小升初复习专题讲义：因数与倍数（六大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

小升初复习专题讲义：因数与倍数（六大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版 题型预览 考点一、因数与倍数的关系、特点及求法 考点二、2、5、3的倍数特征 考点三、奇数和偶数 考点四、质数和合数 考点五、公因数与最大公因数 考点六、公倍数与最小公倍数 考点梳理 考点一、因数与倍数 1.定义：若 （ 均为正整数），则 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 例：，则 3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。 2.性质： （1）一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 （2）一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身。 3.找因数与倍数： （1）找因数：成对列举，从小到大不遗漏。 例：12的因数有1、2、3、4、6、12。 （2）找倍数：用原数依次乘1、2、3… 例：5的倍数：5、10、15、20… 考点二、2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数：个位是 0、2、4、6、8（偶数）。 2. 5的倍数：个位是 0或5。 3. 3的倍数：各位数字之和是3的倍数。 例：123（1+2+3=6，6是3的倍数）。 考点三、奇数和偶数 1.奇数：个位是1、3、5、7、9的数（不能被2整除）。 2.偶数：个位是0、2、4、6、8的数（能被2整除）。 3.最小的奇数是1，最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。 考点四、质数与合数 1.质数：只有 1和它本身两个因数的数（如2、3、5、7）。 2.合数：除了1和它本身，还有别的因数（如4、6、8、9）。 3.特例：1既不是质数也不是合数；最小的质数是2，最小的合数是4。 4.分解质因数： （1）方法：短除法。将合数分解为质数相乘的形式。 例：。 5.互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。 考点五、公因数与最大公因数 1.定义：几个数公有的因数中最大的一个。 （1）求法：列举法、短除法（公有质因数相乘）。 例：12和18的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。 2.最大公因数：解决“分物品”“分小组”问题（如将24本本子和36支笔平均分给最多几人）。 考点六、公倍数与最小公倍数 1.定义：几个数公有的倍数中最小的一个。 （1）求法：列举法、短除法（所有质因数相乘）。 例：4和6的公倍数是12、24、36…，最小公倍数是12。 2.最小公倍数：解决“重复周期”问题（如两车同时发车，多久后再次同时发车）。 考点七、易错提醒 1.混淆因数与倍数：注意描述对象（如“6是3的倍数”而非“3是6的倍数”）。 2.找因数时漏写1或本身：所有数的因数都包含1和它本身。 3. 3的倍数特征：必须所有数位相加，而非只看个位。 4.质数与合数判断错误：如91（7×13）是合数，但易被误认为质数。 5.质数与奇数的区别：2是质数中唯一的偶数。 6.分解质因数不彻底：必须分解到全部是质数为止。 7.记忆口诀 （1）质数速记：2、3、5、7、11，13后跟17，19、23、29，31、37、41… （2）倍数特征：2看末位，5看尾0或5，3看各位和，9也看各位和（是9的倍数）。 例题讲解 例题：一、因数与倍数的关系、特点及求法 【例题1】下面各种说法，正确的是(　　)。 ①一个数的最小倍数是它本身。 ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。 ④一个数至少有两个因数。 A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】【解答】解：①一个数的最小倍数是它本身，原题干说法正确； ②一个数有无数个倍数，原题干说法正确； ③一个数的最大倍数等于它的最因数，原题干说法错误； ④1只有1个因数，原题干说法错误。 故答案为：A。 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。 1既不是质数也不是合数。 【例题2】因为7.5÷2.5=3， 所以 7.5是2.5的倍数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：7.5和2.5都是小数，而不是整数，不能说7.5是2.5的倍数，原题说法错误； 故答案为：错误。 【分析】倍数和因数的概念只适用于整数，不适用于小数或分数，据此判断。 【例题3】36的因数有　 　，其中最小的因数是　 　，最大的因数是　 　。 【答案】1、36、2、18、3、12、4、9、6；1；36 【详解】【解答】解：36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6；其中最小的因数是1，最大的因数是36。 故答案为：1、36、2、18、3、12、4、9、6；1；36。 【分析】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数；一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【例题4】一个数既是8的倍数,又是32的因数,这个数可能是　 　。 【答案】8、16、32 【详解】【解答】解：8的倍数有8、16、24、32、40……；32的因数有1、2、4、8、16、32，所以8、16、32既是8的倍数，又是32的因数。 故答案为：8、16、32。 【分析】找一个数的倍数可以用这个数依次乘1、2、3、4、5……，找一个数的因数要一对一对找，这样找出8的倍数和32的因数，再判断既是8的倍数又是32的因数的数。 例题：二、2、5、3的倍数特征 【例题1】下面数中，（　　）既是2的倍数，又是3的倍数。 A．27 B．36 C．69 D．68 【答案】B 【详解】【解答】解：A：27是3的倍数，不是2的倍数； B：36是2的倍数，又是3的倍数； C：69是3的倍数； D：68是2的倍数，不是3的倍数。 故答案为：B。 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【例题2】一个数既是40的因数，又是2和5的倍数。这个数最小是（　　）。 A．5 B．10 C．40 D．20 【答案】B 【详解】【解答】解：2和5的倍数依次是10、20、30、40，所以这个数最小是10。 故答案为：B。 【分析】先依次判断2和5的倍数，然后从这些数中找出40的因数即可。 【例题3】一个数是 6 的倍数，就一定是 2、3 的倍数。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：一个数是 6 的倍数，就一定是 2、3 的倍数。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】因为6是2、3的倍数，所以是6的倍数的数一定也是2、3的倍数。 【例题4】同时是2、3、5的倍数的最小的两位数是　 　，最大的两位数是　 　． 【答案】30；90 【详解】【解答】解：同时是2、3、5的倍数的最小的两位数是30，最大的两位数是90。 故答案为：30；90。 【分析】同时是2、3、5的倍数的数，首先这个数的末尾是0，其次就是各个数位上的数字之和是3的倍数，据此作答即可。 例题：三、奇数和偶数 【例题1】a是自然数，下列四个式子中，（ ）的值一定是奇数。 A．a+1 B．2a C．2a+1 D．3a﹣1 【答案】C 【详解】【解答】解：A项：a如果是奇数，a＋1是偶数； B项：2a一定是偶数； C项：2a一定是偶数，2a＋1一定是奇数； D项：a如果是奇数，3a是奇数，则3a-1是偶数。 故答案为：C。 【分析】奇数＋奇数=偶数，奇数＋偶数=奇数，偶数＋偶数=偶数。 【例题2】奇数与奇数的和是奇数，奇数与偶数的和是偶数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：奇数与奇数的和是偶数，奇数与偶数的和是奇数。 故答案为：错误。 【分析】奇数＋奇数=偶数，奇数＋偶数=奇数。 【例题3】寒假里，小明和爸爸、妈妈一起去看电影《热辣滚烫》，座位号正好是三个连续的奇数，它们的和是57，这三张电影票的座位号分别是　 　、　 　和　 　。 【答案】17；19；21 【详解】【解答】解：中间一个：57÷3=19，第一个：19-2=17，第三个：19+2=21。 故答案为：17；19；21。 【分析】相邻两个连续奇数的差是2，用三个连续奇数的和除以3即可求出中间的奇数，用中间的奇数分别减去2、加上2即可求出另外两个奇数。 例题：四、质数和合数 【例题1】20以内的数中，质数有（　　）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】【解答】 解：20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8个。 故答案为：B。 【分析】在大于1的自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数叫作质数，除了1和它本身外还有别的因数的数是合数；据此列举出20以内的质数即可。 【例题2】小于10的所有合数的和是（　　）。 A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【详解】【解答】解：4＋6＋8＋9=27。 故答案为：B。 【分析】依据100以内的质数表计算，小于10的合数有4、6、8、9，然后相加。 【例题3】成语中两个数都是合数的是（　　）。 A．丢三落四 B．三令五申 C．九牛一毛 D．十拿九稳 【答案】D 【详解】【解答】解：A项：3是质数； B项：3是质数； C项：1既不是质数也不是合数； D项：10和9都是合数。 故答案为：D。 【分析】依据100以内的质数表选择。 【例题4】在自然数中，除2以外，所有的偶数都是合数。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：在自然数中，除2与0以外，所有的偶数都是合数，原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】2是质数不是合数，在自然数中，除2与0以外，所有的偶数都是合数。 【例题5】最小的质数是　 　，最小的合数　 　，　 　既不是质数也不是合数。 【答案】2；4；1 【详解】【解答】解：最小的质数是2，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数。 故答案为：2；4；1。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 例题：五、公因数与最大公因数 【例题1】既有公因数2，又有公因数3的一组是（　　）。 A．16和30 B．12和18 C．21和24 D．10和15 【答案】B 【详解】【解答】解：2×3=6，只有12和18同时是6的倍数。 故答案为：B。 【分析】2和3的最小公倍数是6，找出同时是6的倍数的一组。 【例题2】两个数的公因数的个数是有限的。（ ） 【答案】正确 【详解】【解答】 两个数的公因数的个数是有限的，此题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】 因为一个数的因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数也是有限的，据此判断。 【例题3】20的因数有　 　，32的因数有　 　，20和32的公因数有　 　，最大公因数是　 　。 【答案】1、2、4、5、10、20；1、2、4、8、16、32；1、2、4；4 【详解】【解答】20=1×20=2×10=4×5，32=1×31=2×16=4×8，所以20的因数有 1、2、4、5、10、20 ，32的因数有 1、2、4、8、16、32 ，20和32的公因数有 1、2、4 ，最大公因数是4。 故答案为： 1、2、4、5、10、20 ； 1、2、4、8、16、32 ； 1、2、4 ；4。 【分析】求一个数因数的方法，可以用除法，从除以1开始，成对出现。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 【例题4】学校体操队有36名男生和48名女生。男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，最少一共有多少排？ 【答案】解： 36和48的最大公因数是2×2×3=12 （36＋48）÷12 =84÷12 =7（排） 答：最少一共有7排。 【详解】【分析】最少一共的排数=（学校体操队的男生人数＋女生人数）÷平均每排最多的人数；其中，平均每排最多的人数=36和48的最大公因数，用短除法求出。 例题：六、公倍数与最小公倍数 【例题1】a和b的最大公因数是1，最小公倍数是(　　)。 A．a·b B．a+b C．a D．b 【答案】A 【详解】【解答】 解：a和b的最大公因数是1，最小公倍数是1×a×b，也可以写作 a·b 。 故答案为：A。 【分析】将a和b进行短除列式，因为a和b的最大公因数是1，所以短除符号的左侧只能是1，而短除符号的下方分别是a和b，因此最小公倍数就是1×a×b，答案即可得出。 【例题2】35和45的最大公因数与最小公倍数都是5。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：35=5×7，45=5×9， 35和45的最大公因数是5，最小公倍数都是5×7×9=315。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】两个数的最大公因数是把这两个数公有的质因数相乘；两个数的最小公倍数是把这两个数公有的质因数和它们各自独有的质因数相乘。 【例题3】已知 A=2×3×5，B=2×3×7，A 和B的最小公倍数是　 　，最大公因数是　 　。 【答案】210；6 【详解】【解答】解：2×3×5×7=210； 2×3=6。 故答案为：210；6。 【分析】A和B的最大公因数=A和B公有的质因数相乘；A和B的最小公倍数=A和B公有的质因数×各自独有的质因数。 【例题4】某班的学生人数在40到50之间，如果6个人站一队或者4个人站一队都正好站完。这个班级有　 　个学生。 【答案】48 【详解】【解答】6=2×3， 4=2×2， 6和4的最小公倍数是：2×3×2=12； 某班的学生人数在40到50之间，这个班级有12×4=48人。 故答案为：48。 【分析】根据题意可知，这个班级的人数是6和4的公倍数，先求出6和4的最小公倍数，然后扩大一定的倍数，在40与50之间的人数满足条件。 考点练习 考点一、因数与倍数的关系、特点及求法 1．下面四个数，其中不是12的倍数的数是(　　)。 A．12 B．24 C．38 D．48 2．下面各数中，不是60的因数的是(　　)。 A．15 B．12 C．24 D．30 3．一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数可能是(　　)。 A．2 B．3 C．12 D．18 4．一个自然数的最大因数就是它的最小倍数。(　　) 5．一个数越大，它的因数的个数就越多。(　　) 6．在36÷9＝4中，36是　 　和　 　的倍数。 7．操场上一共有17个人，5个人分成一组，至少再来几个人才能正好分完？ 8．36名同学进行体操表演，表演时排成长方形队伍，每行每列的人数不得少于3人，有几种排法？每种排法的每行每列各有多少人？ 考点二、2、5、3的倍数特征 1．下面各数中，同时是2，3，5的倍数的数是（　　）。 A．405 B．340 C．240 D．80 2．用3，7，8这三个数组成的所有三位数都是（　　）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．7 3．既是2的倍数、又是5的倍数的最小三位数是(　　)。 A．120 B．100 C．105 D．110 4．下面四个数都是自然数，其中数字M不为0，下列各数中既是2的倍数，又是3的倍数的是（　　）。 A．MM3M3 B．M0M0M0 C．M00M06 D．MMM15 5．教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3 和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入(　　)次。 A．4 B．5 C．6 D．10 6．一个数是2和5倍数，这个数一定是10的倍数。(　　) 7．5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数。（　　） 8．260至少加上　 　就是3的倍数，至少减去　 　也是3的倍数。 9．从6、7、8、9这四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，是3的倍数的最小三位数是　 　，最大三位数是　 　。 10．晓明到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，晓明认为不对。你能解释这是为什么吗？ 11．商店里有35个乒乓球，如果每2个装一袋，能正好装完吗?如果每5个装一袋，能正好装完吗?为什么? 考点三、奇数和偶数 1．一个奇数(　　)，结果变成偶数。 A．加5 B．乘3 C．减6 D．加2 2．从95、96、97、98、99中选两个数相加，和是偶数的选法共有（　　）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．100以内同时是3和5的倍数的最大奇数是(　　)。 A．75 B．85 C．95 D．90 4．任意一个偶数加1后，一定是奇数。（　　） 5．三个连续偶数的和一定是3的倍数。（　　） 6．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树，男生组每队植5棵树，女生组每队植4棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的队伍数是　 　。（填“奇数”或“偶数”） 7．小玲带了50元去文具店买笔，有3种类型的笔可供选择。她买了一些笔后，店员找给她13元，小玲就说店员找错了，请说明理由。 铅笔：2元/支 马克笔：6元/支 水笔：4元/支 8．小明、小军、小丽三人今年的年龄刚好是三个连续的奇数，他们的年龄总和是39岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 考点四、质数和合数 1．一个合数至少有（　　）。 A．一个因数 B．两个因数 C．三个因数 D．四个因数 2．17是质数，它的倍数是(　　)。 A．合数 B．质数 C．质数或合数 D．以上都不对 3．下面各数既是奇数又是合数的是（　　）。 A．13 B．19 C．27 D．29 4．某新能源汽车的车牌号是“鄂A·D2□□□”，其中后四位的第一个数字是最小的质数，第二个数是最大的一位数，第三个数是最小的自然数，第四个数是最小的合数。这个车牌号的后四位是（　　）。 A．2023 B．2913 C．2014 D．2904 5．著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数（即奇质数）之和。下列式子中能反映这个猜想的是（　　）。 A．18=1+17 B．5=2+3 C．20=7+13 D．8=2+6 6．一个自然数不是合数就是质数。（　　） 7．最小的质数是2，最小的偶数也是2。（　　） 8．在1—20这些数中，　 　既是偶数又是质数，　 　既是奇数又是合数。 9．在自然数中，既是奇数又是质数的最小数是　 　，既是一位数又是合数的最小数是　 　。 10．一个长方形的周长是40cm，它的长度和宽度是两个质数。这个长方形的面积最大是 　cm2。 11．数学中把相差2的两个质数叫作“孪生质数”，如3和5，请你写出一对孪生质数，　 　和　 　。 12．小贵家的电话号码是七位数(没有0)，从高位到低位排列依次是：最小的质数、最小的合数、既不是质数也不是合数的数、3的最小倍数、最大的一位数、最小的奇数、8的最大因数。小贵家的电话号码是多少？ 13．有一个直角三角形两条直角边的长是两个质数，和为12厘米，这个直角三角形的面积是多少平方厘米? 考点五、公因数与最大公因数 1．有两个数，它们的最大公因数是8，那么这两个数的公因数有(　　)。 A．1，8 B．2，4，8 C．1，2，8 D．1，2，4，8 2． 36和某一个数的最大公因数为12，这个数不可能是（　　）。 A．24 B．48 C．72 D．12 3．已知甲=2×3×5，乙=2×2×3。甲和乙的最大公因数是（　　）。 A．2 B．3 C．6 D．15 4．最小的质数与最小的合数的最大公因数是2。(　　) 5．　 　既是9的因数，又是12的因数。 6．已知两个因数的和是224，它们的最大公因数是28，这两个数是　 　和　 　。 7．小云和小萍在“爱心义卖"活动中出售手工制作的香皂，小云总共卖得 72元，小萍总共卖得80元。如果每块香皂的价格相同且是整数，那么每块香皂的价格最高是多少元？ 考点六、公倍数与最小公倍数 1．两个数的（　　）个数是无限的。 A．因数 B．公因数 C．公倍数 D．最小公倍数 2．A=2×2×2×5，B=2×2×5×7，A和B的最小公倍数是（　　）。 A．40 B．140 C．260 D．280 3．有一箱苹果，无论平均分给6个人，还是平均分给8个人，都剩下5个，这箱苹果至少有（　　）个。 A．53 B．48 C．29 D．24 4．两个数的最小公倍数一定比这两个数都要大。（　　） 5．两个质数的最小公倍数是209，这两个质数是　 　和　 　。 6．五（1）班总人数不超过50人，他们分组举行拔河比赛，不管是8人一组还是10人一组，都刚好合适。五（1）班一共有　 　人。 7．3路和5路公共汽车6：00同时从公交枢纽站首班发车。3路车每6分钟发一次车，5路车每8分钟发一次车。那么，这两路公共汽车第二次同时发车的时间是　 　。 8．用短除法求下各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36 45 和60 20和18 16和72 9．体育老师给五⑴版上体育课，将全班学生分成2队，余1人，分成3队，余1人，分成5队，还是余1人。已知这袋糖果该班学生数在25-35之间。五⑴班有学生多少人？ 10．学校装修展览厅，展览厅的地面是一个正方形，现在要铺地砖。不论选择边长是50cm的正方形地砖，还是选择边长 80cm的正方形地砖(缝隙忽略不计)，都正好铺完。学校展览厅的地面至少是多少平方米？ 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 小升初复习专题讲义：因数与倍数（六大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版 题型预览 考点一、因数与倍数的关系、特点及求法 考点二、2、5、3的倍数特征 考点三、奇数和偶数 考点四、质数和合数 考点五、公因数与最大公因数 考点六、公倍数与最小公倍数 考点梳理 考点一、因数与倍数 1.定义：若 （ 均为正整数），则 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 例：，则 3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。 2.性质： （1）一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 （2）一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身。 3.找因数与倍数： （1）找因数：成对列举，从小到大不遗漏。 例：12的因数有1、2、3、4、6、12。 （2）找倍数：用原数依次乘1、2、3… 例：5的倍数：5、10、15、20… 考点二、2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数：个位是 0、2、4、6、8（偶数）。 2. 5的倍数：个位是 0或5。 3. 3的倍数：各位数字之和是3的倍数。 例：123（1+2+3=6，6是3的倍数）。 考点三、奇数和偶数 1.奇数：个位是1、3、5、7、9的数（不能被2整除）。 2.偶数：个位是0、2、4、6、8的数（能被2整除）。 3.最小的奇数是1，最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。 考点四、质数与合数 1.质数：只有 1和它本身两个因数的数（如2、3、5、7）。 2.合数：除了1和它本身，还有别的因数（如4、6、8、9）。 3.特例：1既不是质数也不是合数；最小的质数是2，最小的合数是4。 4.分解质因数： （1）方法：短除法。将合数分解为质数相乘的形式。 例：。 5.互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。 考点五、公因数与最大公因数 1.定义：几个数公有的因数中最大的一个。 （1）求法：列举法、短除法（公有质因数相乘）。 例：12和18的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。 2.最大公因数：解决“分物品”“分小组”问题（如将24本本子和36支笔平均分给最多几人）。 考点六、公倍数与最小公倍数 1.定义：几个数公有的倍数中最小的一个。 （1）求法：列举法、短除法（所有质因数相乘）。 例：4和6的公倍数是12、24、36…，最小公倍数是12。 2.最小公倍数：解决“重复周期”问题（如两车同时发车，多久后再次同时发车）。 考点七、易错提醒 1.混淆因数与倍数：注意描述对象（如“6是3的倍数”而非“3是6的倍数”）。 2.找因数时漏写1或本身：所有数的因数都包含1和它本身。 3. 3的倍数特征：必须所有数位相加，而非只看个位。 4.质数与合数判断错误：如91（7×13）是合数，但易被误认为质数。 5.质数与奇数的区别：2是质数中唯一的偶数。 6.分解质因数不彻底：必须分解到全部是质数为止。 7.记忆口诀 （1）质数速记：2、3、5、7、11，13后跟17，19、23、29，31、37、41… （2）倍数特征：2看末位，5看尾0或5，3看各位和，9也看各位和（是9的倍数）。 例题讲解 例题：一、因数与倍数的关系、特点及求法 【例题1】下面各种说法，正确的是(　　)。 ①一个数的最小倍数是它本身。 ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。 ④一个数至少有两个因数。 A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】【解答】解：①一个数的最小倍数是它本身，原题干说法正确； ②一个数有无数个倍数，原题干说法正确； ③一个数的最大倍数等于它的最因数，原题干说法错误； ④1只有1个因数，原题干说法错误。 故答案为：A。 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。 1既不是质数也不是合数。 【例题2】因为7.5÷2.5=3， 所以 7.5是2.5的倍数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：7.5和2.5都是小数，而不是整数，不能说7.5是2.5的倍数，原题说法错误； 故答案为：错误。 【分析】倍数和因数的概念只适用于整数，不适用于小数或分数，据此判断。 【例题3】36的因数有　 　，其中最小的因数是　 　，最大的因数是　 　。 【答案】1、36、2、18、3、12、4、9、6；1；36 【详解】【解答】解：36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6；其中最小的因数是1，最大的因数是36。 故答案为：1、36、2、18、3、12、4、9、6；1；36。 【分析】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数；一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【例题4】一个数既是8的倍数,又是32的因数,这个数可能是　 　。 【答案】8、16、32 【详解】【解答】解：8的倍数有8、16、24、32、40……；32的因数有1、2、4、8、16、32，所以8、16、32既是8的倍数，又是32的因数。 故答案为：8、16、32。 【分析】找一个数的倍数可以用这个数依次乘1、2、3、4、5……，找一个数的因数要一对一对找，这样找出8的倍数和32的因数，再判断既是8的倍数又是32的因数的数。 例题：二、2、5、3的倍数特征 【例题1】下面数中，（　　）既是2的倍数，又是3的倍数。 A．27 B．36 C．69 D．68 【答案】B 【详解】【解答】解：A：27是3的倍数，不是2的倍数； B：36是2的倍数，又是3的倍数； C：69是3的倍数； D：68是2的倍数，不是3的倍数。 故答案为：B。 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【例题2】一个数既是40的因数，又是2和5的倍数。这个数最小是（　　）。 A．5 B．10 C．40 D．20 【答案】B 【详解】【解答】解：2和5的倍数依次是10、20、30、40，所以这个数最小是10。 故答案为：B。 【分析】先依次判断2和5的倍数，然后从这些数中找出40的因数即可。 【例题3】一个数是 6 的倍数，就一定是 2、3 的倍数。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：一个数是 6 的倍数，就一定是 2、3 的倍数。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】因为6是2、3的倍数，所以是6的倍数的数一定也是2、3的倍数。 【例题4】同时是2、3、5的倍数的最小的两位数是　 　，最大的两位数是　 　． 【答案】30；90 【详解】【解答】解：同时是2、3、5的倍数的最小的两位数是30，最大的两位数是90。 故答案为：30；90。 【分析】同时是2、3、5的倍数的数，首先这个数的末尾是0，其次就是各个数位上的数字之和是3的倍数，据此作答即可。 例题：三、奇数和偶数 【例题1】a是自然数，下列四个式子中，（ ）的值一定是奇数。 A．a+1 B．2a C．2a+1 D．3a﹣1 【答案】C 【详解】【解答】解：A项：a如果是奇数，a＋1是偶数； B项：2a一定是偶数； C项：2a一定是偶数，2a＋1一定是奇数； D项：a如果是奇数，3a是奇数，则3a-1是偶数。 故答案为：C。 【分析】奇数＋奇数=偶数，奇数＋偶数=奇数，偶数＋偶数=偶数。 【例题2】奇数与奇数的和是奇数，奇数与偶数的和是偶数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：奇数与奇数的和是偶数，奇数与偶数的和是奇数。 故答案为：错误。 【分析】奇数＋奇数=偶数，奇数＋偶数=奇数。 【例题3】寒假里，小明和爸爸、妈妈一起去看电影《热辣滚烫》，座位号正好是三个连续的奇数，它们的和是57，这三张电影票的座位号分别是　 　、　 　和　 　。 【答案】17；19；21 【详解】【解答】解：中间一个：57÷3=19，第一个：19-2=17，第三个：19+2=21。 故答案为：17；19；21。 【分析】相邻两个连续奇数的差是2，用三个连续奇数的和除以3即可求出中间的奇数，用中间的奇数分别减去2、加上2即可求出另外两个奇数。 例题：四、质数和合数 【例题1】20以内的数中，质数有（　　）个。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】【解答】 解：20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8个。 故答案为：B。 【分析】在大于1的自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数叫作质数，除了1和它本身外还有别的因数的数是合数；据此列举出20以内的质数即可。 【例题2】小于10的所有合数的和是（　　）。 A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【详解】【解答】解：4＋6＋8＋9=27。 故答案为：B。 【分析】依据100以内的质数表计算，小于10的合数有4、6、8、9，然后相加。 【例题3】成语中两个数都是合数的是（　　）。 A．丢三落四 B．三令五申 C．九牛一毛 D．十拿九稳 【答案】D 【详解】【解答】解：A项：3是质数； B项：3是质数； C项：1既不是质数也不是合数； D项：10和9都是合数。 故答案为：D。 【分析】依据100以内的质数表选择。 【例题4】在自然数中，除2以外，所有的偶数都是合数。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：在自然数中，除2与0以外，所有的偶数都是合数，原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】2是质数不是合数，在自然数中，除2与0以外，所有的偶数都是合数。 【例题5】最小的质数是　 　，最小的合数　 　，　 　既不是质数也不是合数。 【答案】2；4；1 【详解】【解答】解：最小的质数是2，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数。 故答案为：2；4；1。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 例题：五、公因数与最大公因数 【例题1】既有公因数2，又有公因数3的一组是（　　）。 A．16和30 B．12和18 C．21和24 D．10和15 【答案】B 【详解】【解答】解：2×3=6，只有12和18同时是6的倍数。 故答案为：B。 【分析】2和3的最小公倍数是6，找出同时是6的倍数的一组。 【例题2】两个数的公因数的个数是有限的。（ ） 【答案】正确 【详解】【解答】 两个数的公因数的个数是有限的，此题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】 因为一个数的因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数也是有限的，据此判断。 【例题3】20的因数有　 　，32的因数有　 　，20和32的公因数有　 　，最大公因数是　 　。 【答案】1、2、4、5、10、20；1、2、4、8、16、32；1、2、4；4 【详解】【解答】20=1×20=2×10=4×5，32=1×31=2×16=4×8，所以20的因数有 1、2、4、5、10、20 ，32的因数有 1、2、4、8、16、32 ，20和32的公因数有 1、2、4 ，最大公因数是4。 故答案为： 1、2、4、5、10、20 ； 1、2、4、8、16、32 ； 1、2、4 ；4。 【分析】求一个数因数的方法，可以用除法，从除以1开始，成对出现。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 【例题4】学校体操队有36名男生和48名女生。男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，最少一共有多少排？ 【答案】解： 36和48的最大公因数是2×2×3=12 （36＋48）÷12 =84÷12 =7（排） 答：最少一共有7排。 【详解】【分析】最少一共的排数=（学校体操队的男生人数＋女生人数）÷平均每排最多的人数；其中，平均每排最多的人数=36和48的最大公因数，用短除法求出。 例题：六、公倍数与最小公倍数 【例题1】a和b的最大公因数是1，最小公倍数是(　　)。 A．a·b B．a+b C．a D．b 【答案】A 【详解】【解答】 解：a和b的最大公因数是1，最小公倍数是1×a×b，也可以写作 a·b 。 故答案为：A。 【分析】将a和b进行短除列式，因为a和b的最大公因数是1，所以短除符号的左侧只能是1，而短除符号的下方分别是a和b，因此最小公倍数就是1×a×b，答案即可得出。 【例题2】35和45的最大公因数与最小公倍数都是5。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：35=5×7，45=5×9， 35和45的最大公因数是5，最小公倍数都是5×7×9=315。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】两个数的最大公因数是把这两个数公有的质因数相乘；两个数的最小公倍数是把这两个数公有的质因数和它们各自独有的质因数相乘。 【例题3】已知 A=2×3×5，B=2×3×7，A 和B的最小公倍数是　 　，最大公因数是　 　。 【答案】210；6 【详解】【解答】解：2×3×5×7=210； 2×3=6。 故答案为：210；6。 【分析】A和B的最大公因数=A和B公有的质因数相乘；A和B的最小公倍数=A和B公有的质因数×各自独有的质因数。 【例题4】某班的学生人数在40到50之间，如果6个人站一队或者4个人站一队都正好站完。这个班级有　 　个学生。 【答案】48 【详解】【解答】6=2×3， 4=2×2， 6和4的最小公倍数是：2×3×2=12； 某班的学生人数在40到50之间，这个班级有12×4=48人。 故答案为：48。 【分析】根据题意可知，这个班级的人数是6和4的公倍数，先求出6和4的最小公倍数，然后扩大一定的倍数，在40与50之间的人数满足条件。 考点练习 考点一、因数与倍数的关系、特点及求法 1．下面四个数，其中不是12的倍数的数是(　　)。 A．12 B．24 C．38 D．48 【答案】C 【详解】【解答】解：A，12÷12=1 B，24÷12=2 C，38÷12=3......2 D，48÷12=4 故答案为：C 【分析】因为38÷12有余数，所以38不是12的倍数。 2．下面各数中，不是60的因数的是(　　)。 A．15 B．12 C．24 D．30 【答案】C 【详解】【解答】解：60的因数有：1、60、2、30、3、10、4、15、5、12、6、10；其中，24不是60的因数。 故答案为：C。 【分析】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数。 3．一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数可能是(　　)。 A．2 B．3 C．12 D．18 【答案】C 【详解】【解答】解：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 6的倍数有：6、12、18、24.…； 既是6的倍数，又是24的因数的数有：6、12、24； 故答案为：C。 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数，一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的；先找出24的因数和6的倍数，再选出相同的结合选项选择即可。 4．一个自然数的最大因数就是它的最小倍数。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：一个自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，所以一个自然数的最大因数就是它的最小倍数（0除外）。 故答案为：正确。 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 5．一个数越大，它的因数的个数就越多。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：一个数因数的个数与这个数的大小关系不大，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】如果这个大数是质数，那么它只有2个因数，例如4就有3个因数，由此判断即可。 6．在36÷9＝4中，36是　 　和　 　的倍数。 【答案】4；9 【详解】【解答】解：在36÷9＝4中，36是4和9的倍数。 故答案为：4；9。 【分析】两个整数相乘得到积，那么这两个整数都叫做积的因数，积是这两个数的倍数。 7．操场上一共有17个人，5个人分成一组，至少再来几个人才能正好分完？ 【答案】解：17÷5=3(组)……2(个) 5-2=3(个) 答：至少再来3个人才能正好分完。 【详解】【分析】先用总人数除以每组人数求出的商是可以分成的组数，余数是不够分成一组的人数，再用每组人数减去余数就是需要再来的人数。 8．36名同学进行体操表演，表演时排成长方形队伍，每行每列的人数不得少于3人，有几种排法？每种排法的每行每列各有多少人？ 【答案】解：36=3×12 36=4×9 36=6×6 2+2+1=5（种） 答：有5种排法，每行3人，每列12人；每行4人，每列9人；每行6人，每列6人；每行9人，每列4人；每行12人，每列3人。 【详解】【分析】‌将36分解为两个因数相乘，本题中规定每行每列的人数不得少于3人，故最小因数是3，依次除以更大的数，得出所有两数相乘等于36的情况，即可得出每行每列各有多少人。 考点二、2、5、3的倍数特征 1．下面各数中，同时是2，3，5的倍数的数是（　　）。 A．405 B．340 C．240 D．80 【答案】C 【详解】【解答】解：A项：不是2的倍数； B项：不是3的倍数； C项：2＋4=6，同时是2，3，5的倍数； D项：不是3的倍数。 故答案为：C。 【分析】个位上是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2、3和5的倍数。 2．用3，7，8这三个数组成的所有三位数都是（　　）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】【解答】解：3+7+8=18，18是3的倍数，所以这三个数组成的所有三位数都是3的倍数。 故答案为：B。 【分析】一个数各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 3．既是2的倍数、又是5的倍数的最小三位数是(　　)。 A．120 B．100 C．105 D．110 【答案】B 【详解】【解答】解： 既是2的倍数、又是5的倍数的最小三位数是100。 故答案为：B。 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；既是2的倍数又是5的倍数，个位上是0的数。 4．下面四个数都是自然数，其中数字M不为0，下列各数中既是2的倍数，又是3的倍数的是（　　）。 A．MM3M3 B．M0M0M0 C．M00M06 D．MMM15 【答案】B 【详解】【解答】解：既是2的倍数，又是3的倍的数个位数字是0、2、4、6、8，并且各个数位上数的和是3的倍数，排除A、D， C项中MOOM06有2个M、2个O，则不是3的倍数。 故答案为：B。 【分析】个位上是0、2、4、6、8，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2和3的倍数。 5．教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3 和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入(　　)次。 A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【详解】【解答】解：同时是2和5的倍数，则个位上的数是0；又是3倍数，因为5+1+0=6，6+0=6，6+3=9，6+6=12，6+9=15，6，9，12，15都是3的倍数，所以密码可能是5010，5310，5610，5910，因此最多需要输入4次。 故答案为：A。 【分析】2的倍数特征：个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数； 5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 6．一个数是2和5倍数，这个数一定是10的倍数。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解： 一个数是2和5倍数，这个数一定是10的倍数。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】一个数能同时被2和5整除的特征是它的个位数必须是0。因此，这样的数一定是10的倍数。 7．5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：1×5=5，5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】连续的自然数相差1，5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数。 8．260至少加上　 　就是3的倍数，至少减去　 　也是3的倍数。 【答案】1；2 【详解】【解答】解：2+6=8，8+1=9，所以260至少加上1就是3的倍数； 2+5=7，7+8=15，所以258是3的倍数，至少减去2也是3的倍数。 故答案为：1；2。 【分析】一个数各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。根据3的倍数特征判断即可。 9．从6、7、8、9这四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，是3的倍数的最小三位数是　 　，最大三位数是　 　。 【答案】678；987 【详解】【解答】解：6＋7＋8=21，是3的倍数的最小三位数要选出6、7、8，这个数是678； 7＋8＋9=24，是3的倍数的最大三位数要选出9、7、8，这个数是987。 故答案为：678；987。 【分析】一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；最小的三位数要选出最小的三个数，然后按从小到大的顺序排列；最大的三位数要选出最大的三个数，然后按从大到小的顺序排列。 10．晓明到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，晓明认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】解：1+3+4=8，134不是3的倍数。 答：因为134不是3的倍数，所以不对。 【详解】【分析】笔记本单价乘本数求出应付的钱数，应付的钱数一定是3的倍数，根据3的倍数特征解释即可。 11．商店里有35个乒乓球，如果每2个装一袋，能正好装完吗?如果每5个装一袋，能正好装完吗?为什么? 【答案】解：35÷2=17（袋）......1（个） 35÷5=7（袋） 答： 如果每2个装一袋，不能正好装完； 如果每5个装一袋，能正好装完 。 【详解】【分析】35个乒乓球，如果每2个装一袋，能否正好装完就是看35是不是2的倍数。如果每5个装一袋，就是看35是不是5的倍数。 考点三、奇数和偶数 1．一个奇数(　　)，结果变成偶数。 A．加5 B．乘3 C．减6 D．加2 【答案】A 【详解】【解答】解：一个奇数加5，结果变成偶数； 一个奇数乘3，结果还是奇数； 一个奇数减6，结果是奇数； 一个奇数加2，结果是奇数。 故答案为：A。 【分析】奇数与奇数相加减，得数是偶数；奇数与奇数相乘，结果是奇数；奇数与偶数相加减，结果是奇数；奇数与偶数相乘，结果是偶数。 2．从95、96、97、98、99中选两个数相加，和是偶数的选法共有（　　）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】【解答】解：偶数＋偶数=偶数，奇数＋奇数=偶数，则和是偶数的选法有：96＋98、95＋97、95＋99、97＋99共4种。 故答案为：D。 【分析】和是偶数的选法必须是两个偶数相加，或者两个奇数相加，然后把所有的情况都写出来。 3．100以内同时是3和5的倍数的最大奇数是(　　)。 A．75 B．85 C．95 D．90 【答案】A 【详解】【解答】解：7＋5=12，12是3的倍数，所以100以内同时是3和5的倍数的最大奇数是75。 故答案为：A。 【分析】100以内同时是3和5的倍数的最大奇数个位数字是5，并且各个数位上数字的和是3的倍数，这个数是75。 4．任意一个偶数加1后，一定是奇数。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：任意一个偶数加1后，一定是奇数。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】奇数是不能被2整除的数，偶数是能被2整除的数。奇数与偶数相加，和是奇数。 5．三个连续偶数的和一定是3的倍数。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：设三个连续偶数中的中间一个偶数是a，则前一个偶数是a－2，后一个偶数是a+2。 a－2+a+a+2 =3a－2+2 =3a 3a有因数3，所以3a是3的倍数，因此原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数； 相邻两个偶数之间相差2，所以可以用中间的偶数分别表示三个连续偶数的另两个偶数为：中间偶数－2和中间偶数+2，据此求三个连续偶数的和并化简可得：中间偶数×3=三个连续偶数的和，根据关系式不难看出三个连续偶数的和中有因数3，因此，三个连续偶数的和一定是3的倍数。 6．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树，男生组每队植5棵树，女生组每队植4棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的队伍数是　 　。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】奇数 【详解】【解答】解：队伍总数=男生队数+女生队数，队伍总数为奇数，有两种情况； 第一种情况：男生队数为奇数，女生队数为偶数， 男生组数×每组植树的棵数+女生组数×每组植树的棵数=植树总棵树， 即：奇数×5+偶数×4=偶数， 奇数×5=奇数，偶数×4=偶数，奇数+偶数≠偶数，不正确，舍去。 第二种情况：男生组队数为偶数，女生组队数为奇数， 男生组数×每组植树的棵数+女生组数×每组植树的棵数=植树总棵树， 即：偶数×5+奇数×4=偶数， 偶数×5=偶数，奇数×4=偶数，偶数+偶数=偶数，正确。 女生组的队伍数是奇数。 故答案为：奇数。 【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数；个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。 7．小玲带了50元去文具店买笔，有3种类型的笔可供选择。她买了一些笔后，店员找给她13元，小玲就说店员找错了，请说明理由。 铅笔：2元/支 马克笔：6元/支 水笔：4元/支 【答案】解：这些笔的单价都是偶数，则总价之和必为偶数，因此找零应为偶数，而13元为奇数，所以找零错误。 【详解】【分析】偶数＋偶数=偶数，小玲花的钱数是偶数，并且小玲带的钱数50元也是偶数，偶数-偶数=偶数，找回的钱应该是偶数，而13是奇数，所以找零错误。 8．小明、小军、小丽三人今年的年龄刚好是三个连续的奇数，他们的年龄总和是39岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】解：39÷3=13（岁） 最大：13+2=15（岁） 最小：13-2=11（岁） 答：最小的是11岁，最大的是15岁。 【详解】【分析】因为三个是连续的奇数，所以中间的奇数就是三个数和的平均数，所以用39除以3即可求出中间的年龄，用中间的年龄加上2就是最大的岁数，用中间的年龄减去2即可求出最小的岁数。 考点四、质数和合数 1．一个合数至少有（　　）。 A．一个因数 B．两个因数 C．三个因数 D．四个因数 【答案】C 【详解】【解答】一个合数至少有三个因数。 故答案为：C。 【分析】根据质数和合数的认识进行解答。 2．17是质数，它的倍数是(　　)。 A．合数 B．质数 C．质数或合数 D．以上都不对 【答案】C 【详解】【解答】解：17的倍数有17、34、51...... 其中17是质数，其他的倍数都是合数，所以 17是质数，它的倍数是 质数或合数 。 故答案为：C。 【分析】合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数；质数一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）。 3．下面各数既是奇数又是合数的是（　　）。 A．13 B．19 C．27 D．29 【答案】C 【详解】【解答】 解：A.13是奇数，但不是合数； B.19是奇数，但不是合数； C.27是奇数，也是合数； D.29是奇数，但不是合数。 故答案为：C。 【分析】在自然数中，不能被2整除的数是奇数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数，根据奇数和合数的概念逐项分析四个选项即可。 4．某新能源汽车的车牌号是“鄂A·D2□□□”，其中后四位的第一个数字是最小的质数，第二个数是最大的一位数，第三个数是最小的自然数，第四个数是最小的合数。这个车牌号的后四位是（　　）。 A．2023 B．2913 C．2014 D．2904 【答案】D 【详解】【解答】解：最小的质数是2，最大的一位数是9，最小的自然数是0，最小的合数是4，这根车牌号后四位是2904。 故答案为：D。 【分析】质数是只有1和本身两个因数的数，最小的质数是2；最大的一位数是9，最小的自然数是0；除了1和本身外还有其他因数的数是合数，最小的合数是4。 5．著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数（即奇质数）之和。下列式子中能反映这个猜想的是（　　）。 A．18=1+17 B．5=2+3 C．20=7+13 D．8=2+6 【答案】C 【详解】【解答】解：A项：1不是质数，原题干说法错误； B项：5不是偶数，原题干说法错误； C项：20=7＋13，原题干说法正确； D项：2和6不是质数，都是合数，原题干说法错误。 故答案为：C。 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是偶数；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，依据100以内的质数表示判断。 6．一个自然数不是合数就是质数。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】1既不是质数也不是合数。 故答案为：错误。 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数。 一个数的因数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。 7．最小的质数是2，最小的偶数也是2。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：最小的质数是2，最小的偶数是0，原说法错误； 故答案为：错误。 【分析】是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；只含有1和它本身两个因数的数，叫做质数，除了含有1和它本身外还含有其它因数的数，叫做合数。 8．在1—20这些数中，　 　既是偶数又是质数，　 　既是奇数又是合数。 【答案】2；9、15 【详解】【解答】解：既是偶数又是质数的数：2， 既是奇数又是合数的数：9、15； 故答案为：2；9、15。 【分析】在自然数中，偶数能被2整除，质数只有1和本身两个因数；奇数不能被2整除，合数除了1和本身还有其他因数，据此求解即可。 9．在自然数中，既是奇数又是质数的最小数是　 　，既是一位数又是合数的最小数是　 　。 【答案】3；4 【详解】【解答】解：奇数有1、3、5、7、11......，质数有2、3、5、7、11......，所以既是奇数又是质数的最小数是3；一位数有0、1、2、3、4、5......，合数有4、6、8......，所以既是一位数又是合数的最小数是4。 故答案为：3；4。 【分析】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数。 10．一个长方形的周长是40cm，它的长度和宽度是两个质数。这个长方形的面积最大是 　cm2。 【答案】91 【详解】【解答】解：长方形的长宽之和：40÷2=20（厘米）， 3+17=20，7+13=20， 3×17=51（平方厘米），7×13=91（平方厘米）， 这个长方形的面积最大是91平方厘米。 故答案为：91。 【分析】长方形的周长÷2=长方形的长宽之和；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；长方形的面积=长×宽。 11．数学中把相差2的两个质数叫作“孪生质数”，如3和5，请你写出一对孪生质数，　 　和　 　。 【答案】5；7 【详解】【解答】解：5和7都是质数，5和7相差2，5和7就是孪生质数。 故答案为：5；7。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。 12．小贵家的电话号码是七位数(没有0)，从高位到低位排列依次是：最小的质数、最小的合数、既不是质数也不是合数的数、3的最小倍数、最大的一位数、最小的奇数、8的最大因数。小贵家的电话号码是多少？ 【答案】解：最小的质数是2， 最小的合数是4， 既不是质数也不是合数的数是1， 3的最小倍数是3本身， 最大的一位数是9， 最小的奇数是1， 8的最大因数是8本身， 电话号码是：2413918； 答：小贵家的电话号码是2413918。 【详解】【分析】根据题意，最小的质数是2，因此电话号码的第一位是2；最小的合数是4，因此电话号码的第二位是4；既不是质数也不是合数的数是1，因此电话号码的第三位是1；3的最小倍数是3本身，因此电话号码的第四位是3；最大的一位数是9，因此电话号码的第五位是9；最小的奇数是1，因此电话号码的第六位是1；8的最大因数是8本身，因此电话号码的第七位是8；据此写出即可。 13．有一个直角三角形两条直角边的长是两个质数，和为12厘米，这个直角三角形的面积是多少平方厘米? 【答案】解：12＝5+7 5×7÷2 ＝35÷2 ＝17.5（平方厘米） 答： 这个直角三角形的面积是17.5平方厘米。 【详解】【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数。 根据题目信息，先把12分成两个质数相加的形式，然后根据三角形的面积公式：三角形的面积=底×高+2，再代入数值解答即可。 考点五、公因数与最大公因数 1．有两个数，它们的最大公因数是8，那么这两个数的公因数有(　　)。 A．1，8 B．2，4，8 C．1，2，8 D．1，2，4，8 【答案】D 【详解】【解答】解：这两个数的公因数有： 1，2，4，8 。 故答案为：D。 【分析】这两个数的公因数就是8的所有因数，即： 1，2，4，8 。 2． 36和某一个数的最大公因数为12，这个数不可能是（　　）。 A．24 B．48 C．72 D．12 【答案】C 【详解】【解答】解：36和72是倍数关系，最大公因数是36，所以这个数不可能是72。 故答案为：C。 【分析】求两个数的最大公因数，用短除法来求，其中当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数；当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。据此选择。 3．已知甲=2×3×5，乙=2×2×3。甲和乙的最大公因数是（　　）。 A．2 B．3 C．6 D．15 【答案】C 【详解】【解答】解：甲=2×3×5，乙=2×2×3，甲和乙共有的质因数是2和3。因此，甲和乙的最大公因数是2×3=6。 故答案为：C。 【分析】把两个数公有的质因数相乘就是两个数的最大公因数。 4．最小的质数与最小的合数的最大公因数是2。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：最小的质数与最小的合数的最大公因数是2。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】最小的质数是2，最大的合数是4，由此确定他们的最大公因数即可。 5．　 　既是9的因数，又是12的因数。 【答案】3 【详解】【解答】解： 9的因数有1、3、9； 12的因数有1、2、3、4、6、12； 3既是9的因数，又是12的因数。 故答案为：3。 【分析】此题主要考查了因数的知识，先分别列出9和12的所有因数，再找出它们的公因数，最后确定符合条件的数。 6．已知两个因数的和是224，它们的最大公因数是28，这两个数是　 　和　 　。 【答案】28；196 【详解】【解答】解：224=28×8，8必须分成两个互质的数，才能使最大公因数为28，因此只有1和7，3和5满足；即：28×1=28，28×7=196；或28×3=84，28×5=140； 所以这两个数是28，196或是84，140。 故答案为：28；196或84；140。（答案不唯一） 【分析】把224写成28与8的乘积，28是公有质因数的积，8是独有质因数的积，把8分成两个质数的和，然后判断这两个数分别是几即可。 7．小云和小萍在“爱心义卖"活动中出售手工制作的香皂，小云总共卖得 72元，小萍总共卖得80元。如果每块香皂的价格相同且是整数，那么每块香皂的价格最高是多少元？ 【答案】解：72=2×2×2×3×3 80=2×2×2×2×5 所以72和80的最大公因数是2×2×2=8。 答：每块香皂的价格最高是8元。 【详解】【分析】每块香皂的最高单价=72和80的最大公因数8，用短除法求出。 考点六、公倍数与最小公倍数 1．两个数的（　　）个数是无限的。 A．因数 B．公因数 C．公倍数 D．最小公倍数 【答案】C 【详解】【解答】解：举例：2和3的最小公倍数是6，公倍数有6、12、24、48、96、...... 两个数的公倍数个数是无限的。 故答案为：C。 【分析】两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。 2．A=2×2×2×5，B=2×2×5×7，A和B的最小公倍数是（　　）。 A．40 B．140 C．260 D．280 【答案】D 【详解】【解答】解：A=2×2×2×5，B=2×2×5×7，A和B的最小公倍数是2×2×2×5×7=280。 故答案为：D。 【分析】把两个数分解质因数，两个数公有的质因数和独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。 3．有一箱苹果，无论平均分给6个人，还是平均分给8个人，都剩下5个，这箱苹果至少有（　　）个。 A．53 B．48 C．29 D．24 【答案】C 【详解】【解答】解：6=2×3，8=2×2×2， 6和8的最小公倍数是24， 24+5=29，这箱苹果至少有29个。 故答案为：C。 【分析】6和8的最小公倍数+都剩下的5个=这箱苹果至少有的个数。 4．两个数的最小公倍数一定比这两个数都要大。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：如：4和8的最小公倍数是8，等于其中的一个数。 故答案为：错误。 【分析】当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数，较大的数是两个数的最小公倍数。 5．两个质数的最小公倍数是209，这两个质数是　 　和　 　。 【答案】11；19 【详解】【解答】解：11×19=209，这两个质数是11和19。 故答案为：11；19。 【分析】依据100以内的质数表，两个质数相乘的积是209，则这两个质数是11和19。 6．五（1）班总人数不超过50人，他们分组举行拔河比赛，不管是8人一组还是10人一组，都刚好合适。五（1）班一共有　 　人。 【答案】40 【详解】【解答】解： 8和10的最小的公倍数是40， 40恰好满足不超过50人 。 故答案为：40 【分析】 五（1）班的人数既可以被8整除，也可以被10整除，且总人数不超过50人。这实质上是求8和10的最小公倍数在50以内的数。我们首先确定8和10的最小公倍数，然后检查在50以内的倍数是否符合条件。 7．3路和5路公共汽车6：00同时从公交枢纽站首班发车。3路车每6分钟发一次车，5路车每8分钟发一次车。那么，这两路公共汽车第二次同时发车的时间是　 　。 【答案】6：24 【详解】【解答】解：6和8的公倍数是24， 6时+24分=6：24， 这两路公共汽车第二次同时发车的时间是6：24。 故答案为：6：24。 【分析】第一次同时发车的时间+24分=第二次同时发车的时间。 8．用短除法求下各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36 45 和60 20和18 16和72 【答案】解： 最大公因数：2×2×3=12，最小公倍数：2×2×3×2×3=72； 最大公因数：3×5=15，最小公倍数：3×5×3×4=180； 最大公因数2，最小公倍数2×10×9=180； 最大公因数：2×2×2=8，最小公倍数：2×2×2×2×9=144。 【详解】【分析】用短除法时从两个数最小的质因数开始除，直到两个数只有公因数1为止。把两个数公有的质因数相乘就是他们的最大公因数；把两个数公有的质因数和独有的质因数相乘就是他们的最小公倍数。 9．体育老师给五⑴版上体育课，将全班学生分成2队，余1人，分成3队，余1人，分成5队，还是余1人。已知这袋糖果该班学生数在25-35之间。五⑴班有学生多少人？ 【答案】解：2×3×5＋1=31（人） 答：五（1）班有31人。 【详解】【分析】如果把全班人数减少1人，那么总人数刚好是2、3、5的倍数，由此找出2、3、5的最小公倍数，再加上1就是这个班的学生人数。 10．学校装修展览厅，展览厅的地面是一个正方形，现在要铺地砖。不论选择边长是50cm的正方形地砖，还是选择边长 80cm的正方形地砖(缝隙忽略不计)，都正好铺完。学校展览厅的地面至少是多少平方米？ 【答案】解： 50和80的最小公倍数是2×5×5×8=400 400厘米=4米 4×4=16（平方米） 答：学校展览厅的地面至少是16平方米。 【详解】【分析】学校展览厅的地面至少=这个正方形展览厅的边长×边长；其中，边长=50和80的最小公倍数，用短除法求出。 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$