精品解析：四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

蔺阳中学高2023级高二下期中考试 数学试题 命题人：姜海 审题人：孙燎 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效． 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【详解】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值， 结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为. 故选：C 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、的值，即可得出该双曲线的离心率的值. 【详解】在双曲线中，，，则， 故该双曲线的离心率为. 故选：D. 3. 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的横坐标为，根据抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线的焦点，设点的横坐标为， 由得, 故选：A. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 5. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A 6. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知： 当时，；时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此函数在时取得极小值，在取得极大值. 故ABD错误，C正确. 故选：C 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可 【详解】, 可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列， 因为， 所以， 故选：B 8. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即. 故选：D 二、多选题：本题共3．小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则下列正确的是（ ） A. B. C. 取最小值时， D. 为递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】由求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项；利用数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为，令得， 当时，①，②， 由①②可得：， 因当时，，故，A对B错； 因时，单调递增，且，故为递增数列，D对； 因为，故当或时，取最小值，C错. 故选：AD. 10. 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（ ） A. 第一组的频率为0.1 B. 该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C. 如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D. 在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合众数、百分位数判断ABC；求出概率判断D. 【详解】对于A，第一组的频率为，A错误； 对于B，样本数据在区间的频率最大，该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25，B正确； 对于C，样本数据小于2.5的频率， 样本数据小于3的频率， ，由，解得吨， 因此月均用水量的标准定为吨，C正确； 对于D，月均用水量在的人数为：人，记为，， 月均用水量在的人数为：人，记为，，，， 从此人中随机抽取两人所有可能的情况有：,,,,,,,,,,,,,,，共种， 其中月均用水量都在的情况有：,,,,,，共种， 因此两人月均用水量都不低于吨的概率：，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减，则 B. 当时，若有2个零点，则实数或 C. 当时，若，则 D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定单调区间求出范围判断A；把代入，求出极值，结合零点个数判断B；求出单调区间判断C；求出对称中心判断D. 【详解】对于A，由函数在上单调递减，得，， 则，而函数在上单调递增，当时，，因此，A正确； 对于B，当时，，当或时，；当时，， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 又有2个零点，因此或，即或，B正确； 对于C，由选项B知在上单调递增，，则，C错误； 对于D， ，则函数的图象关于点成中心对称， 由直线与曲线有3个不同的交点，且，得点， 即，，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种． 【答案】36 【解析】 【分析】先分析出甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数有3，1，1和2，2，1两种可能，再按照先选后排的原则写出式子计算即可. 【详解】由题意可知，甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数 有3，1，1和2，2，1两种可能， ①在3，1，1方案中，包含甲乙在内的3人到一所学校， 另外两人各到一所学校，有种方案； ②在2，2，1方案中，甲乙去一所学校，其余3人中的1人去一所学校， 剩余2人去另一所学校，有种方案， 因此，所有的分配方案共有种， 故答案为：36. 13. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意求出切点，利用导数的几何意义得到斜率，进而写出切线方程即可. 【详解】由求导得，则，而， 设切线斜率为，由导数的几何意义得，易得切点为， 故所求切线方程为． 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数为上的减函数， 由可得，即， 所以，，解得． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在时取得极小值． （1）求的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由题意得出，求出、的值，再结合极值点的定义验证即可； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意，解得或， 若，则，则无极值点，不满足题意， 经检验符合题意，所以． 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取得极小值， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为． 16. 已知数列满足：，． （1）证明：是等差数列； （2）设，记数列的前项和． 【答案】（1） 由已知得，由 得，即， 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将已知递推式取倒数变形为，然后利用等差数列的定义证明即可； （2）由等差数列的通项公式求得，进而得，然后利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，即； 所以， 所以，， 两式相减可得 ， 可得． 17. 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）在三棱柱中，由底面,平面，得， 由为等边三角形，为的中点，得， 而平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连结，由为的中点，得， 由（1）知平面，平面，则，而， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，设平面的法向量， 则 ，令，得，而， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明； （3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （2） 由（1）知：； 要证，只需证，即证； 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 又，，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据正负可得单调性； （2）由（1）可知，可知需证，将不等式转化为；令，利用导数可求得，由此可得结论； （3）设，将已知不等式转化为，从而可构造函数，知在上单调递增，即恒成立；采用分离变量的方法得到，利用导数可求得在上的最大值，根据可求得结果. 【小问1详解】 由题意得：定义域为，； 当时，，，在上恒成立， 在上单调递增； 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，则由得：， 即， 令，则在上单调递增， 在上恒成立， 即，又，； 令，则， 令，解得：（舍）或， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，，解得：； 的取值范围为. 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. （1）求曲线的方程； （2）为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） （i）由（1）不妨令，直线不垂直于轴， 设直线，， 由，得，由，得或， 则，， 直线方程为，直线方程为， 联立消去，得， 解得，所以点在直线上. （ii）存在，直线的斜率为，理由如下： 由，得，则点在以为直径的圆上， 设，则，解得，即， 于是直线的方程为，由消去得， 而点横坐标为，则点横坐标，纵坐标， 所以直线的斜率. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，并表示出点的坐标，利用坐标代换法求出轨迹方程. （2）（i）设出直线的方程，与的方程联立，利用直线的点斜式方程，结合韦达定理计算推理得证；（ii）由（i）及已知求出点的坐标，进而求出直线方程，再与的方程联立求出的坐标即可. 【小问1详解】 设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点， 由点在圆上，得，即， 所以点的轨迹的方程是. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蔺阳中学高2023级高二下期中考试 数学试题 命题人：姜海 审题人：孙燎 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效． 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 6. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3．小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则下列正确的是（ ） A. B. C. 取最小值时， D. 为递增数列 10. 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（ ） A. 第一组的频率为0.1 B. 该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C. 如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D. 在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减，则 B. 当时，若有2个零点，则实数或 C. 当时，若，则 D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种． 13. 曲线在点处的切线方程为__________． 14. 已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在时取得极小值． （1）求的值； （2）求在区间上的最值． 16. 已知数列满足：，． （1）证明：是等差数列； （2）设，记数列的前项和． 17. 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明； （3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围． 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. （1）求曲线的方程； （2）为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $