精品解析：福建省泉州第五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

泉州五中2024-2025学年高二下学期期中考数学卷 满分：150分 时间：120分钟 2025.4 一、单选题（每题只有一个正确选项，每题5分，共40分） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导公式及导数运算法则逐项分析判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 2. 一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件第一次取出黑球，事件第二次取出红球，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件第一次取出黑球，事件第二次取出红球， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：B. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出三项展开式通项，对照，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 故的展开式通项为， 由可得， 因此，展开式中的系数. 故选：B. 4. 将两个1，两个3，一个5从左到右排成一行，则不同的排法种数为（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理及组合计数问题列式求解. 【详解】从5个位置中任取两个排1，从余下3个位置中任取两个排2，最后一个位置排5， 所以不同的排法种数为. 故选：C 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断. 【详解】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则，. 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 6. 将甲、乙、丙和丁个同学分配到个班级，要求每个班至少分到一个同学，则不同的分配方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】先将个同学分为三组，再将这三组同学分配到个班级，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先将个同学分为三组，每组的人数分别为、、，再将这三组同学分配到个班级， 由分步乘法计数原理可知，不同的分配方式种数为种. 故选：A. 7. 已知函数的导函数为，且定义域都为，有下列说法：①若为奇函数，则为偶函数；②若为奇函数，则为偶函数；③若，则；④若，则，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合复合函数求导逐项分析判断. 【详解】对于①，为奇函数，则，求导得， 则，即，因此为偶函数，①正确； 对于②，为奇函数，则，即，， 则，于是（为常数），， 因此，为偶函数，②正确； 对于③，由，得，则，，③正确； 对于④，由，得，即， 因此（为常数），，④错误， 所以正确的个数为3. 故选：C 8. 研究可得：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.若二次方程的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，则该斜椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出斜椭圆对应的标准椭圆，再求出离心率即可. 【详解】设椭圆上任意一点，该点绕原点逆时针旋转所得的点 在斜椭圆：上，因此， 整理得，所以该斜椭圆的离心率. 故选：A 二、多选题（每题至少有两个答案，每题6分，每题部分答对得部分分，全对得6分，共18分） 9. 已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 面积的最小值为2. C. D. 可能为直角. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断. 【详解】 对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. 若有极值点，则实数的取值范围为 B. ，方程至少有一个正根. C. 的图象为中心对称图形. D. 若有个零点、和，则在个零点处的切线斜率和大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，由题意得出，可判断A选项；当时，由可得，求出函数在上的值域，可判断B选项；计算，结合对称性的定义可判断C选项；设，可得出，，，利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数有极值点， 则有两个不等的零点，则，解得， 所以，实数的取值范围为，A错； 对于B选项，当时，由可得， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 所以，，方程至少有一个正根，B对； 对于C选项，因为 ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 对于D选项，因为有个零点、和， 则 ， 所以，，， ，D对. 故选：BCD. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B. 在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C. 在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用所有的二项式系数之和为即可判断；对于B，利用“杨辉三角”中数字的左右对称性和左增右减的性质易判断；对于C，先写出数列的前10项之和为，再运用组合数的性质计算即得；对于D，先写出表示的式子，通过两个角度考虑展开式中的系数即可推理得到. 【详解】对于A，第行的所有的数字之和为，故A正确； 对于B，第行的数中，从左到右共有个数，则第个数最大，故B错误； 对于C，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为， 因 ，故C正确； 对于D，依题意，，则， 下面证明. 分别从两个角度考虑二项式展开式中的系数，由的通项可知的系数为， 由考虑，的系数为：， 故有，而第行的中间一项为第项，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数在上的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数的解析式，将其最值理解为一个半圆上的点与定点所在直线的斜率的最值，通过数形结合，利用点到直线的距离等于圆的半径即可求得函数的最大值. 【详解】由可理解为单位圆上的点与点所在直线的斜率. 因，则， 故点为以原点为圆心，半径为1的圆的上半部分上的点（含端点），如图所示. 由图知，当直线与半圆相切时，斜率最大. 设此时直线斜率为，则切线方程为，即， 由圆心到直线的距离，解得， 即函数在上的最大值为. 故答案为：. 13. 将1个白球，2个不同的黑球和3个不同的红球从左到右排成一列，要求2个黑球相邻且3个红球互不相邻，则不同的排列方式有______种. 【答案】24 【解析】 【分析】视两个黑球为一个整体，利用相邻问题与不相邻问题列式求解. 【详解】视2个黑球为一个整体，与白球排列，再将3个红球插入每个排列的3个间隙， 所以不同的排列方式为（种）. 故答案为：24 14. 如图所示，过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若，双曲线的离心率为表示不超过的最大整数，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】设，利用焦半径公式及直角三角形性质建立方程化简得，进而，令，构造，利用导数法研究函数单调性求出，即可得，根据函数新定义求解即可. 【详解】设，则，因此. 又，从而，不妨设， 则，令，则. 令，则. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又， 所以，于是.所以的值为3. 故答案为：3 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 已知的展开式中，前三项的系数成等差数列. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有的无理项的系数和. 【答案】（1）8； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式和等差中项知识求出； （2）根据二项式系数性质可知第5项的二项式系数最大，求解即可； （3）确定所有无理项，再利用赋值法求出目标值. 【小问1详解】 展开式的通项为：， 由展开式中的前三项系数成等差数列，得， 整理得：，而，解得， 所以的值为8. 【小问2详解】 由（1）知，展开式中第5项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大项为. 【小问3详解】 展开式的通项为， 当时，为无理项，即展开式的偶数项， 令展开式的奇数项系数和为，偶数项系数和为， 则，，解得， 所以展开式中所有的无理项的系数和为. 16. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球. （1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； （2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球， ①求从乙箱中取出的球是白球的概率. ②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出. （2）①求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用全概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 从从甲箱中任取2个小球的试验有个基本事件， 其中2个小球同色的事件有个基本事件， 所以这2个小球同色的概率. 【小问2详解】 ①设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以， 所以取出的这个小球是白球的概率为． ②由①得， 所以从乙箱中取出的球是白球的情况下，从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率为. 17. 已知， （1）讨论的单调性； （2），，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论求解函数的单调性. （2）由（1）的结论，按分类讨论，求出函数在上的最小值，进而求出范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，函数在上单调递增， ，，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，依题意，， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， ，函数在上单调递减，而， 由，得，因此， 所以实数的取值范围是. 18. 已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为. （1）求的标准方程； （2）直线，且交于点，，直线与交于点. 证明：①直线与的斜率乘积为定值； ②点在定直线上. 【答案】（1） （2） ①设，，直线方程为：，， 联立直线与椭圆方程，消去得， 当，即且时， ，， ∴， ， ∴， . ②直线方程为：，即， 直线的方程为，即， 联立直线与直线方程得， ∴，， ∴. ∴，即点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设为，根据，解得；点在曲线上，可得，解得，，即可得出椭圆的标准方程． （2）①设，，直线方程为，，联立直线与椭圆方程，消去得，，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出为定值．②直线方程为，直线的方程为，联立直线与直线方程，，化简结合根与系数的关系可得为定值． 【小问1详解】 设为，， 则，即， 又点在曲线上，∴， 将代入，整理得，， 解得，， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若在区间和内各恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由题意可知对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围； （3）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域内的单调性，结合题意进行验证，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，则对任意的恒成立， 参变分离得对任意的恒成立， 令，其中，则， 因为函数在区间上为增函数，此时， 即对任意的恒成立， 所以函数在上为减函数，故， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，可得，解得， 即函数的定义域为，且， ， 令，其中，则， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的极大值为， 极小值为，且当时， （i）当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递减，则函数在只有一个零点，不合乎题意； （ii）当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则函数在只有一个零点，不合乎题意； （iii）当时，由图可知，存在、且， 当或时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为、，递增区间为， 因为函数在区间、内各有一个零点， 所以，，所以，，即， 当时，；当时，， 此时，函数在区间和上各有一个零点，合乎题意； （iv）当时，在区间上只有一个零点，不合乎题意； （v）当时，则存在、且， 当或时，；当时，. 此时，函数的增区间为、，减区间为， 因为，所以，函数在区间上单调递减， 故当时，，此时函数在区间上无零点，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2024-2025学年高二下学期期中考数学卷 满分：150分 时间：120分钟 2025.4 一、单选题（每题只有一个正确选项，每题5分，共40分） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 将两个1，两个3，一个5从左到右排成一行，则不同的排法种数为（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 将甲、乙、丙和丁个同学分配到个班级，要求每个班至少分到一个同学，则不同的分配方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 已知函数的导函数为，且定义域都为，有下列说法：①若为奇函数，则为偶函数；②若为奇函数，则为偶函数；③若，则；④若，则，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 研究可得：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.若二次方程的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，则该斜椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题至少有两个答案，每题6分，每题部分答对得部分分，全对得6分，共18分） 9. 已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 面积的最小值为2. C. D. 可能为直角. 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. 若有极值点，则实数的取值范围为 B. ，方程至少有一个正根. C. 的图象为中心对称图形. D. 若有个零点、和，则在个零点处的切线斜率和大于 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B. 在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C. 在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数在上的最大值为______. 13. 将1个白球，2个不同的黑球和3个不同的红球从左到右排成一列，要求2个黑球相邻且3个红球互不相邻，则不同的排列方式有______种. 14. 如图所示，过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若，双曲线的离心率为表示不超过的最大整数，则的值为______. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 已知的展开式中，前三项的系数成等差数列. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有的无理项的系数和. 16. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球. （1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； （2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球， ①求从乙箱中取出的球是白球的概率. ②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率. 17. 已知， （1）讨论的单调性； （2），，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为. （1）求的标准方程； （2）直线，且交于点，，直线与交于点. 证明：①直线与的斜率乘积为定值； ②点在定直线上. 19. 已知， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若在区间和内各恰有一个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $