精品解析：山西太原市2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷

2024~2025学年第二学期八年级期中学业诊断 数 学 （考试时间：上午8：00—9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 八卦纹 B. 火焰纹 C. 莲花纹 D. 一阴一阳之谓道 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题：若中，，则．应先假设（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，利用尺规以点C为圆心，线段的长为半径作弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，交边于点F．若，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到，其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 小华同学早上前要到达学校，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小华同学至少跑步多长时间才能保证不迟到．设小华同学跑步时间为，则x满足的不等式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 10. 不等式的最大正整数解是__________． 11. 如图，在中，，，，是边上的中线，则线段的长是__________． 12. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 13. 某商品的进价为元，标价为元，“315嗨购节”准备打折促销，要保持利润率不低于，则该商品最多打__________折． 14. 如图，在中，，，点是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，直线与边分别交于点．若是等腰三角形，则旋转角为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤． 15. 解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 16. 下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，合并同类项，得 第三步 两边都除以，得 第四步 所以，原不等式的解集为． 任务： （1）上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； （2）上述求解过程中，从第__________步发生错误，具体错误是__________； （3）直接写出该不等式的解集__________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． （1）平移，使点A的对应点的坐标是 ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移__________个单位长度，再__________；如果看成一次平移，则平移的距离是__________个单位长度． （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为__________． 18. 如图，点D是等边外部的一点，且，连接交于点E．当时，求的度数． 19. 某《黑神话：悟空》主题商店，计划购进两种纪念品共180件．一种是“黑神话：悟空”手办模型，每个进价95元，另一种是“黑神话：悟空”主题的文化衫，每件进价35元．若该商店进货成本不超过8000元，求该商店最多可购进多少个“黑神话：悟空”手办模型？ 手办95元/个 文化衫35元/件 20. 小颖有一个很好的学习习惯——日回顾．每天结束学习后，她都会主动梳理当天所学内容，认真反思学习过程中的收获与不足，让知识得到进一步巩固和升华．下面是她对某题的分析思考过程，请认真阅读并完成相关问题． 2025年×月×日 日回顾 例题呈现： 已知：如图1，中，，平分交于点O，过点O作，垂足为E，交AC的延长线于点D．求证：． 条件分析： 直观判断图中存在多对全等三角形，逐一分析已知条件，整理后发现，要证明“”有多种方法，其中一种方法只需证明一次全等即可，从问题入手梳理思路如下…… 思路梳理： 拓展应用： 上题蕴含着丰富的结论，从“互逆命题”这个探索新知识的角度思考，发现一种用三角尺“画角平分线”的方法． 如图：已知． 1．在的两边上分别取点M，N，使； 2．分别过点M，点N画OA，OB的垂线，两垂线交于点P； 3．画出射线OP，即为的平分线． （1）按照小颖的“思路梳理”，补全方框①所需的条件，并写出②这一步推理的依据． （2）结合图2，按照小颖画角平分线的方法，求证：射线平分． （3）继续分析本题的图形结构及隐含的其它结论，仅利用格点及无刻度的直尺画出图3中的角平分线．（要求：保留画图痕迹，不写画法．） 21. 综合与实践 活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能力等核心素养．某学校组织七年级12个班，共x名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下： 方案策划： 活动方案 方案一 太原古县城：千年晋韵探秘行 方案二 太原植物园：四季植萃探秘行 活动目的 了解当地文化 了解自然知识 活动内容 1．参观古县城及晋阳考古博物馆 2．非遗体验活动3选1 ①壁画修复 ②沥金彩绘 ③制作花馍 3．古县城内简餐 1．参观植物园 2．手工体验活动2选1 ①制作植物香囊 ②制作叶脉书签 3．植物园内简餐 活动费用 门票 免票（提前预约） ①成人票30元/人； ②学生团体票，可在半价基础上再打8折，为12元/人； ③教师凭有效证件免费入园 讲解 古县城讲解120元/团； 晋阳考古博物馆讲解200元/团； 免费注：每个班级为一个研学团 免费 体验活动 非遗体验活动：55元/人 手工体验活动：50元/人 用餐 学生简餐：15元/人 （备注：县城内免费为教师提供工作餐） 学生简餐：18元/人 （备注：园内免费为教师提供工作餐） 方案选择： 结合上表信息分析，该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？ 22. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期八年级期中学业诊断 数 学 （考试时间：上午8：00—9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 八卦纹 B. 火焰纹 C. 莲花纹 D. 一阴一阳之谓道 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，此选项符合题意； 、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点N， ∴点N的坐标是，即， 故选：D． 4. 用反证法证明命题：若中，，则．应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．根据反证法证明命题的步骤求解即可． 【详解】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论， 所以先假设， 故选：C． 5. 如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，，利用尺规以点C为圆心，线段的长为半径作弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，交边于点F．若，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等、勾股定理，解题的关键是理解为的角平分线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接：，由题意知射线为的角平分线， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 故选D． 8. 如图，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到，其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，，，， 观察四个选项，故选项C符合题意； 故选：C． 9. 小华同学早上前要到达学校，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小华同学至少跑步多长时间才能保证不迟到．设小华同学跑步时间为，则x满足的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于20分钟列出不等式即可． 【详解】解：设小华同学跑步时间为，则剩余的路程为， 则走路的时间为， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 10. 不等式的最大正整数解是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式两边同时除以，得，即可得出最大正整数解． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的最大正整数解是， 故答案为：2 11. 如图，在中，，，，是边上的中线，则线段的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，中线，先利用勾股定理逆定理证明，是边上的中线，得出，再在中，利用勾股定理求解，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形． 【详解】解：在中，，，， ， ， 是边上的中线， ， ， 故答案为：． 12. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 13. 某商品的进价为元，标价为元，“315嗨购节”准备打折促销，要保持利润率不低于，则该商品最多打__________折． 【答案】七五 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的运用，理解数量关系，利润率的计算是关键． 设该商品打折，由此列不等式求解即可． 【详解】解：设该商品打折， ∴， 解得，， ∵打折越多，利润越低， ∴要保持利润率不低于，取，即，七五折， ∴该商品最多打七五折， 故答案为：七五 ． 14. 如图，在中，，，点是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，直线与边分别交于点．若是等腰三角形，则旋转角为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，旋转的性质，三角形外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到线段与所成角即为旋转角，分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，时等腰三角形；结合等腰三角形定义，三角形外角和的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴线段与所成角即为旋转角， 当时，是等腰三角形， ∴，， ∴，即点与点重合， ∴旋转角为； 当时，是等腰三角形， 根据旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角为； 综上所述，旋转角为或； 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤． 15. 解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上，表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式的性质． 根据不等式的性质分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，写出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，原不等式组的解集为：． 16. 下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，合并同类项，得 第三步 两边都除以，得 第四步 所以，原不等式的解集为． 任务： （1）上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； （2）上述求解过程中，从第__________步发生错误，具体错误是__________； （3）直接写出该不等式的解集__________． 【答案】（1）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 （2）四；两边都除以时，不等号的方向没有改变 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质． （1）根据不等式的性质即可解答； （2）根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可； （3）按照正确的解法求出解集即可． 【小问1详解】 解：第一步变形的依据是不等式的性质2：在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变； 【小问2详解】 解：根据题意：上述求解过程中，从第四步发生错误，具体错误是在不等式两边同时乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变，即两边都除以时，不等号的方向没有改变； 【小问3详解】 解：解不等式， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得， 所以，原不等式的解集为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． （1）平移，使点A的对应点的坐标是 ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移__________个单位长度，再__________；如果看成一次平移，则平移的距离是__________个单位长度． （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为__________． 【答案】（1）①如图所示， ②4，向下平移2个单位长度， （2）如图所示； 【解析】 【分析】本题主要考查中心变换和平移变换及勾股定理，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可；②根据平移的性质及勾股定理即可求解； （2）根据中心对称的性质先画出关于原点中心对称的，连接、、的交点就是对称中心． 【小问1详解】 解：①略 ②由图形得，将平移到的过程中，如果看成两次平移可描述为：先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，如果看成一次平移，则平移的距离是个单位长度； 【小问2详解】 解：连接、、的交点为． 故答案为：． 18. 如图，点D是等边外部的一点，且，连接交于点E．当时，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及线段垂直平分线的判定，正确运用相关定理是解题关键． 先证明线段所在直线是线段的垂直平分线，再根据等边三角形的性质得出，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 点B在线段的垂直平分线上， ， 点D在线段的垂直平分线上， 线段所在直线是线段的垂直平分线． ， 平分， ， ， ． 19. 某《黑神话：悟空》主题商店，计划购进两种纪念品共180件．一种是“黑神话：悟空”手办模型，每个进价95元，另一种是“黑神话：悟空”主题的文化衫，每件进价35元．若该商店进货成本不超过8000元，求该商店最多可购进多少个“黑神话：悟空”手办模型？ 手办95元/个 文化衫35元/件 【答案】该商店最多可购进28个“黑神话：悟空”手办模型 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该商店购进x个“黑神话：悟空”手办模型，则购进个“黑神话：悟空”主题的文化衫，利用总价=单价×数量，结合总价不超过8000元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设该商店可购进x个“黑神话：悟空”手办模型， 根据题意，得． 解得． 因为x是正整数， 所以x的最大值为28． 答：该商店最多可购进28个“黑神话：悟空”手办模型． 20. 小颖有一个很好的学习习惯——日回顾．每天结束学习后，她都会主动梳理当天所学内容，认真反思学习过程中的收获与不足，让知识得到进一步巩固和升华．下面是她对某题的分析思考过程，请认真阅读并完成相关问题． 2025年×月×日 日回顾 例题呈现： 已知：如图1，中，，平分交于点O，过点O作，垂足为E，交AC的延长线于点D．求证：． 条件分析： 直观判断图中存在多对全等三角形，逐一分析已知条件，整理后发现，要证明“”有多种方法，其中一种方法只需证明一次全等即可，从问题入手梳理思路如下…… 思路梳理： 拓展应用： 上题蕴含着丰富的结论，从“互逆命题”这个探索新知识的角度思考，发现一种用三角尺“画角平分线”的方法． 如图：已知． 1．在的两边上分别取点M，N，使； 2．分别过点M，点N画OA，OB的垂线，两垂线交于点P； 3．画出射线OP，即为的平分线． （1）按照小颖的“思路梳理”，补全方框①所需的条件，并写出②这一步推理的依据． （2）结合图2，按照小颖画角平分线的方法，求证：射线平分． （3）继续分析本题的图形结构及隐含的其它结论，仅利用格点及无刻度的直尺画出图3中的角平分线．（要求：保留画图痕迹，不写画法．） 【答案】（1）；角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等 （2） 证明：∵过点M，点N画OA，OB的垂线，两垂线交于点P； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴射线平分． （3） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质和角平分线的性质进行解答即可； （2）用证明即可； （3）根据等腰三角形三线合一和勾股定理进行作图即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，①应该填；②应该是：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理与网格、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 综合与实践 活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能力等核心素养．某学校组织七年级12个班，共x名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下： 方案策划： 活动方案 方案一 太原古县城：千年晋韵探秘行 方案二 太原植物园：四季植萃探秘行 活动目的 了解当地文化 了解自然知识 活动内容 1．参观古县城及晋阳考古博物馆 2．非遗体验活动3选1 ①壁画修复 ②沥金彩绘 ③制作花馍 3．古县城内简餐 1．参观植物园 2．手工体验活动2选1 ①制作植物香囊 ②制作叶脉书签 3．植物园内简餐 活动费用 门票 免票（提前预约） ①成人票30元/人； ②学生团体票，可在半价基础上再打8折，为12元/人； ③教师凭有效证件免费入园 讲解 古县城讲解120元/团； 晋阳考古博物馆讲解200元/团； 免费注：每个班级为一个研学团 免费 体验活动 非遗体验活动：55元/人 手工体验活动：50元/人 用餐 学生简餐：15元/人 （备注：县城内免费为教师提供工作餐） 学生简餐：18元/人 （备注：园内免费为教师提供工作餐） 方案选择： 结合上表信息分析，该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？ 【答案】当人时，选方案一费用较少；当人时，方案一和方案二费用一样多；当人时，选方案二费用较少 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用总价=单价×数量，可用含x的代数式表示出选项方案一及方案二所需费用，分及三种情况，可求出x的取值范围或x的值，进而可得出结论． 【详解】解：设方案一所需费用为元，方案二所需费用为元 根据题意，得：； 整理得：，，整理得：． 若，则，解得：； 若，则，，解得：； 若，则，，解得：； 所以，当人时，选方案一费用较少． 当人时，方案一和方案二费用一样多； 当人时，选方案二费用较少； 22. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 【答案】 （1）， （2）是等边三角形，理由如下， 如图所示，设交于点， ∵将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到， ∴，，， 当线段经过点时，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴是等边三角形； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，，，由此即可求解； （2）根据旋转得到，，，当线段经过点时，，得到，则，由此得到，且，结合等边三角形的判定即可求解； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，可得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，分类讨论：当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即；如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点；数学结合分析即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∵点与点重合，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线， ∴，， ∴，即， ∴在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离， 当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴平移距离为； 如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ∴平移距离为； 综上所述，平移距离为或． 【点睛】本题主要考查三角板中角度的计算，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，图形平移的性质等知识的综合，掌握图形变换的性质，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $