精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题A

山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题A 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的． 1. 某学校寒假期间安排4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求2名学生，则分配方案有（ ） A. 24种 B. 12种 C. 6种 D. 3种 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 2 C. D. 6 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某商场举办购物抽奖活动，每次从中任意抽取一个数字，其中将抽到的各位数字之和为8的三位数称为“幸运数”（如224是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 6. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中（ ） A. 所有奇数项的二项式系数的和为128 B. 二项式系数最大的项为第5项 C. 有理项共有两项 D. 所有项的系数的和为 10. 已知函数函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则恰有2个零点 B. 若，则恰有4个零点 C. 若恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若恰有2个零点，则的取值范围是 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与函数的图象相切，则______． 13. 的展开式中常数项为___________（用数字作答）. 14. 已知，若关于的方程无解，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． （1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ （2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 16. 已知． （1）当时，讨论的单调区间； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围． 17. 已知 （1）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数； （2）若，且，求． 18. 已知函数． （1）若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围； （2）当时． 证明：（i）若，则恒成立； （ii）若，则恒成立． 19. 设是定义域为的函数，当时，. （1）已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； （3）已知，且对任意，当时，有，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题A 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的． 1. 某学校寒假期间安排4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求2名学生，则分配方案有（ ） A. 24种 B. 12种 C. 6种 D. 3种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配的计算，可得答案. 【详解】. 故选：C. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】直接由二项展开式求含的项即可求解. 【详解】由题意知：含的项为，故的系数为. 故选：C. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义,结合函数解析式判断单调性可得答案. 【详解】对于A，时，，函数在上单调递增，A错误； 对于B，函数是奇函数，B错误； 对于C，函数是偶函数，当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，由得函数的定义域为，不关于原点中心对称，D错误. 故选：C. 4. 已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出根据导函数的几何意义，分别解以及，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率. 对于A、B项，由可得，，解得. 当时，切点为，此时切线方程为， 整理可得，切线方程为，故B项正确. 当时，切点为，此时切线方程为， 整理可得，切线方程为，故A项正确； 对于C、D项，由可得，，解得，切点为， 此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误. 故选：D. 5. 某商场举办购物抽奖活动，每次从中任意抽取一个数字，其中将抽到的各位数字之和为8的三位数称为“幸运数”（如224是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用列举法，可得答案. 【详解】由，则， 符合题意的三位数有，共个. 故选：B. 6. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，由得到展开式中的系数，由此得到结论. 【详解】由，,，两边同时除以，得， 又展开式中的系数为， 所以， 所以 故选：A 7. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究其图象性质，再将问题转化交点有3个，列式即可得解. 【详解】令，得，即， 记，求导得， 因为当时，，函数在单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 且当时，且，当时，且， 则函数的大致图象如图， 交点有3个，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 8. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式性质，结合对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，即，，所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中（ ） A. 所有奇数项的二项式系数的和为128 B. 二项式系数最大的项为第5项 C. 有理项共有两项 D. 所有项的系数的和为 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D. 【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误； 对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则恰有2个零点 B. 若，则恰有4个零点 C. 若恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若恰有2个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，解得或.再结合函数的图像判断各选项. 【详解】令， 则，解得或. 当时，.由，得；由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，. ，当时，取最小值，最小值为， 故的大致图象如图所示.由图可知，有且仅有1个实根. 当时，恰有1个零点，故A错误； 当时，有3个实根，则恰有4个零点，故B正确； 由恰有3个零点，得恰有2个实根，则或或，则错误； 由恰有2个零点，得恰有1个实根，且， 则或或，则D错误. 故选：ACD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A正确； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B错误； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与函数的图象相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线与曲线相切，从而可得切点坐标，代入，可求得的值． 【详解】设直线与函数图象的切点为， ， ， ，， ， ，又在直线上， ，． 故答案为：． 13. 的展开式中常数项为___________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据两项相乘，分别求解展开式中含的项以及常数项，即可根据多项式的运算进行合并求解. 【详解】， 故展开式中含的项为展开式中常数项为， 所以展开式中的常数项为， 故答案为： 14. 已知，若关于的方程无解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可变形为，令（，且），通过二次求导判断在上是单调递减函数，从而有，即，从而可得无解，令（，且），求导判断单调性，结合图象即可求解. 【详解】，令（，且）， ， 又， 令，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， , 即. 在上是单调递减函数. （，且）， （，且）， 令（，且），则， 当或时，单调递减， 当时，单调递增， 又因为当时，，则，当时，，则， 画出的图象，如图所示： 由图可知，当时，关于的方程无解. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛: 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法: （1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围; （2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决; （3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． （1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ （2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 【答案】（1）540种； （2）65种. 【解析】 【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加； （2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得. 【小问1详解】 若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案． 【小问2详解】 若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案； 若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案； 若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案； 若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案； 所以总共有种不同的参赛方案． 16. 已知． （1）当时，讨论的单调区间； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）单调增区间是，单调递减区间为. （2）． 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导函数的正负讨论单调区间； （2）在定义域内单调递增，即导函数恒成立，解的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，定义域. . 令，即解得：； 令，即解得：； ∴当时，函数的单调增区间是，递减区间为. 【小问2详解】 ∵，∴ ∵在上单调递增，即恒成立， ∵时 ∴，即a的取值范围为． 17. 已知 （1）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的最大项求出，再利用通项计算可得； （2）写出展开式的通项，即可得到展开式系数的正负情况，再令计算可得. 【小问1详解】 由于的二项展开式中第项的二项式系数为且最大（唯一），可得， 所以展开式的通项为（且）， 所以当时，故展开式中的系数为； 【小问2详解】 若， 则展开式的通项为（且）， 当为奇数时，即的偶次项系数为负，当为偶数时，即的奇次项系数为正， 所以， 又， 故． 18. 已知函数． （1）若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围； （2）当时． 证明：（i）若，则恒成立； （ii）若，则恒成立． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，令导数等于零并参变分离，构造函数，利用导数与函数单调性的关系，可得新函数的单调性与值域，结合函数的极值个数，可得答案； （2）由题意构造函数，利用导数研究其单调性并求得最值，结合放缩，可得答案. 【小问1详解】 由已知可得，由可得． 令，则， 当时，有，所以，所以在上单调递减． 又，所以在上的值域为； 当时，有，所以，所以在上单调递增． 又，所以在上的值域为． 作出函数在的图象如图所示， 由图象可知，当时，有两解， 设为，且． 由图象可知，当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即． 所以，在处取得极大值，在处取得极小值． 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 （i）构造函数，则， 令，则在时恒成立， 所以，即在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以，当时，． 因为，故在上，． 令，则， 令， 故，即为增函数，所以， 所以为增函数，所以， 即，即，所以． 又，所以，当时，有； （ii）在（i）的条件下，只需讨论上成立， 因为，所以． 令在上恒成立， 所以，在上单调递增，所以， 所以，当时，有，所以． 又，所以． 综上所述，在上，恒成立． 19. 设是定义域为的函数，当时，. （1）已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； （3）已知，且对任意，当时，有，证明：. 【答案】（1） 不妨设，在区间上严格减， 对任意，有， 又， 函数在区间上是严格减函数； （2） （3） 当时， 由条件知， 当时，对任意，有， 即， 又的值域是，， 当时，对任意，有， ， 又的值域是，， 综上可知，任意，. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可； （3）利用题目条件，代入，分和两种情况进行讨论即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增， 当在区间上严格减时，在区间上是严格减， 又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值， 因为.是函数的极值点， 所以是的根，所以， 当时，. 令，解得或， 所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 满足条件，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $