天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024~2025学年度第二学期期中重点校联考

高一数学

出题学校：杨村一中 宝坻一中

第I卷（共36分）

一､选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）

1. 设i为虚数单位，若，则（   ）

A. 1 B.  C. 2 D.

2. 在中，是角的对边，，则角的值为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

3. 设向量，且，则（   ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 一个四边形用斜二测画法得到的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该四边形原来的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（    ）倍

A. 9 B. 27 C. 81 D. 729

6. 已知甲船位于灯塔的北偏东方向，且与相距3海里，乙船位于灯塔的北偏西方向，若两船相距海里，则乙船与灯塔之间的距离为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 5

7. 若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 四边形是边长为的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则

的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（    ）

①若，则是等腰三角形；

②若，则是等腰三角形；

③若，则一定是锐角三角形；

④在中，，若有一个解，则的取值范围是或.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第II卷（共84分）

二､填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）

10. 是虚数单位，复数的虚部为______.

11. 已知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为__________.

12. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.

13. 如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且.延长，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则的值为__________.

14. 在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________.

三､解答题（本题共5小题，共59分）

15. 若复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虚数单位）．

（1）若z是纯虚数，求m的值；

（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．

16. 已知的内角所对的边分别为，且满足，

（1）求角的值；

（2）求的值.

17. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设.

（1）用表示及；

（2）若，且，

①求的长；

②求在方向上的投影向量（结果用表示）.

18. 如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点.