精品解析：江苏省前黄高级中学2024-2025学年高三下学期第一次阶段检测数学试卷

江苏省前黄中学2025届高三年级下学期阶段检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的概念即可解答. 【详解】因为，所以， 故选B. 2. 若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（ ）. A. 充分不必要条件. B. 必要不充分条件. C. 充要条件. D. 既不充分又不必要条件. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断. 【详解】为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列，反之， ，数列为等比数列， 令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C. 3. 已知一组数据，则这组数据的（ ） A. 众数是6 B. 中位数是 C. 平均数是7 D. 标准差是 【答案】D 【解析】 【分析】把给定数据由小到大排列，再结合众数、中位数、平均数、标准差的意义求解判断. 【详解】数据由小到大排列为， 对于A，众数是6和8，A错误； 对于B，中位数是6，B错误； 对于C，平均数，C错误； 对于D，标准差，D正确. 故选：D 4. 已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 5. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 6. 如图，正方体棱长为2，点P是面内一点，M，N分别是棱DC，AD上的点则三棱锥的体积最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由表示出，再求出的最大值，由等体积法即可求出三棱锥的体积最大值. 【详解】因为平面平面，又由正方体的性质知：平面， 所以点P到平面的距离为， 设，，则，，， 所以 ， ， 因为，所以， 令，可看作是关于的一元一次方程， 所以，当且仅当时取等， 所以三棱锥的体积为：， 故三棱锥的体积最大值为. 故选：A. 7. 已知，若对于任意的实数m，不等式恒成立，则cos∠BAC＝（ ） A. B. C. － D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件两边平方，利用向量的数量积运算得到关于的不等式恒成立，然后由可得的值. 【详解】因为，，且关于的不等式恒成立， 所以， 所以， 整理得对于任意实数恒成立， 所以， 所以，， 故选：C. 8. 已知关于的不等式在上恒成立（其中、），则（ ） A. 当时，存在满足题意 B. 当时，不存在满足题意 C. 当时，存在满足题意 D. 当时，不存在满足题意 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出函数满足有一零点为、当时、当时，然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为关于的不等式在上恒成立， 所以必需要满足、， 即对于函数，必有一零点为且零点左右函数值符号不同， 即当时，；当时，， A项：，，令，，， 此时，不满足零点左右函数值符号不同，A错误； B项：，，令，，， 此时，存在满足题意，B错误； C项：，，令，，， 此时，不满足零点左右函数值符号不同，C错误； D项：，，令，，， 此时，不满足当时且当时，， 即不存在满足题意，D正确， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立的相关问题的求法，主要考查二次函数性质以及对数函数性质，能否根据题意将不等式转化为函数满足有一零点为、当时、当时是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件A，B满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和已知条件判断事件与是否独立，再根据独立事件的性质计算，最后根据条件概率公式计算. 【详解】根据条件概率公式，已知，则，即. 根据事件独立性的定义，所以事件与事件相互独立，故选项正确. 因为事件与事件相互独立，且，，所以，故选项正确，选项错误. 根据条件概率公式，由前面计算可知，，则，故选项正确. 故选：ABD. 10. 已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点作曲线的切线，切线长为 B. 当三点不共线时， C. 在上存在点，使得 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】设动点坐标，根据可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B选项可知是内角的角平分线， 即可得出结论；C选项，可以求得动点的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解. 【详解】设P点坐标为，由，则，化简得 ，所以动点轨迹是以为圆心，为半径的圆. A选项，过点作曲线的切线，切线长为，A选项正确. B选项，当三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，是内角的角平分线，所以.故B选项正确. C选项，因为，设，则，化简得轨迹为，所以动点的轨迹为圆心，半径为的圆，圆心距 ，所以两圆位置关系为内含，所以在上不存在点，使得，故C错误. D选项，因为，所以，故D错误. 故选：AB. 11. 已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得，即A错误；令可得满足偶函数定义，即B正确；取可得，可得为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得，可得D正确. 【详解】令，得，又，所以，故A错误； 令得，，所以，故为偶函数，故B正确； 令，得，所以， 又，所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； 由C可得，也即，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、对称性等性质的判断. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先展开得，再分别计算两部分含的系数，即可求解. 【详解】， 中含的系数为，中含的系数为，所以中的系数为， 所以，得 故答案为： 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于，，若，设双曲线的离心率为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据双曲线定义表示出，在中，由勾股定理解得，从而各边都可以用表示，在中得到和的关系，从而得到的值. 【详解】 设，因为，所以，， 因为点、在双曲线右支上，根据双曲线定义得，， 因为，所以， 在中，由勾股定理得，即，解得，所以，， 在中，由勾股定理得，即，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：双曲线定义的应用 双曲线上的点均符合双曲线的定义，即，，再根据点在右支得到，，再结合，从而各边均可用来表示. 14. 在中，点D在边BC上，且满足AD=BD，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，由得出，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得的取值范围. 【详解】 ，， ，，，且为锐角， 在中， ， 又 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）延长BC到D，使得，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知利用正弦定理得，然后利用余弦定理求得，再根据角的范围即可求解. （2）根据题目条件及同角三角函数关系得，再求得，再结合（1）中，从而求出，最后代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得. 所以设，，则，， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 ，解得， 结合，则，由（1）知， 则，则， 因为由（1）知，则， 则. 16. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，且，，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，由勾股定理得到各边长，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，由棱锥体积公式求出答案； （2）作出辅助线，得到OM，OD，OQ两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量夹角公式求出面面角的余弦值，进而由同角三角函数关系求出正弦值 【小问1详解】 取的中点，连接，因为，所以， 又，， 所以， 在正方形ABCD中，，， 所以， 又， 所以，即， 又，平面，平面，所以平面， 四边形的面积为， 四棱锥的体积为 ； 【小问2详解】 过O作交BC于M，则， 由（1）知平面，又平面， 所以， 以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系， 所以，，，， 故，，设平面BQD的法向量为， 则，故，取，则，， 故平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 所以，所以， 所以平面与平面的夹角的正弦值为 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的概率分布和数学期望. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）设出基本事件并求出概率，再利用全概率公式求解即可. （2）结合题意得到，再求出对应取值的概率，进而得到分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入问题表达不清晰”， 由题意可知，，，，， 由全概率公式得， 故智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 由题意得，的可能取值为，且， ，， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故X的数学期望为. 18. 已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. （1）求的方程； （2）求的面积的最大值； （3）若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 【答案】（1） （2） （3） 因关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设， 则的外接圆半径为， 于是的外接圆的方程为：， 因点在该圆上，代入圆的方程解得，则的外接圆方程为：（*） 又直线的方程为：，令，可得， 将其代入（*），可得：， 即点在该圆上，故四点共圆. 【解析】 【分析】（1）利用条件列出关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）先求出点，利用对称性求得，写出的面积表达式，利用二次函数的性质即可求得面积最大值； （3）根据图形对称性，设的外接圆圆心，求出其半径，写出外接圆方程，代入点，求得，化简圆的方程，利用直线的方程求得点，将代入圆的方程，推得，证明点在该圆上即可. 【小问1详解】 依题意，，解得， 故的方程为； 【小问2详解】 依题意，点关于轴对称，将代入，解得， 因点在第一象限，则，， 的面积为， 因，则当，即时，取得最大值为； 【小问3详解】 略 19. 曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为. （1）求曲线在处的曲率； （2）已知正弦曲线， ①求的曲率的平方的最大值； ②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】（1） （2）①1 ② 因为，，则. 当时，因为， 所以在上单调递减. 所以，所以在上无零点； 当时，因为单调递增，且，，在上图象不间断， 所以存在，使， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以. 设，，， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 所以，所以，在上图象不间断， 所以在上存在一个零点，所以在有个零点， 综上所述，在上的零点个数为. 【解析】 【分析】（1）根据曲率的定义可求得的值； （2）①求得，令，则，故，利用导数求出函数在上的最大值，即为的最大值； ②利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以. 【小问2详解】 ①已由，，则，， 令，则，故， 设，则， 在时，在上递减，所以，最大值为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省前黄中学2025届高三年级下学期阶段检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（ ）. A. 充分不必要条件. B. 必要不充分条件. C. 充要条件. D. 既不充分又不必要条件. 3. 已知一组数据，则这组数据的（ ） A. 众数是6 B. 中位数是 C. 平均数是7 D. 标准差是 4. 已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（     ） A. B. C. D. 6. 如图，正方体棱长为2，点P是面内一点，M，N分别是棱DC，AD上的点则三棱锥的体积最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知，若对于任意的实数m，不等式恒成立，则cos∠BAC＝（ ） A. B. C. － D. 8. 已知关于的不等式在上恒成立（其中、），则（ ） A. 当时，存在满足题意 B. 当时，不存在满足题意 C. 当时，存在满足题意 D. 当时，不存在满足题意 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件A，B满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件相互独立 C. D. 10. 已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点作曲线的切线，切线长为 B. 当三点不共线时， C. 在上存在点，使得 D. 的最小值为 11. 已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______. 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于，，若，设双曲线的离心率为，则___________． 14. 在中，点D在边BC上，且满足AD=BD，，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）延长BC到D，使得，且，求的面积. 16. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，且，，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的概率分布和数学期望. 18. 已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. （1）求的方程； （2）求的面积的最大值； （3）若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 19. 曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为. （1）求曲线在处的曲率； （2）已知正弦曲线， ①求的曲率的平方的最大值； ②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $