．圆柱的两个底面之间的距离叫做　 　，圆柱有　 　条高。 3．一张长方形的纸，长是10cm，宽是6cm，如果以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，这个圆柱体的高是　 　cm，半径是　 　cm。 考点二、圆柱的侧面积、表面积 1．下面图形中，(　　)是圆柱的展开图。(单位：cm) A． B． C． D． 2．一个圆柱底面直径是10cm，若高增加2cm，则表面积增加(　　)cm2。 A．31.4 B．62.8 C．20 D．157 3．一个圆柱的侧面展开后是一个正方形，这个圆柱的高和底面半径的比是(　　)。 A．1：π B．π：1 C．2π：1 D．1：2π 4．高为1厘米、底面半径为2 厘米的圆柱，底面周长与侧面积相等。(　　) 5．一个圆柱的底面周长是18.84dm，高是3dm，它的侧面积是　 　dm2，底面积是　 　dm2。 6．如图所示的“博士帽”是用卡纸做成的，上面是边长为30cm的正方形，下面是底面直径为18 cm、高为8cm 的无盖无底圆柱，制作这顶“博士帽”至少需要　 　的卡纸。 7．求下面图形的表面积。 （1） （2） 8．压路机的滚筒的形状是一个圆柱形、滚筒的直径是1.2m，长2m。压路机工作时，滚筒每分钟可向前滚动10圈，压路机工作5分钟(一直向前)，压路面积是多少平方米？ 9．有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 考点三、圆柱的体积（容积） 1．下面(　　)杯中的饮料最少。(单位：cm) A． B． C． D． 2．有一块正方体木料，它的棱长是2分米，将它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是(　　)立方分米。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．100.48 3．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的 ，体积不变。（　　） 4．《九章算术中》记载圆柱体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二面一”，也就是用底面周长的平方乘高，再除以12。这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过取圆周率的近似值为3。笑笑量得一个圆柱形水杯的底面周长是20厘米，高是12厘米，请用这种方法算一算，这个水杯最多可盛水　 　毫升。 5．两个圆柱的底面半径比是3：4，高相等，它们侧面积的比是　 　，体积比是　 　。 6．为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长 10 cm 的正方形，高是12 cm 的长方体铁质零件放入一个底面直径20cm、高20cm 的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能将零件浸没？ 7．如图，小阳测量瓶子的容积，测得瓶子的底面直径是8cm，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15 cm，倒放时水高25 cm，瓶子高30cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 考点四、圆锥的基本特征 1．将一个圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个(　　)。 A．长方形 B．等腰三角形 C．扇形 D．圆形 2．如图，直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm。以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥。这个圆锥的底面直径是 (　　)cm。 A．6 B．8 C．4 D．3 3．从圆锥的顶点到底面圆的　 　的距离是圆锥的　 　。 考点五、圆锥的体积（容积） 1．一个圆锥的体积是 12.56 cm3，如果将它的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么现在的圆锥的体积是(　　)cm3。 A．12.56 B．25.12 C．37.68 D．50.24 2．等底等高的圆柱和圆锥的体积之差是9.42cm3，圆柱的体积是（　　）cm3。 A．3.14 B．4.71 C．9.42 D．14.13 3．一个圆锥形容器，从里面量得它的底面半径为10cm，高为6cm，这个容器能装下1000 mL的水。(　　) 4．一个圆锥形碎石堆，底面半径是3m，高是1.5m，每立方米碎石约重2t， 这堆碎石堆约重　 　t。 5．一个圆柱体， 削去 6 立方分米， 正好削成与它等底等高的圆锥体。 这个圆锥体的体积是　 　立方分米。 6．如图，小玲要把左边瓶子里的果汁倒入右边的圆锥形玻璃杯里，可以倒满　 　杯。(相关数据均是从里面测得的) 7．计算下面各圆锥的体积。 （1） （2） （3） 8．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是4米。用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面上，能铺多少米？ 9．笑笑一家到餐馆吃饭。点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌上，并且说“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌”。笑笑发现这是一个上下均为圆锥的沙漏(如图)，两个圆锥的底面直径都是10厘米，高都是6厘米。沙漏上面的圆锥中装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺最迟多少分钟后笑笑一家点的菜会上桌？ (得数保留整数) 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 小升初复习专题：圆柱与圆锥 题型预览 考点一、圆柱的基本特征 考点二、圆柱的侧面积、表面积 考点三、圆柱的体积（容积） 考点四、圆锥的基本特征 考点五、圆锥的体积（容积） 考点梳理 考点一、圆柱 1.基本特征： （1）由长方形以一条边为轴旋转一周形成。 （2）两底面：两个完全相同的圆形；侧面：曲面；高：两底面之间的垂直距离（有无数条）。 2.表面积公式： （1）侧面积：底面周长 × 高 → （2）表面积：侧面积 + 两底面积 → （3）实际应用：无盖圆柱（只算一个底面积）、水管（只算侧面积）等。 3.体积公式： （1）体积：底面积 × 高 → （2）关键点：单位统一（如米、分米、厘米的换算）。 考点二、圆锥 1.基本特征： （1）由直角三角形以一条直角边为轴旋转一周形成。 （2）底面：一个圆形；侧面：曲面；高：顶点到底面圆心的距离（仅一条）。 2.体积公式： （1）体积：等底等高的圆柱体积的 → （2）重要结论： ①等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍。 ②等体积等底时，圆锥高是圆柱的3倍。 考点三、常见题型与解题技巧 1.计算类： 例1：求圆柱形油桶的用料（表面积）和容积（体积）。 例2：圆锥形沙堆的体积与质量换算（如每立方米沙重1.5吨）。 2.关系类： （1）圆柱削成最大圆锥：体积减少，削去部分与剩余圆锥体积比2:1。 （2）熔铸问题：体积不变（如长方体铁块熔铸成圆锥）。 3.组合图形： （1）圆柱与圆锥叠加：分别计算体积再相加。 （2）空心管问题：大圆柱体积减去小圆柱体积。 考点四、易错点提醒 1.公式混淆：圆锥体积漏乘，圆柱侧面积误加两底。 2.单位陷阱：计算时需统一单位（如高是5分米，半径是10厘米需转换）。 3.实际应用：水桶、烟囱等生活问题注意是否需要算全表面积。 4.口诀速记：圆柱表侧两底加，圆锥体积三分一；等底等高三倍差，熔铸变形体积同。 例题讲解 例题：一、圆柱的基本特征 【例题1】面动成体。如图，长方形的长为6cm，宽为5cm。按照图中的方式快速旋转可以得到（　　）。 A．一个底面直径是6cm、高为5cm的圆柱 B．一个底面半径是6cm、高为5cm的圆柱 C．一个底面周长是6cm、高为5cm的圆柱 D．一个底面直径是6cm、高为5cm的圆锥 【答案】A 【详解】【解答】解：可以得到一个底面直径是6cm、高为5cm的圆柱。 故答案为：A。 【分析】因为旋转轴在中间，所以长方形的长就是圆柱的底面直径，长方形的宽就是圆柱的高。 【例题2】某种生日蛋糕的包装盒是一个圆柱形。为了携带方便，包装时还会捆上丝带(如图，单位：厘米)，打结处正好在上底面圆心处，打结用去丝带25厘米。捆扎这个蛋糕盒至少用去　 　厘米的丝带。 【答案】545 【详解】【解答】解：（50+15)×8 +25 =545(厘米)。 故答案为：545 【分析】观察图中丝带的捆法，丝带的长是由8条直径、8条高和打结处的长度组成. 例题：二、圆柱的侧面积、表面积 【例题1】一个圆柱形纸筒，它的高是3.14dm，底面直径是1dm，沿着高剪开，这个圆柱形纸筒的侧面展开是（　　）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．三角形 【答案】A 【详解】【解答】解：3.14×1=3.14（dm） 故答案为：A。 【分析】圆柱体的侧面展开图形状由圆柱的底面周长和高决定。当圆柱的底面周长等于圆柱的高时，圆柱的侧面展开图是正方形，否则是长方形。故只需根据圆柱的底面周长=πd，计算出圆柱的底面周长，然后与高进行比较，即可得出答案。 【例题2】用铁皮制作一个长为10dm、管口直径为2dm的圆柱形通风管，至少需要（　　）dm2的铁皮。 A．62.8 B．6.28 C．31.4 D．3.14 【答案】A 【详解】【解答】解：3.14×2×10 =6.28×10 =62.8（dm2） 故答案为：A。 【分析】求需要多少平方分米的铁皮，即求圆柱形通风管的侧面积，已知圆柱的侧面积=πdh，代入数值计算即可得出答案。 【例题3】求圆柱的表面积。 【答案】解：3.14×3×2×10＋3.14×32×2 =188.4＋56.52 =244.92（平方分米） 【详解】【分析】圆柱的表面积=底面积×2＋侧面积；其中，圆柱的侧面积=底面周长×高；底面周长=π×半径×2；底面积=π×半径2。 【例题4】养殖场要建一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，沿着这个蓄水池的周围及底面抹水泥。如果每平方米用水泥2千克，买400千克水泥够吗？ 【答案】解：25.12÷3.14÷2=4（米） 3.14×4×4+25.12×4=150.72（平方米） 150.72×2=301.44（千克） 301.44<400。 答：买400千克水泥够了。 【详解】【分析】根据底面周长求出底面半径，再求出圆柱水池的表面积（只有一个底面），最后求出所用的水泥，和400千克比较即可。 例题：三、圆柱的体积（容积） 【例题1】如图，把一个高为10 cm的圆柱的底面平均分成16 等份，把圆柱切开然后拼成一个近似的长方体，表面积增加了60 cm2，圆柱的体积是(　　)cm3。 A．282.6 B．600 C．113.04 D．28.26 【答案】A 【详解】【解答】解：60÷2÷10=3（cm） 3.14×32×10 =3.14×90 =282.6（cm3） 故答案为：A。 【分析】当圆柱底面被平均分成16份后，沿竖直方向切开并拼成近似长方体时，新增的两个长方形面积之和为60cm2。每个长方形的长等于圆柱高（10cm），宽等于圆柱底面半径（r）。根据长方形的面积=长×宽，计算得出圆柱的底面半径r=60÷2÷10=3（cm），然后根据圆柱的体积公式：V=πr2h，代入数据计算即可得出答案。 【例题2】如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是　 　平方厘米，体积是　 　立方厘米。 【答案】251.2；502.4 【详解】【解答】解：25.12×10=251.2（平方厘米） 25.12÷3.14÷2 =8÷2 =4（厘米） 3.14×42×10 =50.24×10 =502.4（立方厘米） 故答案为：251.2；502.4。 【分析】看图可知圆柱的底面周长是25.12厘米，高是10厘米；圆柱的侧面积=底面周长×高；底面周长÷圆周率÷2=底面半径，圆周率×半径的平方×高=圆柱的体积。 【例题3】一个圆柱体和一个长方体等底等高，它们的体积一定相等。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：一个圆柱体和一个长方体等底等高，它们的体积一定相等。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】圆柱和长方体的体积都可以用底面积乘高来计算，所以等底等高的圆柱体和长方体的体积是相等的。 【例题4】把一个高20厘米的圆柱体，沿着它的底面直径切成两个半圆柱，表面积之和比原来增加160平方厘米，原圆柱体的体积是　 　立方厘米。 【答案】251.2 【详解】【解答】解：r=160÷2÷20÷2 =80÷40 =2（厘米） V=3.14×22×20 =3.14×80 =251.2（立方厘米） 故答案为：251.2。 【分析】将一个圆柱体沿着它的底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了两个长为圆柱体高，宽为圆柱底面直径的长方形的面积，故而得出圆柱的底面直径=增加的表面积÷2÷20，即4厘米，再除以2即可得到圆柱的底面半径为2厘米，然后根据圆柱的体积公式：V=πr2h，代入数据计算即可得到该圆柱体的体积。 【例题5】一个圆柱形的水池，从里面量得底面周长为6.28 m，深是1.5m。这个水池能蓄水多少吨？(1m3的水重1t) 【答案】解：6.28÷3.14÷2 =2÷2 =1(m) 3.14×12×1. 5=4.71(m3) 4.71×1=4.71(t) 答：这个水池能蓄水4.71t。 【详解】【分析】 求这个水池能蓄水多少吨即求水池的体积，因为水的重量和水池的体积有直接的关系。题目中给出的信息是水池的底面周长和深度，故通过周长来找到水池底面的半径，进而求出水池底面的面积。然后，通过底面积和深度的乘积，计算出水池的体积。最后，利用每立方米水的重量，计算出水池能蓄水的总重量。 例题：四、圆锥的基本特征 【例题1】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，就得到一个（　　）。 A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．正方体 【答案】C 【详解】【解答】解：以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，就得到一个圆锥 故答案为：C。 【分析】圆锥的立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 例题：五、圆锥的体积（容积） 【例题1】一个圆锥的体积是12立方厘米，底面积是4平方厘米，高是（　　）厘米。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】【解答】解：12×3÷4， =36÷4， =9（厘米）； 答：这个圆锥的高是9厘米。 【分析】根据题意，根据圆锥的体积公式= ×底面积×高，用圆锥的体积乘3再除以底面积即可得到这个圆锥的高，列式解答即可得到答案。 故选：C 【例题2】两个体积相等且等底的圆锥和圆柱，圆锥的高一定是圆柱的高的(　　)。 A．3倍 B． C． D．2倍 【答案】A 【详解】【解答】解：πr2h1=πr2h2 h1=h2 3h1=h2 故答案为：A。 【分析】已知圆柱的体积公式：V=πr2h，圆锥的体积公式：V=πr2h，根据题干信息，假设圆柱的高是h1，圆锥的高是h2，由体积相等得到πr2h1=πr2h2，进而根据等式的性质进行化简，即可得到高的关系。 【例题3】圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么它们一定等底等高。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：一个圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么它们的底面积和高的乘积必须相等。但是，这并不意味着它们必须有相同的底和高。 故答案为：错误。 【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高÷3。通过比较这两个公式，我们可以得出，如果一个圆柱的体积是某个圆锥体积的3倍，那么它们的底面积和高的乘积必须相等。但是，这并不意味着它们必须有相同的底和高，因为底面积和高的乘积相等并不意味着底面积和高本身也相等。 【例题4】一个圆锥形零件的底面周长是25.12分米，高是6分米，这个零件的体积是　 　立方分米。 【答案】100.48 【详解】【解答】解：25.12÷2÷3.14 =12.56÷3.14 =4（分米） 3.14×42×6× =3.14×16×6× =50.24×6× =301.44× =100.48（立方分米） 故答案为：100.48。 【分析】已知圆锥的底面周长，可以求出圆锥的底面半径，C÷2÷π=r，要求圆锥的体积，应用公式：V=πr2h，据此列式解答。 【例题5】计算如图组合图形的体积。（单位：m） 【答案】解：3.14×（8÷2）2×5+3.14×（8÷2）2×3× =3.14×80+3.14×16 =251.2+50.24 =301.44（m3） 【详解】【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×，由此用圆柱的体积加上圆锥的体积即可求出总体积。 考点练习 考点一、圆柱的基本特征 1．在下图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】【解答】解：图形是长方形，以直线为轴旋转一周可以得到圆柱体，其它图形都不能。 故答案为：A。 【分析】以长方形的一条边为轴旋转一周，就能得到一个圆柱体。 2．圆柱的两个底面之间的距离叫做　 　，圆柱有　 　条高。 【答案】高；无数 【详解】【解答】解：圆柱的两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。 故答案为：高；无数。 【分析】圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。 3．一张长方形的纸，长是10cm，宽是6cm，如果以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，这个圆柱体的高是　 　cm，半径是　 　cm。 【答案】10；6 【详解】【解答】解：以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，这个圆柱体的高是10cm，半径是6cm。 故答案为：10；6。 【分析】通过实际操作可知：把一张长方形纸以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，则长方形的长为圆柱体的高，宽为圆柱体的半径。 考点二、圆柱的侧面积、表面积 1．下面图形中，(　　)是圆柱的展开图。(单位：cm) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】【解答】解：A：3.14×2=6.28（cm） B：3.14×4=12.56（cm）≠12cm C：3.14×3=9.42（cm）≠3cm D：3.14×2=6.28（cm）≠3.14cm 故答案为：A。 【分析】已知圆柱展开图由两个完全相同的圆形底面和一个长方形侧面组成，长方形的长等于底面圆的周长，宽等于圆柱的高。已知圆的直径，先根据圆的周长=πd，分别计算出每个选项中的圆的周长，再与高进行比较，即可得出答案。 2．一个圆柱底面直径是10cm，若高增加2cm，则表面积增加(　　)cm2。 A．31.4 B．62.8 C．20 D．157 【答案】B 【详解】【解答】解：3.14×10×2=62.8（cm2） 【分析】已知圆柱侧面积的计算公式：圆柱侧面积 = 底面周长 × 高。圆柱底面直径是10cm，因此，底面周长为πd = 3.14 × 10cm = 31.4cm。高增加2cm，因此，增加的表面积就是高为2cm的新圆柱的侧面积，即31.4cm × 2cm = 62.8cm2。 3．一个圆柱的侧面展开后是一个正方形，这个圆柱的高和底面半径的比是(　　)。 A．1：π B．π：1 C．2π：1 D．1：2π 【答案】C 【详解】【解答】解：设圆柱的高是1，则底面周长是1。 1：（1÷π÷2）=1：=2π：1。 故答案为：C。 【分析】圆柱的侧面展开后是一个正方形，则这个圆柱的底面周长和高相等，设圆柱的高是1，则底面周长是1。高：底面周长=1：（1÷π÷2）=1：=2π：1。 4．高为1厘米、底面半径为2 厘米的圆柱，底面周长与侧面积相等。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：根据题干分析可得：圆柱体的底面周长与侧面积：定义不同，计算公式不同，计量单位不同，所以没法比较它们的大小，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】底面周长是指圆柱的底面一圈的长度，利用圆的周长公式进行计算，单位是厘米；圆柱的侧面积展开后是以底面周长和高为边长的长方形的面积，利用长方形的面积公式进行计算，单位是平方厘米，由此即可判断。 5．一个圆柱的底面周长是18.84dm，高是3dm，它的侧面积是　 　dm2，底面积是　 　dm2。 【答案】56.52；28.26 【详解】【解答】解：18.843=56.52（dm2） 18.843.142=3（dm） 3.1432=28.26（dm2） 故答案为：56.52，28.26。 【分析】已知圆柱的底面周长和高，根据圆柱的侧面积=底面周长高，计算即可得出第一个空的答案；然后根据圆柱底面周长=2πr，得到圆柱的底面半径r=底面周长π2，计算得出圆柱的底面半径，最后根据圆柱的底面积=πr2，计算即可得出答案。 6．如图所示的“博士帽”是用卡纸做成的，上面是边长为30cm的正方形，下面是底面直径为18 cm、高为8cm 的无盖无底圆柱，制作这顶“博士帽”至少需要　 　的卡纸。 【答案】1352.16 【详解】【解答】解：30×30＋18×3.14×8 =900＋452.16 =1352.16（平方厘米）。 故答案为：1352.16。 【分析】制作这顶“博士帽”至少需要卡纸的面积=正方形的边长×边长＋圆柱的底面直径×π×高。 7．求下面图形的表面积。 （1） （2） 【答案】（1）解：(6.28÷3.14÷2)2×3.14×2＋6.28×5 =1×3.14×2+6.28×5 =6.28+31.4 ＝37.68(cm2) 答：图形的表面积为37.68cm2。 （2）解：(4÷2)2×3.14＋4×3.14×5÷2＋4×5 =4×3.14+4×3.14×5÷2+4×5 =12.56+31.4+20 =43.96+20 ＝63.96(cm2) 答：图形的表面积为63.96cm2。 【详解】【分析】（1）圆柱的表面积=底面积×2+侧面积，圆柱的侧面积=底面周长×高，根据公式计算即可； （2）这个图形的表面积可以分成三部分，一部分是圆柱侧面积的一半；第二部分是上下两个半圆形底面，合在一起是一个整圆；第三部分是长5cm、宽4cm的长方形的面。 8．压路机的滚筒的形状是一个圆柱形、滚筒的直径是1.2m，长2m。压路机工作时，滚筒每分钟可向前滚动10圈，压路机工作5分钟(一直向前)，压路面积是多少平方米？ 【答案】解：3.14×1.2×2×10×5 =3.14×2.4×50 =3.14×120 =376.8 (m2) 答： 压路面积是 376.8m2。 【详解】【分析】已知圆柱形滚筒的直径和长，首先根据圆柱的侧面积=πdh，计算得出圆柱形滚筒的侧面积，乘以10，即为滚动10圈经过的面积，再乘以5分钟，即可求出压路机工作5分钟压路的面积。 9．有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 【答案】解：3.14×8×12 =25.12×12 =301.44（平方厘米） 3.14×（8÷2）2 =3.14×16 =50.24（平方厘米） 3.14×6×7 =18.84×7 =131.88（平方厘米） 301.44+50.24×2+131.88 =301.44+100.48+131.88 =401.92+131.88 =533.8（平方厘米） 答：一共需涂533.8平方厘米。 【详解】【分析】根据题意及看图可知将直孔的下底面平移到上面，则零件接触空气的部分就包括了外面圆柱的侧面和两个底面及直孔的侧面：圆周率×外面圆柱的直径×外面圆柱的高=外面圆柱的侧面积，圆周率×（外面圆柱的直径÷2）2=外面圆柱的底面积，圆周率×直孔的直径×直孔的深=直孔的侧面积，外面圆柱的侧面积+外面圆柱的底面积×2+直孔的侧面积=需要涂防锈漆的面积。 考点三、圆柱的体积（容积） 1．下面(　　)杯中的饮料最少。(单位：cm) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】【解答】解：A：V = π r 2 h=4×4×4×π=64π B：V = π r 2 h=5×5×6×π=150π C：V = π r 2 h=4×4×6×π=96π D：V = π r 2 h=5×5×4×π=100π 故答案为：A 【分析】四杯饮料都是圆柱形的，根据圆柱的体积公式，即V = π r 2 h，分别求出四杯饮料的体积，再进行比较即可得出最少的一杯 2．有一块正方体木料，它的棱长是2分米，将它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是(　　)立方分米。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．100.48 【答案】A 【详解】【解答】解：底面半径：2÷2=1（分米） 高：2分米 3.14×1×1×2=6.28（立方分米） 故答案为：A。 【分析】将正方体木料加工成一个最大的圆柱，正方体的棱长就是圆柱的底面直径；再根据“π×底面半径的平方×高=圆柱的体积”求出圆柱的体积。 3．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的 ，体积不变。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】 圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的 ，体积不变。这个说法是错误的。 故答案为：错误。 【分析】当圆柱的高不变，圆柱的底面半径扩大到原来的3倍时，底面积扩大到原来的9倍，即体积扩大到原来的9倍；当底面半径不变，高缩小到原来的 时，体积缩小到原来的；所以，体积变为原来的倍。 4．《九章算术中》记载圆柱体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二面一”，也就是用底面周长的平方乘高，再除以12。这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过取圆周率的近似值为3。笑笑量得一个圆柱形水杯的底面周长是20厘米，高是12厘米，请用这种方法算一算，这个水杯最多可盛水　 　毫升。 【答案】400 【详解】【解答】解：20×20×12÷12 =400×12÷12 =400（立方厘米） =400（毫升） 故答案为：400。 【分析】此题主要考查了圆柱体积的计算，根据题目要求，使用《九章算术》中的方法计算圆柱体积，即底面周长的平方乘以高再除以12，已知底面周长为20厘米，高为12厘米，代入公式进行计算，并将结果转换为毫升。 5．两个圆柱的底面半径比是3：4，高相等，它们侧面积的比是　 　，体积比是　 　。 【答案】9：16；27：64 【详解】【解答】解：：=9：16，它们侧面积的比是9：16， ：=27：64，体积比是27：64。 故答案为：9：16；27：64。 【分析】面积比=半径的平方的比，体积比=半径的立方的比。 6．为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长 10 cm 的正方形，高是12 cm 的长方体铁质零件放入一个底面直径20cm、高20cm 的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能将零件浸没？ 【答案】解：3.14×（20÷2）2×10-10×10×12 =3.14×1000-1200 =3140-1200 =1940（cm3） 1940cm3=1940mL=1.94L 答：容器内至少需要注入1.94L防锈油才能将零件浸没。 【详解】【分析】圆柱的底面直径大于长方体的高，所以将长方体倒卧在内，防锈油的高度为 10 cm 时，可以将零件浸没。用圆柱的底面积乘10cm求出水和零件的体积和，然后减去零件的体积即可求出需要注入油的体积。 7．如图，小阳测量瓶子的容积，测得瓶子的底面直径是8cm，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15 cm，倒放时水高25 cm，瓶子高30cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 【答案】解： 答：这个瓶子的容积是1004.8 mL。 【详解】【分析】观察图形，瓶子的容积为两个圆柱体的体积相加，两个圆柱体积的底面直径均为8cm，高分别为15cm和（30-25）cm，进而根据圆柱体积=πr2h分别计算出两个圆柱体的体积，再相加即可得到这个瓶子的容积。 考点四、圆锥的基本特征 1．将一个圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个(　　)。 A．长方形 B．等腰三角形 C．扇形 D．圆形 【答案】B 【详解】【解答】解：圆锥的侧面展开是一个扇形，将一个圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个等腰三角形。 故答案为：B。 【分析】依据圆锥的特征可知：圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个等腰三角形。 2．如图，直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm。以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥。这个圆锥的底面直径是 (　　)cm。 A．6 B．8 C．4 D．3 【答案】B 【详解】【解答】解：4×2=8（cm）； 故答案为：B。 【分析】这个圆锥的底面半径就是另一条直角边的长度，直径=半径×2，据此求解。 3．从圆锥的顶点到底面圆的　 　的距离是圆锥的　 　。 【答案】圆心；高 【详解】【解答】解：从圆锥的顶点到底面圆的圆心的距离是圆锥的高。 故答案为：圆心；高。 【分析】根据圆锥高的定义进行解答。 考点五、圆锥的体积（容积） 1．一个圆锥的体积是 12.56 cm3，如果将它的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么现在的圆锥的体积是(　　)cm3。 A．12.56 B．25.12 C．37.68 D．50.24 【答案】D 【详解】【解答】解：12.56×22 =12.56×4 =50.24（cm3） 故答案为：D。 【分析】已知圆锥的体积公式：V=13πr2h，当半径扩大2倍且高度不变时，体积的变化仅由半径的平方倍数决定，因此新体积应为原体积的4倍，据此解答即可。 2．等底等高的圆柱和圆锥的体积之差是9.42cm3，圆柱的体积是（　　）cm3。 A．3.14 B．4.71 C．9.42 D．14.13 【答案】D 【详解】【解答】解：9.42÷（3-1） =9.42÷2 =4.71（立方厘米） 4.71×3=14.13（立方厘米） 故答案为：D。 【分析】差倍问题：差÷（倍数-1）=较小数，较小数×倍数=较大数。 3．一个圆锥形容器，从里面量得它的底面半径为10cm，高为6cm，这个容器能装下1000 mL的水。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：×3.14×102×6 =3.14×200 =628（cm3）=628mL≠1000mL 故答案为：错误。 【分析】已知圆锥形容器的底面半径和高，根据圆锥的体积公式：V=πr2h，计算得出圆锥形容器的体积，根据1cm3=1mL换算单位，然后与1000mL进行比较即可。 4．一个圆锥形碎石堆，底面半径是3m，高是1.5m，每立方米碎石约重2t， 这堆碎石堆约重　 　t。 【答案】28.26 【详解】【解答】解：3.14×32×1.5÷3×2 =42.39÷3×2 =14.13×2 =28.26（吨）。 故答案为：28.26。 【分析】这堆碎石堆大约的质量=这堆碎石堆的体积×平均每立方米的质量；其中，这堆碎石堆的体积=π×半径2×高÷3。 5．一个圆柱体， 削去 6 立方分米， 正好削成与它等底等高的圆锥体。 这个圆锥体的体积是　 　立方分米。 【答案】3 【详解】【解答】解：6÷× =9× =3（立方分米） 故答案为：3。 【分析】根据题意及圆柱与圆锥体积的关系可知：把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥体，圆锥的体积是圆柱体积的，则削去部分的体积是圆柱体积的，因此，削去部分的体积÷=圆柱的体积，削去部分的体积÷×=圆锥的体积。 6．如图，小玲要把左边瓶子里的果汁倒入右边的圆锥形玻璃杯里，可以倒满　 　杯。(相关数据均是从里面测得的) 【答案】6 【详解】【解答】解：3.14（102）212 =3.142512 =942（cm3） 3.14（102）26 =3.1450 =157（cm3） 942157=6（杯） 故答案为：6。 【分析】首先根据圆柱的体积公式：V=πr2h，计算得出果汁的总体积，然后根据圆锥的体积=πr2h，计算得出杯子的容积，最后用果汁的总体积除以被子的容积，即可得到答案。 7．计算下面各圆锥的体积。 （1） （2） （3） 【答案】（1）解：9×3.6× =32.4× =10.8（立方米） （2）解：3.14×32××8 =9.42×8 =75.36（立方分米） （3）解：8÷2=4（厘米） 3.14×42×12× =50.24×12× =602.88× =200.96（立方厘米） 【详解】【分析】圆锥的体积=底面积×高×，其中，底面积=π×半径2。 8．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是4米。用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面上，能铺多少米？ 【答案】解：r=18.84÷3.14÷2=3（米） 4厘米=0.04米 ×3.14×32×4÷（10×0.04） =3.14×12÷0.4 =94.2（米） 答：用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面上，能铺94.2米。 【详解】【分析】分析题干，已知圆锥形沙堆的底面周长，首先根据C=2πr，计算得出圆锥形沙堆的底面半径为18.84÷3.14÷2=3（米）；再根据圆锥的体积公式：V=πr2h，计算出圆锥形沙堆的体积，将这堆沙铺在路面上，形状为长方体，长方体的体积等于圆锥形沙堆的体积，已知长方体的宽和高，用圆柱形沙堆的体积除以宽和高的乘积，即可得到长方体的长，即能铺多少米。 9．笑笑一家到餐馆吃饭。点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌上，并且说“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌”。笑笑发现这是一个上下均为圆锥的沙漏(如图)，两个圆锥的底面直径都是10厘米，高都是6厘米。沙漏上面的圆锥中装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺最迟多少分钟后笑笑一家点的菜会上桌？ (得数保留整数) 【答案】解：3.14×（10÷2）2×6×÷10 =3.14×25×2÷10 =157÷10 ≈16(分钟) 答：按服务员的承诺最迟16分钟后笑笑一家点的菜会上桌。 【详解】【分析】圆锥的体积=底面积×高×，根据圆锥的体积公式计算出沙漏中沙子的体积，然后用沙子的体积除以每分钟漏掉沙子的体积即可求出沙子漏完的时间。 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$