精品解析：湖南省娄底市部分学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

2025年上学期高二期中考试试卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：娄底四中 刘赛 审题人：娄底金 海周琪 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ） A. 63 B. 72 C. 81 D. 90 5. 设为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相切 7. 已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 不是的周期 B. 成立的充要条件是， C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 在区间上单调递减 11. 已知定义在上函数满足，若时，，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有的零点之和为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中常数项为_____． 13. 如图，在中，，，为的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_____． 14. 甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，对应的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示． （1）求取值以及这组数据的中位数（结果精确到）； （2）已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率； （3）用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期高二期中考试试卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：娄底四中 刘赛 审题人：娄底金 海周琪 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】，解得，， 又，. 故选：B. 2. 若（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求． 【详解】由已知得，化简得. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及平行的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由已知得：，， 所以，解得. 故选：D 4. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ） A. 63 B. 72 C. 81 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质计算出，再用求和公式计算即可. 【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得， 即，解得，代入，故. 故选：C. 5. 设为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式，利用二倍角余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：C 6. 已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求出直线所过定点，代入圆中即可判断出答案. 【详解】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切. 故选：D. 7. 已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列出不等式，求解即可 【详解】当时，单调递减，此时， 若当时，单调递减，则，此时， 因为在上单调递减，所以，解得，又，所以. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项分布的均值和方差公式列式计算判断A，根据方差的含义判断B，根据正态分布的对称性求解概率判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】A选项：，，，正确； B选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，错误； C选项：随机变量服从正态分布，则， 若，则，则，错误； D选项：对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 不是的周期 B. 成立的充要条件是， C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质判断周期、解方程判断A、B；由图象平移写出解析式判断C；根据已知有，结合正弦函数性质判断单调性判断D. 【详解】A：是的最小正周期，故是的周期，错． B：当时，，，则，，正确． C：把的图象上所有点向左平移个单位长度得到，正确． D：，则， 在区间上单调递减，正确． 故选：BCD 11. 已知定义在上的函数满足，若时，，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期 B. 图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有的零点之和为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，判断是奇函数且图象关于对称，进而确定周期和对称中心，判断A和B；计算正确；推导出在的图象关于对称且值域为，判断D. 【详解】因为，所以是奇函数； 因为，所以的图象关于对称， 所以，则， 因而，所以的最小正周期，故A错误； 由， 则的一个对称中心为，故B正确； ，故C正确； 当时，单调递增且值域为， 因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为， 又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为， 所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为-2，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中常数项为_____． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 即展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 如图，在中，，，为的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，根据面面垂直的性质可得平面，确定球心的位置，利用勾股定理求出外接球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】在中，，，为的中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 且， 平面，又， 取的中点，连接，则， 过作，则平面， 设三棱锥的外接球球心为，则球心必位于上，如图： 设其半径为，则， ，，解得， 三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为： 14. 甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____． 【答案】 ①. 0.1## ②. 0.3## 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 故答案为：0.1；0.3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，对应的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角化简计算即可； （2）先由正弦定理表示和，化为内角的三角函数的关系，再借助三角函数的性质求解. 【小问1详解】 ， ， 在中，由正弦定理得， 因为，则, ，则． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又， 则由正弦定理，， ，， 又中，, 则 ， ，，， 故. 16. 已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点． （1）求椭圆方程； （2）若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得直线与的斜率之积. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由已知点、， 依题意得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意可得直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，设点、， 由得，，可得， 由韦达定理可得， ， 已知，则，同理可得， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知通过线面垂直的判定定理证得平面，即可证明结论； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】 底面为直角梯形，，为直角，，， ，，得，所以， 又平面平面，平面平面，平面，则平面， 又平面，， 又侧面为等腰直角三角形，，， 又，平面，又平面，所以，． 【小问2详解】 平面平面，平面平面， 可过点作垂足为， 由题意知为等腰直角三角形，故点为线段的中点，且， 分别以过点与直线，平行的直线为轴，轴，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，，所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，，，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示． （1）求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）； （2）已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率； （3）用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1），56.7 （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中的频率之和为1建立方程求得，利用中位数的概念列方程求解即可. （2）根据分层抽样求得男生和女生人数，结合组合数的运算利用古典概型概率公式求解即可. （3）根据题意得，根据二项分布的概率公式及期望的计算公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意可得，解得； 因为前3组的频率依次为0.1，0.2，0.3，， 所以中位数在50和60之间，设中位数为，则，解得， 所以该市群众每天慢跑时长的中位数约为56.7. 【小问2详解】 慢跑时长在分钟内有人， 因为男生数与女生数之比为，所以其中男生6人，女生4人， 记“随机抽取2人进行采访，2人均为男生”为事件， 所以. 【小问3详解】 因为用样本估计总体，所以任取1人时长在的概率为， 随机变量服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列如下表： X 0 1 2 3 P . 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据导数的性质，结合指数函数和分式型函数的性质进行求解即可； （2）根据导数的性质，可以证明出总有唯一的极小值点，再通过换元法，构造函数法，利用导数的性质可以证明出 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，，所以， 易知在上单调递增，且． 则在上，在上， 从而在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：，所以，且． 设，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由即，设 ，则在上单调递增且． 则当时，都恰有一个，使得， 且当时，当时， 因此总有唯一的极小值点． 所以，从而， 极小值 由，可得当时，即， 随增大而增大，易得． 令，则，设， ，所以在上单调递减，且，从而． 即． 【点睛】关键点睛：利用函数的导函数的正负性判断函数的单调性是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$